Эволюция систем счисления
Определения
Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определённым правилам с помощью символов некоторого алфавита , называемых цифрами .
Числа: под числом понимается его величина, а не символьная запись. Например, 123, 1010011, CXL
Цифры – символы, при помощи которых записывается число. Например, 0, 1, 2, … I, V, X, L, …
Алфавит – это набор цифр . {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
{0, 1}
{0, 1, … , A, B, C, D, E, F}
Унарная система счисления
простейшая и самая древняя
Для записи любых чисел используется всего один символ:
1
|
- |
2
||
- ||
3
|||
- |||
4
||||
- ||||
5
|||||
- |||||
зарубка.
узелок
палочка
ГРУППЫ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
Аддитивные системы счисления
Используется не одна, а несколько цифр. Они могут изображаться как угодно, но разные цифры должны выглядеть по-разному.
Для того, чтобы прочесть число, нужно было сложить значения всех цифр. Поэтому такие системы назвали аддитивными ( add добавлять, складывать, англ.).
Египетская нумерация
В Египте единицы записывали палочками , а десяток палочек заменяли на изображение пут для коров , десяток пут - одна мерная веревка , и т. д.
1
10
100
1 000
10 000
100 000
1 000 000
10 000 000
Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду. Удобств для счета никаких.
Задание:
=1 205
=1 023 029
Нумерация индейцев Майя
Задание:
20+20+5+5+5+1+1+1+1 = 59;
5+5+5+1 = 16;
20+1+1+1 = 23
Записывались цифры числа в столбик, начиная со знаков , затем знаки , а потом больших значений и заканчивая меньшими.
Сначала эта нумерация обслуживала пятеричную систему счисления, а потом ее приспособили для двадцатеричной.
Древнерусская система счисления
В старину на Руси применялась система счисления, с помощью которой сборщики податей заполняли квитанции и делали записи в податной тетради.
Задание:
= 1 232 руб. 24 коп.
Алфавитные аддитивные системы счисления
Римляне
Славяне
Греки
Евреи
Арабы
Сирийцы
Для записи чисел использовалась большая часть алфавита того народа, который использовал эту систему.
Древняя греческая нумерация
В древнейшее время в Греции была распространена аттическая нумерация .
Числа 50, 500, 5000 обозначались комбинациями знаков 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1000.
Числа в пределах первого десятка тысяч записывались так:
Задание:
=7800
=382
Аттическая нумерация была вытеснена у греков более компактной буквенной нумерацией, так называемой ионийской системой .
Первые девять букв обозначали единицы от 1 до 9, следующие девять – десятки от 10 до 90, остальные четыре – сотни от 100 до 400.
Славянская глаголическая нумерация
Система была создана для записи чисел в священных книгах западных славян .
Использовалась нечасто, но достаточно долго: с VIII по XIII в.
По организации в точности повторяет греческую нумерацию.
Задание:
800 + 60 + 3 = 863
Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, или точки.
Славянская кириллическая нумерация
Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке.
До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию. Запись числа, использованная славянами аддитивная:
Задание:
800 + 60 + 3 = 863
Римская система счисления
Цифры обозначаются буквами латинского алфавита. Чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте.
I – 1 (палец),
V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев) ,
X – 10 (две ладони) ,
L – 50,
C – 100 ( Centum ) ,
D – 500 ( Demimille ) ,
M – 1000 ( Mille )
Римская система счисления
Правило :
- не ставят больше трех одинаковых цифр подряд. Комбинация из 4-х одинаковых цифр заменяется комбинацией с правилом вычитания - если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы: 40 = XXXX = XL (50-10)
- не ставят больше трех одинаковых цифр подряд. Комбинация из 4-х одинаковых цифр заменяется комбинацией с правилом вычитания - если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы: 40 = XXXX = XL (50-10)
Примеры :
MDC X L I V =
– 1
= 1644
+ 5
+ 50
– 10
+ 100
+ 500
1000
2389 = 2000 + 300 + 80 + 9
M M
CCC
LXXX
IX
2389 = M M C C C L X X X I X
14
Римская система счисления
Примеры:
Число 32 в римской системе счисления имеет вид:
XXXII = (X+X+X)+(I+I)= 30+2
Число 444 (в десятичной записи 3 одинаковые цифры), в римской системе счисления будет записано в виде:
CDXLIV = 400+40+4 = (D-C)+(L-X)+(V-I)
Число 1974 в римской системе счисления имеет вид:
MCMLXXIV= 1000+900+50+20+4 = M+(M-C)+L+(X+X)+( I V)
Задание : запишите числа в римской системе счисления
3768 =
МММ DCCLXVIII
2983 =
ММ CMIICIII
1452 =
М CDLII
1999 =
М CMXCIX
14
14
Задания:
- Запишите в десятичной системе счисления римские числа:
- XI X; 2) L X ; 3) C X L; 4) C D LX IX;
5) CMXLVI; 6) CCMLXXX; 7) MDCXLVIII ; 8) MMCXC .
2. Запишите в римской системе счисления:
- 13 ; 2) 99 ; 3) 666 ; 4) 444 ; 5) 1692 ;
6) 146; 7) 301; 8) 959; 9) 2078; 10) 699.
- 1 9 ; 2) 60 ; 3) 140 ; 4) 4 6 9 ;
5) 946; 6) 880; 7) 1648 ; 8) 2190 .
1) XIII; 2) XCIX; 3) DCLXVI; 4) CDXLIV; 5) MDCXCII ;
6) CIVVI; 7) CCDI; 8) CMLIX; 9) MMLXXVIII; 10) DCXCIX.
3 . Выполните действия и запишите результат в римской системе счисления:
1) XXII – V; 2) CV – LII; 3) XCIX + XIX; 4) MCM + VIII;
5) XX : V; 6) X * IV; 7) LXVI : XI ; 8) XXIV * VII.
1) 17=XVII; 2) 53=LIII; 3) 118=CXVIII; 4) 1908=MCMVIII; 5) 4=IV; 6) 40=LX; 7) 6=V1; 8) 168=CLXVIII.
4. Какие десятичные числа записаны с помощью римских цифр? Выделите разряды:
1) MMMCCDXXXIII; 2) DCCLXXVII; 3) DCIX; 4) MCMXCVI; 5) MMII; 6) MMCCDXIII; 7) XLVII; 8) CCMVIII.
1) 3 333 ; 2) 777 ; 3) 60 9; 4) 1996 ; 5) 2002; 6) 2313; 7) 47; 8) 808 .
Мультипликативные системы счисления
Для записи чисел используется определенное количество цифр, которые могут принимать разные значения в зависимости от расположения в записи числа. Такие системы счисления были только у народов с очень хорошо развитой математикой.
Чтобы "собрать« число используется умножение ( multiplication англ.). Например, запись числа 1999 означает:
1 х 1000 + 9 х 100 + 9 х 10 + 9.
Такая система счисления годится для записи чисел, и она очень удобна для счета.
Китайская нумерация
Эта нумерация использовала те же принципы, что и современная арабская, которой мы пользуемся.
Возникла в Китае около 4 000 лет назад.
1 х 1000 = 1000
5 х 100 + 4 х 10 + 8 = 548
Задание:
=2425
Вавилонская нумерация
Цифры имели клинообразный вид - писали на глиняных табличках палочками треугольной формы.
Ту роль, которую у нас играет число 10, в вавилонской нумерации играет число 60.
Эту нумерацию называют шестидесятиричной .
3
единица
десяток
пробел
разделение разрядов
нуль
20
32
59
Задание:
5 х 60 + 2 = 302
1 х 60 х 60 + 2 х 60 + 5 = 3725
Арабская нумерация
Арабские цифры сложились в Индии около 400 г. Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г., а примерно в 1200 г. ее начали применять в Европе, где арабские цифры стали известны благодаря трудам арабских математиков, и потому за ними утвердилось название «арабские»
Арабская нумерация вначале была буквенной. Традиционные арабские цифры являются видоизменёнными начертаниями индийских цифр, приспособленными к арабскому письму.
Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …, 90, 100, 1000. С их помощью записывались другие числа. Но в последствии был введен особый знак - жирная точка для указания пустующего разряда. И нумерация "Деванагари" превратилась в поместную десятичную систему.
Арабская нумерация
Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграла книга «Об индийском счёте», написанная в начале IX века Мухаммедом Ал Хорезми.
В XII веке эта книга была переведена на латинский язык и сыграла очень большую роль в развитии европейской арифметики и внедрении индо-арабских цифр.
Из арабского языка заимствовано и слово «цифра» (по-арабски "сыфр"), означающее буквально « пустое место ». Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто).
В России до конца XVII века сохранялась славянская нумерация.
При Петре I возобладала так называемая "арабская нумерация".
Леонардо Пизанский
Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI веке.
Начало использования арабских цифр в Европе было положено итальянским математиком средневековой Европы Леона́рдо Пиза́нски м , известным как Фибоначчи . Он долгое время жил на Востоке, где и познакомился с математикой арабов.
Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей выдающейся «Книге абака», которая содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени,
По этой книге многие поколения европейских математиков изучали индийскую позиционную систему счисления.