Круги Эйлера в решении задач
Пример кругов Эйлера
Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил с помощью этих кругов:
N -множество натуральных чисел,
Z – множество целых чисел,
Q – множество рациональных чисел,
R – множество всех действительных чисел.
R
Q
Z
N
Как же круги Эйлера помогают при решении задач?
Задачи с кругами Эйлера
Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.
С помощью кругов Эйлера можно изобразить отношения между подмножествами для наглядного представления.
Типы кругов Эйлера
Решение задач
«Классика»
Ребята из нашего класса любят классическую литературу.
Известно, что 15 ребят читали «Войну и мир», 11 человек –«Анну Каренину», из них 6 человек читали и «Войну и мир», и «Анну Каренину».
- Сколько человек читали только «Анну Каренину»? Сколько человек читали только «Войну и мир»? Сколько всего человек в классе любят классику?
- Сколько человек читали только «Анну Каренину»?
- Сколько человек читали только «Войну и мир»?
- Сколько всего человек в классе любят классику?
Решение
Чертим два множества таким образом:
6
«В»
«А»
6 человек, которые читали «В» и «А», помещаем в пересечении множеств. 15 – 6 = 9 человек, которые читали только «В». 11 – 6 = 5 человек, которые читали только «А».
9+6+5=20 человек, которые любят классику. Получаем:
«А»
«В»
9
5
6
Ответ. 9,5,20.
«Мир музыки»
В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры? Решение
Изобразим эти множества на кругах Эйлера .
Теперь посчитаем: Всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри двух меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей купили новый диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили диск Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры:
Ответ: 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры.
- Составление задач, имеющих практическое значение.
- Задача 1. В классе 35 учеников. В математическом кружке из них 12 занимаются, в биологическом - 9, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой.
- Решение : Мы видим, что кружки посещают 19 ребят, так как 35 - 16=19, из них 10 человек посещают только математический кружок (19-9=10) и 2 биолога (12-10=2) увлекаются математикой.
- Ответ: 2 биолога.
- С помощью кругов Эйлера легко увидеть и другой способ решения задачи.
- Количество учеников изобразим с помощью большого круга, а внутри поместим круги поменьше.
Очевидно, что в общей части кругов окажутся те самые биологи-математики, о которых спрашивается в задаче. Теперь посчитаем: Внутри большого круга 35 учеников, внутри кругов М и Б : 35-16=19 учеников, внутри круга М - 12 ребят, значит, в той части круга Б, которая не имеет ничего общего с кругом М, находится 19-12=7 учеников, следовательно, в МБ находится 2 ученика (9-7=2). Таким образом, 2 биолога увлекаются математикой.
1)35-16=19(чел.);
2) 12+9=21 (чел.);
3)21-19=2(чел.).
Ответ: 2 биолога.
1. Все множества чисел связаны между собой таким образом, что каждое следующее, более объемное, включает в себя предыдущее множество полностью;
2. Любое натуральное число является элементом любого следующего множества.
3. Применение кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна) позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными.
