Методы решения иррациональных уравнений

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Учитель математики А.В.Миловидова

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №4, г.Нелидово,Тверская обл.

Значительное место в школьном курсе математики уделено содержательно-методической линии уравнений и неравенств. Значимость уравнений определяется как теоретико-математической направленностью (здесь уравнения выступают как самостоятельный объект для изучения), так и с точки зрения развития научного мировоззрения учащихся (здесь на первый план выходит применение уравнений к решению ряда задач самой математики, а также к анализу явлений реального мира). Одним из сложных разделов алгебры, изучаемых в школе, являются иррациональные уравнения и неравенства, так как им уделяют недостаточно внимания. Однако задачи по теме «Иррациональные уравнения и неравенства» встречаются в материалах единого государственного экзамена.

При обучении учащихся решению определенного класса уравнений или неравенств следует выделять общий прием решения, который можно представить следующими этапами:

1. Определить вид уравнения, неравенства.

2. Определить стандартное оно или нет.

3. Если стандартное, то решить в соответствии с известным правилом, алгоритмом.

4. Если нестандартное, то выяснить, какие преобразования необходимо выполнить, чтобы свести его к стандартному, либо перейти к использованию искусственных приемов решения.

5. Выполнить эти преобразования.

6. Сделать проверку в уравнении и записать ответ.

Как правило, наибольшие затруднения у учащихся вызывает четвертый этап, это связано с тем, что нахождение решения произвольного уравнения или неравенства не алгоритмизировано и требует от учащихся проявления творчества. Необходимо учащимся дать знания о тех преобразованиях, которые применяются для решения уравнений и неравенств.

Рассмотрим методические аспекты, связанные с методикой обучения учащихся решению иррациональных уравнений.

Сценарий урока по алгебре в 11классе

Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны уметь решать иррациональные уравнения различными способами.

За три недели до данного занятия учащиеся получают домашнее задание №1: решить различные иррациональные уравнения. (Учащиеся самостоятельно находят по 6 различных иррациональных уравнений и решают их в парах.)

За одну неделю до данного занятия учащиеся получают домашнее задание №2, которое выполняют индивидуально.

1. Решить уравнение  различными способами.

2. Оценить достоинства и недостатки каждого способа.

3. Оформить запись выводов в виде таблицы.

№п/п	Способ	Достоинства	Недостатки

Цели урока:

Образовательная: обобщение знаний учащихся по данной теме, демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений, умения учащихся подходить к решению уравнений с исследовательских позиций.

Развивающая: развитие логического мышления, алгоритмической культуры, навыков самообразования, самоорганизации, работы в парах при выполнении домашнего задания, умений анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы.

Воспитательная: воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и общаться в группах, повышение интереса к предмету.

Оборудование: компьютер, проектор, интерактивная доска, таблица «Правила решения иррациональных уравнений», карточки.

Тип урока: урок-семинар (работа в группах по 3-4 человека, в каждой группе обязательно есть сильные ученики).

Ход урока

1. Организационный момент

Исторические факты об иррациональных величинах

А известно ли вам, что в переводе с латыни такое слово, как «иррациональный» звучит, как «неразумный». Но еще интересен тот факт, что параллельно с термином «неразумный» или «иррациональный» математики средневековья иррациональные числа еще нарекали термином «surdus», что в переводе звучало, как «глухой» и «немой». Складывается такое впечатление, что ученые не сильно жаловали иррациональные числа, считая их чем-то «неразумным», что нельзя ни высказать, ни выслушать.

Но, если поначалу математики Древнего мира практически отказывались воспринимать иррациональные числа, то со временем начали проявлять пристальное внимание к таким объектам математики.

В период бурного развития математических наук и астрономии математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, длительное время отвергали иррациональные числа, хотя практически не могли обходиться без иррациональных величин.

А знаете ли вы, откуда появилось такое современное обозначение квадратного корня? Оказывается, начиная с тринадцатого века, длились эволюционные изменения знака радикала. Впервые название квадратному корню дали итальянские математики от латинского слова Radix, что в переводе обозначало корень, а его сокращенным вариантом была буква R.

(Сообщение темы и целей урока)

II. Презентация исследовательской работы «Методы решения иррациональных уравнений»

(Работу представляет учащийся, который ее проводил.)

III. Анализ методов решения домашнего задания

По одному учащемуся от каждой группы записывают на доске предложенные ими способы решения. Каждая группа анализирует один из способов решения, оценивает достоинства и недостатки, делает выводы. Учащиеся групп дополняют, если это необходимо. Оценивается анализ и выводы группы. Ответы должны быть четкими и полными.

Первый способ: переход к смешанной системе

(возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой.)

Пример 1. Решить уравнение _ .

Решение. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств

Возведем обе части уравнения в квадрат:

_

Уравнение имеет корни х=-1 и х=3, которые удовлетворяют условию х≥-1.

Ответ:-1; 3.

Второй способ: умножение на сопряженное выражение

Решение основано на применении формулы

Пример 2. Решить уравнение _.

Решение. Умножая обе части уравнения на сопряженное выражение, получим уравнение

Для решения уравнения _ используем рассмотренные раньше методы.

Пусть t =_, тогда х = t² - 4. Получим уравнение

. Тогда x=_.

Ответ: -_; _

Третий способ: метод введения вспомогательных переменных.

Этот метод позволяет свести иррациональное уравнение к системе рациональных уравнений.

Пример 3. Решить уравнение _

Решение. Положим u=_ Тогда u+v=3. Найдем еще одно уравнение, связывающее u и v: _ Тогда получает систему

Решим второе уравнение системы, записав его в виде _

Получим u=1, значит, x=3.

Ответ: 3.

Четвертый способ: использование монотонности функций, входящих в уравнение. («Метод пристального взгляда»)

Этот метод основан на следующем теоретическом положении: “Если функция у=f(x) возрастает в области определения и число a входит в множество значений, то уравнение f(x)=a имеет единственное решение.”

Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется:

а) Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении.

b) Записать область определения данной функции.

c) Доказать ее монотонность в области определения.

d) Угадать корень уравнения.

e) Обосновать, что других корней нет.

f) Записать ответ.

Пример 4 . Решить уравнение_  

Решение. Рассмотрим функцию _.

Найдем область определения данной функции:

Данная функция является монотонно возрастающей.

Для _ [-3;_ эта функция будет принимать наименьшее значение при х = -3, а далее только возрастать. _ Число 5 принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению х = 1.

Проверкой убеждаемся, что это действительно корень уравнения.

Ответ: 1.

Пятый метод: функционально-графический.

Пример 5. Решить уравнение _

Решение. Рассмотрим функции _ и _.

1. Функция _ - степенная; является возрастающей, т.к. показатель степени – положительное (не целое) число.

Найдем область определения функции D(f).

2x-3≥0 _ x≥ 1,5.

_.

Составим таблицу значений x и f(x).

x	1,5	2	3,5	6
f(x)	0	1	2	3

2. Функция _ - степенная; является убывающей.

Найдем область определения функции D(g): 4x+1≥0 _ x ≥ - 0,25.

D(g)=_.

Составим таблицу значений x и g(x).

x		0	2	6
g(x)	4	3	1	-1

Построим данные графики функций в одной системе координат.

Графики функций пересекаются в точке с абсциссой x = 2. Т.к. функция f(x) возрастает, а функция g(x) убывает, то решение уравнения будет только одно.

Ответ: 2.

Шестой метод: выделение полных квадратов

При решении некоторых иррациональных уравнений используется формула_.

Пример 6. Решить уравнение _

Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:

или _

Обозначим _ и решим полученное уравнение методом интервалов.

Рассматривая отдельно случаи _, находим, что решениями последнего уравнения являются _.

Возвращаясь к переменной x , получаем _

Ответ: _

– Итак, ребята, для каждого иррационального уравнения необходимо выбирать наиболее удобный способ решения: понятный, доступный, логически и грамотно оформленный. Поднимите руку, кто из вас при решении этого уравнения отдал бы предпочтение:

1) методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с проверкой;

2) методу равносильных преобразований;

3) функционально-графическому методу;

4) методу введения новой переменной.

IV. Практическая часть

Работа в группах. Каждая группа учащихся получает карточку с уравнением и решает ее в тетрадях. В это время по одному представителю от группы решают пример на доске. Учащиеся каждой группы решают тот же пример, что и член их группы, и следят за правильностью выполнения задания на доске. Если отвечающий у доски допускает ошибки, то тот, кто их замечает, поднимает руку и помогает исправить. В ходе занятия каждый учащийся помимо примера, решаемого его группой, должен записать в тетрадь и другие, предложенные группам, и решить их дома.

Группа 1. _

Группа 2. _

Группа 3. _

Группа 4. _

Группа 5. _

V. Самостоятельная работа

В группах сначала идет обсуждение, а затем учащиеся приступают к выполнению задания. Проверка проводится учащимися с решением, подготовленным преподавателем, выведенным на экран.

VI. Подведение итогов урока

Теперь вы знаете, что решение иррациональных уравнений требует от вас хороших теоретических знаний, умения применять их на практике, внимания, трудолюбия, сообразительности.

Домашнее задание

Решить уравнения, предложенные группам в ходе занятия.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Прокофьев А.А. Математика. Задачи и решения./ А.А.Прокофьев, И.Б.Кожухов.- Москва: Махаон,2006.-304с.

2. Шахмейстер А.Х. Иррациональные уравнения и неравенства./А.Х. Шахмейстер.-Москва: МЦНМО,2011.-216с.

3. Олехник С.Н. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: Справочник./ С.Н.Олехник, М.К.Потапов, П.И.Пасиченко.-Москва: Факториал,1997.-219с.