Конспект урока алгебры "Теорема Виета"

Тема : Теорема Виета

Цель. Знакомство с формулами Виета, выражающими зависимость между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами, развитие кругозора и логического мышления, воспитание устойчивого интереса к изучению математики.

Оборудование: Портрет Виета, плакат с формулами, плакат со стихотворением

Ход урока:

Вступительное слово учителя: Мы продолжим изучение темы «Квадратные уравнения». Вы сегодня сами выведите формулы, способствующие дальнейшему изучению этой темы, и научитесь решать более сложные уравнения, не только уравнения второй степени, но и третьей степени.

Ответьте на вопросы:

• Какое уравнение называется квадратным?

• Когда оно имеет решение?

• Какова формула корней квадратного уравнения?

х_1,2=

- Найдем х_{1 +} х₂

К доске выходит ученик и выводит первую формулу

х_{1 +} х₂=+=

Второй ученик:

х₁ х₂= ====

Учитель. Попробуйте объяснить полученные формулы

х_{1 +} х₂ = , х₁ х₂

Обязательно кто-нибудь сформулирует теорему Виета.

Сумма корней квадратного уравнения равна

, а произведение корней

Учитель. Мы с вами вывели важную теорему. Эта теорема носит название «теорема Виета». Она сформулирована Франсуа Виетом в 1591 году. Выражая зависимость между коэффициентами уравнения и корнями общими формулами, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Но, давайте послушаем рассказ об этом математике.

Сообщение ученика.

Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции в Фонтене-ле-конт. По образованию юрист. Он много занимался адвокатской деятельностью, а 1571 года по 1584 год был советником королей Георга III и Георга IV. Но все свободное время, весь свой досуг он отдавал занятиям математикой, а также астрономией. Особенно усиленно он начал работать в области математики с 1584 года, после отстранения от должности при королевском дворе. Виет детально изучал труды как древних, так и современных ему математиков. Франсуа Виет по существу создал новую алгебру. Он ввел в нее буквенную символику. После открытия Виета стало возможным записывать правила в виде формул. Правда, у Виета показатели степеней еще обозначались словами, и это создавало определенные трудности в решении некоторых задач. Во времена Виета был еще ограничен запас чисел. Так, еще не нашли признания отрицательные числа. Франсуа Виет очень подробно изложил в своих трудах теорию решения уравнений с первой по четвертую степень.

Большой заслугой Виета было открытие зависимости между корнями и коэффициентами уравнений приведенного вида произвольной натуральной степени. Широко известна знаменитая теорема Виета для приведенного квадратного уравнения : «сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней этого уравнения равно свободному члену». Эта теорема позволяет устно проверять правильность решения квадратных уравнений, а в простейших случаях устно находить и корни уравнений.

Умер Виет в 1603 году.

Учитель. Несмотря на то, что теорема сформулирована в 1591 году, т.е. более 400 лет тому назад, она и сейчас очень важна. Недаром неизвестным математиком в честь теоремы сложена ода ( текст написан на плакате)

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого

Умножишь ты корни – и дробь уж готова

- в числителе с , в знаменателе а .

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта , что за беда

• в числителе в , в знаменателе а.

Учитель. А сейчас выводим формулы Виета для приведенного квадратного уравнения. Какие уравнения называются приведенными?

Ученик. Уравнения вида называется приведенными квадратными уравнениями.

Учитель. Каковы формулы корней этого уравнения?

Ученик.

и

Учитель. Чему равна сумма корней и произведение корней?

Ученики выводят формулу самостоятельно

и

Вывод. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Учитель. Теорема Виета позволяет в простейших случаях решать уравнение, не выполняя преобразования. Например , решая уравнение , не надо применять формулу. Ведь и без нее ясно. Что двумя числами, сумма которых равна 5 , а произведение равно 6, могут быть числа 2 и 3. Значит, . Решите в уме следующие уравнения, записанные на доске:

Учащиеся устно решают каждое уравнение, учитель на доске записывает рядом ответы.

Учитель. Правильно ли решили? Как проверить? Проверить правильность наших ответов позволит теорема , обратная теореме Виета. Сформулируйте эту теорему.

Ученики. Если таковы , что их сумма равна p , а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения .

Учитель. Правильно. Доказательство этого утверждения проверите сами дома. Сейчас устно проверим наши ответы.

Ученики. ,

Значит, по теореме , обратной теореме Виета , эти числа являются корнями уравнения ( так же быстро проверяют остальные уравнения).

Учитель. Вот так можно решать квадратные уравнения. Быть может , полезно попытаться взять отсюда что-то и для решения кубического уравнения. Какие уравнения называются кубическими?

Ученик. Уравнение вида (1) называется кубическим.

Учитель. Формулы для его решения мы не знаем. Но если бы мы знали его корни , то могли бы записать его в виде разложения , где - корни уравнения (1) . И наоборот, если бы мы сумели разложить многочлен , стоящий слева знака равенства, на множители, то узнали бы его корни. Возьмем уравнение , раскроем скобки и преобразуем:

Получили такое же кубическое уравнение, как и уравнение

Сравнивая их коэффициенты, мы получим систему

Эта и есть теорема Виета для кубического уравнения

Пример. Дано уравнение

Запишите теорему Виета для данного уравнения:

Учитель. Какими могут быть ответы?

Ученики.

Учитель. Какую тройку выберем?

Учащиеся подбором находят корни: -3, -1, 2.

Закрепление ведется в виде фронтального опроса или решения примеров.

а) Фронтальный опрос. Что мы узнали на уроке? Чему равны сумма корней, произведение корней квадратного уравнения ? Какова теорема , обратная теореме Виета?

б) Решение примеров.

Составьте квадратное уравнение по его корням:

1. и 2

-4 и -2

Можно ли определить знаки корней уравнений:

Урок заканчивается самостоятельной работой, которая дается в трех вариантах различной сложности: I вариант – облегченный, II -средней сложности, III - повышенной.

Самостоятельная работа.

I вариант

1. Найдите сумму и произведение корней

2.Решите уравнение

II вариант

1. Найдите сумму и произведение корней .

2. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме , обратной теореме Виета:

Ш вариант

1. В уравнении один из корней равен 7. Найти другой корень и коэффициент .

2. Какого знака корни уравнения: .

Итоги самостоятельной работы проверяются в группах. Выставляются оценки за урок. Подводится итог урока.