«Осень 2024»

Этапы развития систем счисления

В презентации рассматриваются этапы возникновения систем счисления в разных странах

Олимпиады: Информатика 1 - 11 классы

Содержимое разработки

Эволюция систем счисления

Эволюция систем счисления

Определения Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определённым правилам с помощью символов некоторого алфавита , называемых цифрами . Числа: под числом понимается его величина, а не символьная запись. Например, 123, 1010011, CXL Цифры – символы, при помощи которых записывается число. Например, 0, 1, 2, … I, V, X, L, … Алфавит – это набор цифр . {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {0, 1} {0, 1, … , A, B, C, D, E, F}

Определения

Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определённым правилам с помощью символов некоторого алфавита , называемых цифрами .

Числа: под числом понимается его величина, а не символьная запись. Например, 123, 1010011, CXL

Цифры – символы, при помощи которых записывается число. Например, 0, 1, 2, … I, V, X, L, …

Алфавит – это набор цифр . {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

{0, 1}

{0, 1, … , A, B, C, D, E, F}

Унарная система счисления   простейшая и самая древняя  Для записи любых чисел  используется всего один символ:   1 | | 2 || || 3 ||| ||| 4 |||| |||| 5 ||||| ||||| зарубка. узелок палочка

Унарная система счисления

простейшая и самая древняя

Для записи любых чисел используется всего один символ:

1

|

  • |

2

||

  • ||

3

|||

  • |||

4

||||

  • ||||

5

|||||

  • |||||

зарубка.

узелок

палочка

ГРУППЫ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ

ГРУППЫ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ

Аддитивные системы счисления  Используется не одна, а несколько цифр. Они могут изображаться как угодно, но разные цифры должны выглядеть по-разному.  Для того, чтобы прочесть число, нужно было сложить значения всех цифр. Поэтому такие системы назвали аддитивными ( add добавлять, складывать, англ.).

Аддитивные системы счисления

Используется не одна, а несколько цифр. Они могут изображаться как угодно, но разные цифры должны выглядеть по-разному.

Для того, чтобы прочесть число, нужно было сложить значения всех цифр. Поэтому такие системы назвали аддитивными ( add добавлять, складывать, англ.).

Египетская  нумерация  В Египте единицы записывали палочками ,  а десяток палочек заменяли на изображение пут для коров ,  десяток пут - одна мерная веревка , и т. д. 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000  Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду. Удобств для счета никаких. Задание: =1 205 =1 023 029

Египетская нумерация

В Египте единицы записывали палочками , а десяток палочек заменяли на изображение пут для коров , десяток пут - одна мерная веревка , и т. д.

1

10

100

1 000

10 000

100 000

1 000 000

10 000 000

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду. Удобств для счета никаких.

Задание:

=1 205

=1 023 029

Нумерация индейцев Майя Задание: 20+20+5+5+5+1+1+1+1 = 59; 5+5+5+1 = 16; 20+1+1+1 = 23  Записывались цифры числа в столбик, начиная со знаков , затем знаки , а потом больших значений и заканчивая меньшими.  Сначала эта нумерация обслуживала пятеричную систему счисления, а потом ее приспособили для двадцатеричной.

Нумерация индейцев Майя

Задание:

20+20+5+5+5+1+1+1+1 = 59;

5+5+5+1 = 16;

20+1+1+1 = 23

Записывались цифры числа в столбик, начиная со знаков , затем знаки , а потом больших значений и заканчивая меньшими.

Сначала эта нумерация обслуживала пятеричную систему счисления, а потом ее приспособили для двадцатеричной.

Древнерусская система счисления В старину на Руси применялась  система счисления,  с помощью которой сборщики податей заполняли квитанции и делали записи в податной тетради. Задание:  = 1 232 руб. 24 коп.

Древнерусская система счисления

В старину на Руси применялась система счисления, с помощью которой сборщики податей заполняли квитанции и делали записи в податной тетради.

Задание:

= 1 232 руб. 24 коп.

Алфавитные аддитивные системы счисления Римляне Славяне  Греки Евреи Арабы Сирийцы  Для записи чисел использовалась большая часть алфавита того народа, который использовал эту систему.

Алфавитные аддитивные системы счисления

Римляне

Славяне

Греки

Евреи

Арабы

Сирийцы

Для записи чисел использовалась большая часть алфавита того народа, который использовал эту систему.

Древняя греческая нумерация В древнейшее время в Греции была распространена аттическая нумерация . Числа 50, 500, 5000 обозначались комбинациями знаков 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1000. Числа в пределах первого десятка тысяч записывались так: Задание: =7800 =382  Аттическая нумерация была вытеснена у греков более компактной буквенной нумерацией, так называемой ионийской системой .  Первые девять букв обозначали единицы от 1 до 9, следующие девять – десятки от 10 до 90, остальные четыре – сотни от 100 до 400.

Древняя греческая нумерация

В древнейшее время в Греции была распространена аттическая нумерация .

Числа 50, 500, 5000 обозначались комбинациями знаков 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1000.

Числа в пределах первого десятка тысяч записывались так:

Задание:

=7800

=382

Аттическая нумерация была вытеснена у греков более компактной буквенной нумерацией, так называемой ионийской системой .

Первые девять букв обозначали единицы от 1 до 9, следующие девять – десятки от 10 до 90, остальные четыре – сотни от 100 до 400.

Славянская глаголическая нумерация  Система была создана для записи чисел в священных книгах западных славян .  Использовалась нечасто,  но достаточно долго: с VIII по XIII в.  По организации в точности  повторяет греческую нумерацию. Задание: 800 + 60 + 3 = 863  Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, или точки.

Славянская глаголическая нумерация

Система была создана для записи чисел в священных книгах западных славян .

Использовалась нечасто, но достаточно долго: с VIII по XIII в.

По организации в точности повторяет греческую нумерацию.

Задание:

800 + 60 + 3 = 863

Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, или точки.

Славянская кириллическая нумерация  Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке.  До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию. Запись числа, использованная славянами аддитивная: Задание: 800 + 60 + 3 = 863

Славянская кириллическая нумерация

Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке.

До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию. Запись числа, использованная славянами аддитивная:

Задание:

800 + 60 + 3 = 863

Римская система счисления  Цифры обозначаются буквами латинского алфавита. Чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте.   I – 1 (палец),   V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев) ,  X – 10 (две ладони) ,   L – 50,  C – 100 ( Centum ) ,  D – 500 ( Demimille ) ,  M – 1000 ( Mille )

Римская система счисления

Цифры обозначаются буквами латинского алфавита. Чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте.

I – 1 (палец),

V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев) ,

X – 10 (две ладони) ,

L – 50,

C – 100 ( Centum ) ,

D – 500 ( Demimille ) ,

M – 1000 ( Mille )

Римская система счисления Правило : не ставят больше трех одинаковых цифр  подряд. Комбинация из 4-х одинаковых цифр заменяется комбинацией с правилом вычитания - если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы: 40 = XXXX = XL (50-10) не ставят больше трех одинаковых цифр  подряд. Комбинация из 4-х одинаковых цифр заменяется комбинацией с правилом вычитания - если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы: 40 = XXXX = XL (50-10) Примеры :   MDC X L I V = – 1 = 1644 + 5 + 50 – 10 + 100 + 500 1000 2389 = 2000 + 300 + 80 + 9 M M CCC LXXX IX 2389 = M M C C C L X X X I X  14

Римская система счисления

Правило :

  • не ставят больше трех одинаковых цифр подряд. Комбинация из 4-х одинаковых цифр заменяется комбинацией с правилом вычитания - если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы: 40 = XXXX = XL (50-10)
  • не ставят больше трех одинаковых цифр подряд. Комбинация из 4-х одинаковых цифр заменяется комбинацией с правилом вычитания - если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы: 40 = XXXX = XL (50-10)

Примеры :

MDC X L I V =

1

= 1644

+ 5

+ 50

10

+ 100

+ 500

1000

2389 = 2000 + 300 + 80 + 9

M M

CCC

LXXX

IX

2389 = M M C C C L X X X I X

14

Римская система счисления Примеры:  Число 32 в римской системе счисления имеет вид: XXXII = (X+X+X)+(I+I)= 30+2  Число 444 (в десятичной записи 3 одинаковые цифры), в римской системе счисления будет записано в виде: CDXLIV = 400+40+4 = (D-C)+(L-X)+(V-I)  Число 1974 в римской системе счисления имеет вид: MCMLXXIV= 1000+900+50+20+4 = M+(M-C)+L+(X+X)+( I V)

Римская система счисления

Примеры:

Число 32 в римской системе счисления имеет вид:

XXXII = (X+X+X)+(I+I)= 30+2

Число 444 (в десятичной записи 3 одинаковые цифры), в римской системе счисления будет записано в виде:

CDXLIV = 400+40+4 = (D-C)+(L-X)+(V-I)

Число 1974 в римской системе счисления имеет вид:

MCMLXXIV= 1000+900+50+20+4 = M+(M-C)+L+(X+X)+( I V)

Задание : запишите числа в римской системе счисления 3768  = МММ DCCLXVIII 2983  = ММ CMIICIII 1452  = М CDLII 1999  = М CMXCIX 14 14

Задание : запишите числа в римской системе счисления

3768 =

МММ DCCLXVIII

2983 =

ММ CMIICIII

1452 =

М CDLII

1999 =

М CMXCIX

14

14

Задания: Запишите в десятичной системе счисления римские числа: XI X;   2) L X ;   3) C X L;   4) C D LX IX;   5) CMXLVI; 6) CCMLXXX; 7) MDCXLVIII ; 8) MMCXC . 2. Запишите в римской системе счисления: 13 ; 2) 99 ; 3) 666 ; 4) 444 ; 5) 1692 ; 6) 146; 7) 301;  8) 959; 9) 2078; 10) 699. 1 9 ;  2) 60 ;  3) 140 ;  4) 4 6 9 ;   5) 946; 6) 880;  7) 1648 ; 8) 2190 . 1) XIII;   2) XCIX; 3) DCLXVI; 4) CDXLIV;     5) MDCXCII ; 6) CIVVI; 7) CCDI; 8) CMLIX; 9) MMLXXVIII; 10) DCXCIX.

Задания:

  • Запишите в десятичной системе счисления римские числа:
  • XI X; 2) L X ; 3) C X L; 4) C D LX IX;

5) CMXLVI; 6) CCMLXXX; 7) MDCXLVIII ; 8) MMCXC .

2. Запишите в римской системе счисления:

  • 13 ; 2) 99 ; 3) 666 ; 4) 444 ; 5) 1692 ;

6) 146; 7) 301; 8) 959; 9) 2078; 10) 699.

  • 1 9 ; 2) 60 ; 3) 140 ; 4) 4 6 9 ;

5) 946; 6) 880; 7) 1648 ; 8) 2190 .

1) XIII; 2) XCIX; 3) DCLXVI; 4) CDXLIV; 5) MDCXCII ;

6) CIVVI; 7) CCDI; 8) CMLIX; 9) MMLXXVIII; 10) DCXCIX.

3 .  Выполните действия и запишите результат в римской системе счисления: 1) XXII – V;  2) CV – LII;    3) XCIX + XIX;  4) MCM + VIII; 5) XX : V;  6) X * IV; 7) LXVI : XI ; 8) XXIV * VII. 1) 17=XVII; 2) 53=LIII; 3) 118=CXVIII; 4) 1908=MCMVIII; 5) 4=IV; 6) 40=LX; 7) 6=V1; 8) 168=CLXVIII. 4. Какие десятичные числа записаны с помощью римских цифр? Выделите разряды: 1) MMMCCDXXXIII; 2) DCCLXXVII; 3) DCIX; 4) MCMXCVI; 5) MMII; 6) MMCCDXIII; 7) XLVII; 8) CCMVIII. 1) 3 333 ; 2) 777 ; 3) 60 9; 4) 1996 ; 5) 2002; 6) 2313; 7) 47; 8) 808 .

3 . Выполните действия и запишите результат в римской системе счисления:

1) XXII – V; 2) CV – LII; 3) XCIX + XIX; 4) MCM + VIII;

5) XX : V; 6) X * IV; 7) LXVI : XI ; 8) XXIV * VII.

1) 17=XVII; 2) 53=LIII; 3) 118=CXVIII; 4) 1908=MCMVIII; 5) 4=IV; 6) 40=LX; 7) 6=V1; 8) 168=CLXVIII.

4. Какие десятичные числа записаны с помощью римских цифр? Выделите разряды:

1) MMMCCDXXXIII; 2) DCCLXXVII; 3) DCIX; 4) MCMXCVI; 5) MMII; 6) MMCCDXIII; 7) XLVII; 8) CCMVIII.

1) 3 333 ; 2) 777 ; 3) 60 9; 4) 1996 ; 5) 2002; 6) 2313; 7) 47; 8) 808 .

Мультипликативные системы счисления  Для записи чисел используется определенное количество цифр, которые могут принимать разные значения в зависимости от расположения в записи числа. Такие системы счисления были только у народов с очень хорошо развитой математикой.  Чтобы

Мультипликативные системы счисления

Для записи чисел используется определенное количество цифр, которые могут принимать разные значения в зависимости от расположения в записи числа. Такие системы счисления были только у народов с очень хорошо развитой математикой.

Чтобы "собрать« число используется умножение ( multiplication англ.). Например, запись числа 1999 означает:

1 х 1000 + 9 х 100 + 9 х 10 + 9.

Такая система счисления годится для записи чисел, и она очень удобна для счета.

Китайская нумерация  Эта нумерация использовала те же принципы, что и современная арабская, которой мы пользуемся.  Возникла в Китае около 4 000 лет  назад. 1 х 1000 = 1000 5 х 100 + 4 х 10 + 8 = 548 Задание: =2425

Китайская нумерация

Эта нумерация использовала те же принципы, что и современная арабская, которой мы пользуемся.

Возникла в Китае около 4 000 лет назад.

1 х 1000 = 1000

5 х 100 + 4 х 10 + 8 = 548

Задание:

=2425

Вавилонская нумерация  Цифры имели клинообразный вид - писали на глиняных табличках палочками треугольной формы.  Ту роль, которую у нас играет число 10, в вавилонской нумерации играет число 60. Эту нумерацию называют шестидесятиричной . 3 единица десяток пробел разделение  разрядов нуль 20 32 59 Задание: 5 х 60 + 2 = 302 1 х 60 х 60 + 2 х 60 + 5 = 3725

Вавилонская нумерация

Цифры имели клинообразный вид - писали на глиняных табличках палочками треугольной формы.

Ту роль, которую у нас играет число 10, в вавилонской нумерации играет число 60.

Эту нумерацию называют шестидесятиричной .

3

единица

десяток

пробел

разделение разрядов

нуль

20

32

59

Задание:

5 х 60 + 2 = 302

1 х 60 х 60 + 2 х 60 + 5 = 3725

Арабская нумерация  Арабские цифры сложились в Индии около 400 г. Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г., а примерно в 1200 г. ее начали применять в Европе, где арабские цифры стали известны благодаря трудам арабских математиков, и потому за ними утвердилось название «арабские»  Арабская нумерация вначале была буквенной. Традиционные арабские цифры являются видоизменёнными начертаниями индийских цифр, приспособленными к арабскому письму.  Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …, 90, 100, 1000. С их помощью записывались другие числа. Но в последствии был введен особый знак - жирная точка для указания пустующего разряда. И нумерация

Арабская нумерация

Арабские цифры сложились в Индии около 400 г. Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г., а примерно в 1200 г. ее начали применять в Европе, где арабские цифры стали известны благодаря трудам арабских математиков, и потому за ними утвердилось название «арабские»

Арабская нумерация вначале была буквенной. Традиционные арабские цифры являются видоизменёнными начертаниями индийских цифр, приспособленными к арабскому письму.

Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …, 90, 100, 1000. С их помощью записывались другие числа. Но в последствии был введен особый знак - жирная точка для указания пустующего разряда. И нумерация "Деванагари" превратилась в поместную десятичную систему.

Арабская нумерация  Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграла книга «Об индийском счёте», написанная в начале IX века Мухаммедом Ал Хорезми.     В XII веке эта книга была переведена на латинский язык и сыграла очень большую роль в развитии европейской арифметики и внедрении индо-арабских цифр.  Из арабского языка заимствовано и слово «цифра» (по-арабски

Арабская нумерация

Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграла книга «Об индийском счёте», написанная в начале IX века Мухаммедом Ал Хорезми.

В XII веке эта книга была переведена на латинский язык и сыграла очень большую роль в развитии европейской арифметики и внедрении индо-арабских цифр.

Из арабского языка заимствовано и слово «цифра» (по-арабски "сыфр"), означающее буквально « пустое место ». Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто).

В России до конца XVII века сохранялась славянская нумерация.

При Петре I возобладала так называемая "арабская нумерация".

Леонардо Пизанский  Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI веке.  Начало использования арабских цифр в Европе было положено итальянским математиком средневековой Европы Леона́рдо Пиза́нски м , известным как Фибоначчи . Он долгое время жил на Востоке, где и познакомился с математикой арабов.  Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей выдающейся «Книге абака», которая содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени,  По этой книге многие поколения европейских математиков изучали индийскую позиционную систему счисления.

Леонардо Пизанский

Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI веке.

Начало использования арабских цифр в Европе было положено итальянским математиком средневековой Европы Леона́рдо Пиза́нски м , известным как Фибоначчи . Он долгое время жил на Востоке, где и познакомился с математикой арабов.

Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей выдающейся «Книге абака», которая содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени,

По этой книге многие поколения европейских математиков изучали индийскую позиционную систему счисления.

Получите свидетельство о публикации сразу после загрузки работы



Получите бесплатно свидетельство о публикации сразу после добавления разработки


Серия олимпиад «Осень 2024»



Комплекты учителю



Качественные видеоуроки, тесты и практикумы для вашей удобной работы

Подробнее

Вебинары для учителей



Бесплатное участие и возможность получить свидетельство об участии в вебинаре.


Подробнее