Урок обобщения по теме: «Решение тригонометрических уравнений»
Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое»
М.В.Остроградский
Вопросы
1.Каково будет решение sin x=a, |a| ≤1?
2.При каком а уравнение sin x=a имеет решение?
3.Какой формулой выражается это решение?
4.В каком промежутке находится arcsin a?
5.В каком промежутке находится значение а?
6.Каким будет решение уравнения sin x=1?
7.Каким будет решение уравнения sin x=-1?
8.Каким будет решение уравнения sinx=0?
9.Чему равно arсsin(-a)?
10.В каком промежутке находится arcctg a?
11.Чему равно arcctg(-a)?
Письменно ответьте на вопросы
Вопросы
1.Каково будет решение cos x=a, |a|≤1?
2.При каком а уравнение cos x=a имеет решение?
3.Какой формулой выражается это решение?
4.В каком промежутке находится arc cos a?
5.В каком промежутке находится значение а?
6.Каким будет решение уравнения cos x=1?
7.Каким будет решение уравнения cos x=-1?
8.Каким будет решение уравнения cos x=0?
9.Чему равно arс cos (-a)?
10.В каком промежутке находится arctg a?
11.Чему равно arctg(-a)?
После выполнения поменяйтесь работами и сверьтесь с ответами из следующего слайда, после чего поставьте общее количество баллов (1 правильный ответ = 1 балл)
Алгоритм решения тригонометрических уравнений.
1) Привести уравнение к квадратному, относительно тригонометрических функций, применяя тригонометрические тождества.
2)Ввести новую переменную.
3)Записать данное уравнение, используя эту переменную.
4)Найти корни полученного квадратного уравнения.
5)Перейти от новой переменной к первоначальной.
6)Решить простейшие тригонометрические уравнения.
7)Записать ответ.
Что такое тригонометрия???
Тригонометрия (от греч. trigonon – треугольник, metro – метрия) – микрораздел математики , в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций.
Истоки тригонометрии берут начало в древнем Египте, Вавилонии и долине Инда более 3000 лет назад.
Слово тригонометрия впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса.
Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников.
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом и Птолемеем.
Во «Введении в анализ бесконечных» (1748 г)
трактует синус, косинус и т.д. не как
тригонометрические линии, обязательно
связанные с окружностью, а как
тригонометрические функции, которые он
рассматривал как отношения сторон
прямоугольного треугольника, как числовые
величины.
Исключил из своих формул
R – целый синус, принимая
R = 1, и упростил таким
образом записи и вычисления.
Разрабатывает учение
о тригонометрических функциях
любого аргумента.
В XIX веке продолжил
развитие теории
тригонометрических
функций.
« Геометрические рассмотрения ,- пишет Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале тригонометрии, покуда они не послужат к открытию отличительного свойства тригонометрических функций… Отсюда делается тригонометрия совершенно независимой от геометрии и имеет все достоинства анализа».
Основополагающий вопрос:
Почему знания тригонометрии необходимы для современного человека?
Где применяется тригонометрия
Тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей. Следует отметить применение в таких областях как: физика, природа, биология, музыка, медицина и многие другие.
16
Тригонометрия в физике
В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений, например:
Механические колебания
Гармонические колебания
16
Гармонические колебания
Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:
или
Где х — значение изменяющейся величины, t — время, А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний, — полная фаза колебаний, r — начальная фаза колебаний.
Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде x’’ + ω²x = 0.
Механические колебания
Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.
Примерами простых механических колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.
В процессе работы над учебным проектом «Зачем нужна тригонометрия» нас заинтересовал вопрос «Почему мы иногда видим то, чего нет на самом деле?» . Для исследования были предложены следующие вопросы: «Как возникает радуга?», «Что такое оптические иллюзии?» ,«Как тригонометрия может помочь найти ответы на эти вопросы?».
21
Оптические иллюзии
естественные
искусственные
смешанные
Теория радуги
Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:
Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.
sin α / sin β = n 1 / n 2
где n 1 =1, n 2 ≈1,33 – соответственно показатели преломления воздуха и воды, α – угол падения, а β – угол преломления света.
Схема образования радуги
- Сферическая капля
- Внутреннее отражение
- Первичная радуга
- Преломление
- Вторичная радуга
- Входящий луч света
- Ход лучей при формировании первичной радуги
- Ход лучей при формировании вторичной радуги
- Наблюдатель
10-12. Область формирования радуги.
Тригонометрия в живой природе
- Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.
- Также в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус.
21
Связь движения рыб в воде с тригонометрическими функциями
Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксиров точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.
При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.
Тригонометрия в биологии
Какие биологические процессы связаны с тригонометрией?
- Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.
- Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией.
Связь биоритмов с тригонометрией
- Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций.
- Для этого необходимо ввести дату рождения человека ( день, месяц, год ) и длительность прогноза.
Модель биоритмов
Заключение
