Городская выставка-конференция школьников
«Юные исследователи - будущее Севера»
Естественные науки и современный мир
Египетские дроби
Автор: Жарко Максим Александрович,
6А класс, МБОУ г. Мурманска СОШ № 36
Научный руководитель: Пономаренко Юлия Андреевна,
учитель математики МБОУ г. Мурманска СОШ № 36
г. Мурманск, 2017
Оглавление.
Введение……………………………………………………………….3
Основная часть
История происхождения………………………………………4
Аликвотные дроби…………………………………………….9
Заключение……………………………………………………………12
Список литературы…………………………………………………..13
Введение.
«Несмотря на то что греки приписывали египтянам мудрость философов, ни один народ не испытывал такого отвращения к отвлеченным размышлениям и не был так чистосердечно предан материальным интересам, как египтяне».1
Из всех наук это утверждение больше всего подходит к математике египтян.
Египтяне были самыми практичными из всех народов древности. Они даже не использовали абстрактных вычислений – всегда после числа в египетском папирусе шло наименование. Они не могли сказать – три плюс два будет пять. Они обязательно говорили – три верблюда плюс два верблюда будет пять верблюдов.
Многочисленные историко-математические исследования показывают, что дробные числа появились у разных народов в древние времена вскоре после натуральных чисел. Появление дробей связывается с практическими потребностями: задачи, где нужно производить деление на части, были очень распространены. Кроме того, в жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и измерять величины.
Таким образом, во всех цивилизациях понятие дроби возникло из процесса дробления целого на равные части. Объектом нашего исследования служат египетские или как принято называть их в математике, аликвотные дроби.
Цель нашей работы изучить практическую значимость применения египетских дробей в современной математике, создать сборник задач
Основная часть.
История происхождения
Основу математики египтян составляли целые числа и аликвотные дроби. Это такие дроби, когда в числителе всегда единица. Египтянин не понимал дробь 
. Он представлял её в виде суммы дробей 
. У всех египетских дробей в числителе всегда были единицы.
Даже к числу Пи, которое египтяне единственные из окружающих их соседей отличали от простой «тройки», добавлялась 
. То есть число Пи у египтян было 
или 
. В нашем десятичном исчислении 3.142857. Вполне достойная точность.
Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан Ахмесом в эпоху Второго переходного периода.
В Британском музее хранится папирус, составленный писцом Ахмесом примерно за 1600-1700 лет до нашей эры. Он представляет собой собрание решений 84 задач, имеющих прикладной характер; эти задачи относятся к действиям с дробями, определению площади прямоугольника, треугольника, трапеции и круга (последняя принимается равной площади квадрата со стороной в 8/9 диаметра), объёма прямоугольного параллелепипеда и цилиндра; имеются также арифметические задачи на пропорциональное деление, определение соотношений между количеством зерна и получающегося из него хлеба или пива и т. д.; решение одной задачи (79-й) приводится к вычислению суммы геометрической прогрессии. Однако для решения этих задач не даётся никаких общих правил, не говоря уже о попытках каких-нибудь теоретических обобщений.
Самый большой математический документ - папирус по руководству к вычислениям писца Ахмеса - найден в 1858 году английским коллекционером Райндом. Папирус составлен в XVII веке до нашей эры. Его длина 20 метров, ширина 30 сантиметров. Он содержит 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.
Часто встречающаяся задача из папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками; разница между каждым человеком и его соседом составляет - 1/8 меры. Средняя доля есть одна мера. Вычти одну из 10; остаток 9. Составь половину разницы; это есть 1/16. Возьми ее 9 раз. Приложи это к средней доле; вычитай для каждого лица по 1/8 меры, пока не достигнешь конца».
Одна из задач этого папируса — разделить 7 хлебов между 8 людьми — решается в характерном для всей египетской математики стиле: каждому проголодавшемуся нужно дать сумму
1/2+1/4+1/8
долей одного хлеба, выраженных аликвотными дробями.
В большинстве случаев для представления некоторой правильной дроби в виде суммы различных египетских дробей достаточно уметь раскладывать в такую сумму всякую дробь вида 2/n. Например, зная разложения
| 2 | = | 1 | + | 1 | , |
| 2 | = | 1 | + | 1 | , |
| 2 | = | 1 | + | 1 | , |
дробь 7/25 можно легко представить суммой различных египетских дробей:
| 7 | = | 1 | + | 2 | + | 4 | = | 1 | + | 1 | + | 1 | + | 2 | + | 2 | = |
| = | 1 | + | 1 | + | 1 | + | 1 | + | 1 | + | 1 | + | 1 | . |
Папирус Ахмеса предваряет таблица, в которой все дроби вида 2/n для нечетных n от 3 до 101 представлены суммами египетских дробей. Эта таблица помогала производить сложные арифметические выкладки согласно принятым канонам. По-видимому, писцы заучивали ее наизусть, так же, как сейчас школьники запоминают таблицу умножения.
Разложение произвольной дроби в сумму аликвотных дробей не единственно. Например, дробь 5/12 представлялась египтянами как сумма 1/4 и 1/6, либо как сумма 1/3 и 1/12. Правильным считался второй вариант, так как 1/3 – самая большая из египетских дробей, меньших 5/12
Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.
Египтяне ставили иероглиф:
|
(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в иератических текстах использовали линию.
К примеру:
| {\displaystyle ={\frac {1}{3}}} |
| {\displaystyle ={\frac {1}{10}}} |
У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака — единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).
| {\displaystyle ={\frac {1}{2}}} |
| {\displaystyle ={\frac {2}{3}}} |
| {\displaystyle ={\frac {3}{4}}} |
Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат (~4,785 литра), основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.
| Например, так:
| {\displaystyle ={\frac {1}{331}}} |
При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.
В египетской письменности irt означает «глаз», а глагол «wḏȝ» — имеет значение «защищать». Таким образом, общий смысл этого знака: «охраняющий глаз». По-видимому, в начертании данного символа нашли отражение как черты человеческого глаза, так и черты сокола.
Так, в одном элементе уаджета, а именно:
|
учёные усматривают символическое изображение сокола — воплощение бога Гора.
В арифметике египтян составные части Уаджета использовались для написания дробей от 1/2 до 1/64, а также применялись для измерений емкостей и объемов.
Сумма шести знаков, входящих в Уаджет, и приведенных к общему знаменателю: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + ²/64 + 1/64 = 63/64
| Иероглиф | Значение | Примерная величина | ||
| часть глаза (справа) | 1/2 (или 32/64) | ||
| зрачок | 1/4 (или 16/64) | ||
| бровь | 1/8 (или 8/64) | ||
| часть глаза (слева) | 1/16 (или 4/64) | ||
| капля слезы (?) | 1/32 (или ²/64) | ||
| знак сокола (?) | 1/64 | ||
| Уаджет в сумме | 63/64 |
Древние математики высказывали замечания насчет аликвотных дробей. Например, Клавдий Птолемей твердил о неудобстве применения аликвотных дробей в сравнении с системой Вавилона.
Аликвотные дроби
Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач, в том числе пришедших из глубины веков. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого. Разложение дробей вида 2/n и 2/(2n +1) на две аликвотные дроби систематизировано в виде формул
2/n=1/n + 1/n; например, при n = 9 2\9 = 1\9 + 1\9
2/(2n+1)=1/(n+1) + 1/(2n+1)(n+1), например, при n = 2 2/5=1/3 + 1/15
2/(2n+1)=1/(2n+1) + 1/(2n+1) например, при n = 5 2/11=1/6 + 1/66 .
Разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.
Чтобы представить какое-либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять незаурядную изобретательность. Скажем, число 2/43 выражается так: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно. Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.
Формула выглядит следующим образом:
1/n=1/(n+1) + 1/n ·(n+1)
Примеры разложения дробей:
1/3=1/(3+1)+1/3·(3+1)=1/4 +1/12;
1/5=1/(5+1)+1/5·(5+1)=1/6 +1/30;
1/8=1/(8+1)+1/8·(8+1)=1/9+ 1/72.
Эту формулу можно преобразовать и получить следующее полезное равенство: 1/n·(n+1)=1/n -1/(n+1)
Например, 1/6=1/(2·3)=1/2 -1/3
То есть аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, или разность двух аликвотных, знаменателями которых являются последовательные числа равные их произведению.
Задача 1. Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей
а) трех слагаемых 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6
б) четырех слагаемых
1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42
в) пяти слагаемых
1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42
Задача 2. Представьте в виде суммы различных аликвотных дробей следующую дробь:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Решение. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
Задача 3. В детский сад утром привели 90 детей. В 17.00 забрали из сада половину детей. В 18.00 забрали третью часть детей. В 19.00 забрали шестую часть детей. Сколько детей забирали из сада в разное время?
Решение. 
, 1/2=45 детей, 1/3=30 детей, 1/6=15 детей.
Ответ. В 17.00 из сада забрали 45 детей, в 18.00 – 30 детей, в 19.00 – 15 детей.
Заключение.
В нынешней математике ученые продолжают исследовать массу задач, которые связаны с аликвотными дробями:
- в конце ХХ ученые смогли дать оценку самого большого знаменателя и длины разложения обычной дроби в аликвотную
- также была выдвинута гипотеза Эрдешом и Грэхемом, которые утверждают, что для любой раскладки целых чисел, которые больше единицы в r0 цветов может существовать конечное подмножество S целых. В 2003 году дана гипотеза была доказана известным математиком Эрнестом Крутом.
На сегодняшний день аликвотные дроби ставят для математиков целый ряд трудных и практически нерушимых математических задач. Решение этих задач занимательное и нестандартное, развивает мышление и логику.
Продолжением работы будет служить сборник задач, позволяющих создать основу для дальнейшего решения задач профильного уровня ЕГЭ.
Список литературы
Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И. Е. Феоктистов. Алгебра 7кл.
Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. М.: Педагогика,1989.
Глейзер Г. И. История математики в школе: IV – VI кл. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1981.
Бородин А.И. Из истории арифметики. Головное издательство «Ваша школа» - К.,1986.
- Строительство и архитектура в Древнем Египте. Авторы: Сомерс Кларк,Рекс Энгельбах
1 Строительство и архитектура в Древнем Египте. Авторы: Сомерс Кларк,Рекс Энгельбах
