приложение №3
Урок 225. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические неравенства.
Группа:
Дата проведения:
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний по данной теме.
Цели урока:
обобщение знаний о способах решения показательных неравенств. Подготовка к ЕГЭ;
формирование у учащихся адекватной самооценки и взаимооценки при работе в группе;
развитие математической речи при комментировании решения, при составлении алгоритмов выполнения задания; умения преодолевать трудности умения работать со справочной литературой.
воспитание взаимопомощи.
Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/закрепят/др. обучающиеся в ходе урока:
систематизируют свои знания по данной теме;
закрепят теоретические знания по данной теме;
применят знания в нестандартной ситуации.
Необходимое оборудование и материалы:
Ноутбуки для индивидуального тестирования, мультимедиа проектор;
презентация к уроку;
письменные принадлежности, раздаточный материал, листы самооценки.
Методы обучения: технология проблемно-ситуативного обучения с применением кейс-стадии.
Этапы урока:
1.Орг момент - 1 минута
2. формулировка темы и целей урока 1 минута
3. Актуализация опорных знаний. Блиц-опрос. (3 мин.)
4. Результаты блиц опроса - 2 минуты
5. Проверка домашнего задания. Выставление оценок . 3 минуты
6. Домашнее задание дифференцированного характера с правом выбора. 1 мин
7.Повторение теории и индуктор ( нацеливание на выполнение) 2 мин
8. Отработка навыков решения. Работа со справочной литературой. 5 неравенств 10 мин
9. Афиширование 2 минуты
10. Разрыв. Незнакомые задачи – 2 мин
11. решение этих задач 4 минуты
12. Афиширование решения новых задач 4 мин
13. Рефлексия – 2 мин
14. Самооценка 1 минута
Перед началом урока учащиеся рассаживаются в соответствии с тремя уровнями подготовки на определённые ряды. Отметим, что навыки по рассматриваемой теме не относятся к обязательным требованиям к подготовке учащихся, поэтому, у меня её изучают только более подготовленные учащиеся (1 и 2 группа).
Цель урока. Разобрать способы решения иррациональных неравенств среднего и повышенного уровня сложности, разработать опорные схемы.
1 этап урока - организационный (1мин.)
Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет назначение раздаточного материала, который находится на партах.
2 этап урока (5мин.)
Устная работа на повторение по решению простейших задач по теме «Степень с рациональным показателем»
Учитель предлагает учащимся по очереди отвечать на вопросы, комментируя свой ответ с ссылкой на соответствующий теоретический факт.
Повторение рекомендуется проводить на каждом уроке в 10-11-х классах. Учащимся раздаются листы с заданиями для устной работы, составленные на основе краевых диагностических контрольных работ следующего содержания.
Степень с рациональным показателем
Упростить: 1) 12m4/3m8
2) 6с3/7 + 4 (с1/7)3
3) (32х2)1/5 · х3/5
4) 24,6а · 2-1,6а
5) 2х0,2 · х-1,2
6) 4х3/5 · х1/10
7) (25х4)0,5
8) 2х4/5 · 3х1/5
9) (3х2/5)2 + 2х4/5
10) 3х1/2 · х3/2
Вычислить: 11) 43,2m · 4-1,2m, при m =1/4
12) 6-5,6а · 63,6а, при а = 1/2
13) 5 · 272/3 - 161/4
14) 34,4с · 3-6,4с, при с =1/2
15) 3х2/5 · х3/5, при х = 2
3 этап урока - изучение новой темы (20мин.), лекция
Учитель предлагает 3 группе учащихся приступить к работе над повторением с карточками - консультантами по теме «Простейшие тригонометрические уравнения» (т.к. изучаемый материал повышенного уровня сложности и к обязательному не относится). Учащиеся 3 группы - это, как правила учащиеся со слабой математической подготовкой, педагогически запущенные школьники. После выполнения задания происходит обмен карточками внутри группы. Более подготовленные учащиеся приступают к разбору новой темы.
Перед разбором способов решений иррациональных неравенств учащимся необходимо напомнить основные теоретические факты, на основе которых будут строится опорные схемы для равносильных переходов. В зависимости от уровня подготовки учащихся это могут быть либо устные ответы на вопросы учителя, либо совместная работа учителя и учащихся, но в любом случае на уроке должно прозвучать следующее.
Определение 1. Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными.
При решении неравенств обычно данное неравенство преобразуется в ему равносильное.
Например, неравенство (х - 3)/(х2 + 1) равносильны, т.к. имеют одно и то же множество решений: х . Неравенства 2х/(х - 1) 1 и 2х х - 1 не равносильны, т.к. решениями первого являются решения х 1, а решениями второго - числа х -1.
Определение 2. Область определения неравенства - это множество таких значений х, при которых имеют смысл обе части неравенства.
Мотивация. Неравенства сами по себе представляют интерес для изучения, т.к. именно с их помощью на символическом языке записываются важнейшие задачи познания реальной действительности. Часто неравенство служит важным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование каких-либо объектов, оценить их количество провести классификацию. Поэтому, с неравенствами приходится сталкиваться не менее часто, чем с уравнениями.
Определение. Неравенство, содержащие переменную под знаком корня, называется иррациональным.
Пример 1. √(5 - х)
- Какова область определения неравенства?
- При каком условии при возведении в квадрат обеих частей получится равносильное неравенство?
5 - х ≥ 0
√(5 - х) 5 - х -11
Пример 2. √10 + х - х2 ≥ 2 10 + х - х2 ≥ 0 10 + х - х2 ≥ 4
10 + х - х2 ≥ 4
т.к. каждое решение второго неравенства системы является решением первого неравенства.
Пример 3. Решить неравенства
а) √3х - 4
б) √2х2 + 5х - 3 ≤ 0 2х2 + 5х - 3 = 0
Разберём три типичных примера, из которых будет видно, как при решении неравенств делать равносильные переходы, когда напрашивающееся преобразование равносильным не является.
Пример 1. √1 - 4х х + 11.
Хотелось бы, конечно, возвести обе части в квадрат, чтобы получить квадратное неравенство. При этом мы можем получить не равносильное неравенство. Если рассматривать только те х для которых обе части не отрицательны (левая неотрицательно заведомо), то возведение в квадрат будет всё таки возможным. Но что же делать с теми х, для которых правая часть отрицательна? А ничего не делать, поскольку ни одно их этих х решением неравенства не будет: ведь для всякого решения неравенства правая часть больше левой, являющейся неотрицательным числом, и, стало быть, сама не отрицательна. Итак, следствием нашего неравенства будет такая система
1 - 4х (х + 11)2
х + 11 ≥ 0.
Тем не менее, эта система не обязана быть равносильной исходному неравенству. Областью определения полученной системы является вся числовая прямая, в то время как исходное неравенство определено лишь для тех х, для которых 1 - 4х ≥ 0. Значит если мы хотим, чтобы наша система была равносильна неравенству надо приписать это условие:
1 - 4х 2
х + 11 ≥ 0
1 - 4х ≥ 0
х
Ответ: (- 6; ¼]
Предлагается сильному ученику провести рассуждение в общем виде, получится вот, что
√f(х) g(х) f(х) (g(х))2
g(х) ≥ 0
f(х) ≥ 0.
Если бы в исходном неравенстве стоял знак ≤ вместо f(х) ≤ (g(х))2.
Пример 2. √х х - 2
Здесь опять можно возвести в квадрат для тех х, для которых выполнено условие х - 2 ≥ 0. Однако теперь уже нельзя отбросить те х, для которых правая часть отрицательна: ведь в этом случае правая часть будет меньше заведомо не отрицательной левой, так что все такие х будут решениями неравенств. Впрочем, не все, а те которые входят в область определения неравенства, т.е. для которых х ≥ 0. Какие случаи следует рассмотреть?
1 случай: если х - 2 ≥ 0, то из нашего неравенства следует система
х (х - 2)2
х - 2 ≥ 0
2 случай: если х - 2
х ≥ 0
х - 2
При разборе случаев возникает составное условие под названием «совокупность». Получим равносильную неравенству совокупность двух систем
х (х - 2)2
х - 2 ≥ 0
х ≥ 0
х - 2
Сильному учащемуся предлагается провести рассуждение в общем, виде, то получится вот, что:
√f(х) g(х) f(х) (g(х))2
g(х) ≥ 0
f(х) ≥ 0
g(х) .
Если бы в исходном неравенстве стоял знак ≥ вместо , то в качестве первого неравенства этой системы надо было взять f(х) ≥ (g(х))2.
Пример 3. √х2 - 1 √х + 5.
Вопросы:
- Какие значения принимают выражения стоящие в левой и правой части?
- Можно ли возвести в квадрат?
- Какова область определения неравенств?
Получим х2 - 1 х + 5
х + 5 ≥ 0
х2 - 1 ≥ 0
- Какое условие лишнее?
Таким образом, получим, что данное неравенство равносильно системе
х2 - 1 х + 5
х + 5 ≥ 0
Сильному учащемуся предлагается провести рассуждение в общем виде, то получится вот, что:
√f(х) √g(х) f(х) g(х)
g(х) ≥ 0.
- Подумайте, что изменится, если вместо в исходном неравенстве будет стоять знак ≥, ≤ или
На доске вывешиваются 3 схемы решения иррациональных неравенства, ещё раз обсуждается принцип их построения.
4 этап - закрепление знаний (5мин.)
Учащимся 2 группы предлагается указать, какой системе или их совокупности равносильно неравенство № 167 (Алгебра и начала анализа 10-11 кл. М, Просвещение, 2005, Ш.А.Алимов)
Двум наиболее подготовленным учащимся из этой группы предлагается решить на доске неравенства: № 1. √х2 - 1 1
№ 2. √25 - х2
Учащиеся 1 группы получают аналогичное задание, но более высокого уровня сложности № 170 (Алгебра и начала анализа 10-11 кл. М, Просвещение, 2005, Ш.А.Алимов)
одному наиболее подготовленному учащемуся из этой группы предлагается решить на доске неравенство: √4х - х2
При этом всем учащимся разрешается пользоваться конспектом.
В это время учитель работает с учащимися 3 группы: отвечает на их вопросы при необходимости помогает; и контролирует решение задач на доске.
По истечению времени каждой группе выдаётся для проверки лист ответов (можно показать ответы на экране, используя мультимедийную систему).
5 этап урока - обсуждение решений задач, представленных на доске (7мин.)
Учащиеся, выполнявшие задачи у доски, комментируют свои решения, а остальные вносят при необходимости коррективы и выполняют записи в тетрадях.
6 этап урока - подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию (2мин.)
3 группа обмен карточками внутри группы.
2 группа № 168 (3, 4)
1 группа № 169 (5), № 170 (6)
