Практическое занятие № 2.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Контроль знаний (по изученной теме)
Вопросы:
Дайте определение матрицы
Какие типы матриц Вам известны?
Что такое определитель?
Какие действия можно поизводить с матрицами, их свойства.
Определители вторго и третьего порядков, их свойства
Определение минора и алгебраического дополнения
Определение системя линейных уравнений
Понятие обратной матрицы, ее свойства
Охарактеризуйте метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
Оценка устных ответов обучающихся
Ответ оценивается отметкой «5», если обучающийся:
полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и учебником, изложил материал грамотным языком в определенной логической последовательности, точно используя математическую терминологию и символику;
правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;
показал умение иллюстрировать теоретические положения конкретными примерами, применять их в новой ситуации при выполнении практического задания;
продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов, сформированность и устойчивость используемых при отработке умений и навыков;
отвечал самостоятельно без наводящих вопросов преподавателя. Возможны одна - две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые обучающийся легко исправил по замечанию преподавателя.
Ответ оценивается отметкой «4», если
он удовлетворяет в основном требованиям на оценку «5», но при этом имеет один из недостатков:
в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие математическое содержание ответа;
допущены один – два недочета при освещении основного содержания ответа, исправленные по замечанию преподавателя;
допущены ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные по замечанию преподавателя.
Отметка «3» ставится в следующих случаях:
неполно или непоследовательно раскрыто содержание материала, но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного материала (определенные «Требованиями к математической подготовке обучающихся»);
имелись затруднения или допущены ошибки в определении понятий, использовании математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов преподавателя;
обучающийся не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме;
при знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.
Отметка «2» ставится в следующих случаях:
не раскрыто основное содержание учебного материала;
обнаружено незнание или непонимание студентом большей или наиболее важной части учебного материала;
допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов преподавателя.
Решение практических заданий (решение заданий у доски):
Решение упражнений по теме «Матрицы и действия над ними»:
Пример 1. Сложить и вычесть матрицы
, .
Решение:
1) + = = =;
2) – ===;
3) произведение не существует, так как матрицы А и В несогласованы, впрочем, не существует и произведения по той же причине.
Пример 2. Сложить, вычесть и перемножить матрицы
=, =.
Решение:
1) суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 23, а матрица В – порядок 31;
2) так как матрицы А и В согласованны, то произведение матриц АּВ существует:
·=·==,
произведение матриц ВּА не существует, так как матрицы и несогласованны.
Пример 3. Сложить, вычесть и перемножить матрицы
=, =.
Решение:
1) суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 32, а матрица В – порядок 23;
2) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны, но результатом таких произведений будут матрицы разных порядков: ·=, ·=.
·=·=
= = ;
·=·= =
= = в данном случае АВ ≠ ВА.
Пример 4. Сложить, вычесть и перемножить матрицы
=, =.
Решение:
1) +===,
2) –= ==;
3) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны:
·==·==;
·==·==
= ≠, то есть матрицы А и В некоммутирующие.
Пример 5. Сложить, вычесть и перемножить матрицы
=, =.
Решение:
1) +===,
2) –===;
3) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны:
·==·==;
·==·==
= = АּВ=ВּА, т. е. данные матрицы коммутирующие.
Работа по карточкам по теме «Матрицы и действия над ними» (у каждого обучающегося свое задание)
Найти сумму, разность, произведения двух матриц А и В.
а) , ;
б) , ;
в) , ;
г) , ;
д) , ;
е) , ;
ж) , ;
з) , ;
и) , .
Ответы по теме «матрицы и действия над ними»
а) , ;
б) произведения АВ и ВА не существуют;
в) , ;
г) , ;
д) суммы, разности и произведения ВА матриц не существуют, ;
е) , ;
ж) произведения матриц не существуют;
з) , ;
и) , .
Задания на повышение оценки (для сильных обучающихся)
Вычислить (3А – 2В)·С, если
, , .
Найти , если
а) ; б) .
Найти матрицу Х, если 3А+2Х=В, где
, .
Найти АВС, если
а) , , ;
б) , , .
Ответы на задания повышенной сложности:
.
а) ; б) .
.
а) ; б) .
Оценка письменной работы обучающегося:
Отметка «5» ставится, если:
работа выполнена полностью;
в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «4» ставится, если:
работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).
Отметка «3» ставится, если:
допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.
Отметка «2» ставится, если:
допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.
Практическая работа № 1 по теме: «Определители и их свойства»
Вычислить определители (по вариантам 1-3 варианты)
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
С помощью правила треугольников вычислить определители (1-3 варианты)
а) ; б) ; в) .
Вычислить определители примера 2, используя теорему Лапласа.
Вычислить определители, предварительно упростив их:
а) ; б) ; в) .
5. Вычислить определитель методом приведения его к треугольному виду
.
Ответы к практической работе.
а) 10; б) 1; в) 25; г) 16; д) 0; е) –3.
а) –25; б) 168; в) 21.
а) –25; б) 168; в) 21.
4 а) 70; б) 18; в) –66;
5. –24.
Оценка практической работы обучающегося:
Отметка «5» ставится, если:
работа выполнена полностью;
в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «4» ставится, если:
работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).
Отметка «3» ставится, если:
допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.
Отметка «2» ставится, если:
допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.
Решение упражнений по теме «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса»
Пример: решить систему уравнений методом Гаусса (разбор заданий у доски)
3x1-2x25x3+x4=3,
2x1-3x2+x3=5x=-3,
x2+2x2-4x4=-3,
x1-x2-4x3=9x4=22,
Решение: запишем вместо 1 уравнения 3 уравнение.
x1=2x2-4x=-3,
3x1-2x2-5x3+x4=3,
2x1-3x2+x3+5x4=-3,
x1-x2-4x3+9x4=22.
1)умножим 1 уравнение на (-3) и сложим со вторым уравнением, результат запишем во второе уравнение;
2) 1 уравнение умножим на (-2) и сложим с третьим уравнением, результат запишем в 3 уравнение;
3) 1 уравнение умножим на (-1) и сложим с четвёртым уравнением, результат запишем в 4 уравнение.
x1+2x2-4x4=-3,
-8x2-5x3+13x4=12,
-7x2+x3+13x4=3,
-3x2-4x3+13x4=25.
1) 2 уравнение умножим на (-7) и 3 умножим на 8.Затем полученные произведения сложим и запишем в 3 уравнение;
2) 2 уравнение умножим на (-3) и 4 уравнение умножим на 8. Затем полученные произведения сложим и запишем в 4 уравнение.
x1+2x2-4x4=-3,
-8x2-5x3+13x4=13,
43x3+13x4=-60,
-17x3+65x4=164.
Домножим 4 уравнение на (-5)
x1+2x2-4x4=-3,
-8x2-5x3+13x4=12,
43x3+13x4=-60,
-232x3=464.
1) x3=464: (-232)=-2,
2) 43 (-2)+13x4=-60,
13x4=-60+86,
13x4=26,
x4=2.
3)–8x2-5 (-2)+13 2=12,
–8x2+10+26=12,
-8x2=12-36,
-8x2=-24,
x2=3.
4)x1+2 3-4 2=-3,
x1+6-8=-3,
x1=-3-6+8,
x=-1.
Проверка:
3 (-1)-2 3-5 (-2)==-3-6+10=2=12-9=3 3=3;
2 (-1)-3 3+(-2)+5 2=-2-9-2+10=-13=10=-3 -3=-3;
–1+2 3-4 2=-1+6-8=-3 -3=-3;
–1-3-4 (-2)+9 2=-1-3+8+18=26-4=22 22=22.
Ответ: x1=-1; x2=3; x3=-2; x4=2.
Практическая работа № 2 по теме «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса»
Решить системы уравнений методом Гаусса
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Оценка практической работы обучающегося:
Отметка «5» ставится, если:
работа выполнена полностью;
в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «4» ставится, если:
работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).
Отметка «3» ставится, если:
допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.
Отметка «2» ставится, если:
допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.
7. Дополнительные задания (по повышение оценки)
Найти обратную матрицу:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) ;
и) ; к) ; л) .
Доказать равенство :
а) , .
Ответы по теме «обратная матрица»
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ;
з) ; и) ;
к) ; л) ;
2.а) , , =;
Домашнее задание
1. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса
а)
б)
Найти обратную матрицу и проверить выполнение условия :
а) ; б) .
Рекомендуемая литература:
Основные источники:
1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. –М.: Высшая школа, 2002, 495с.
2. Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов/ И.Л. Соловейчик, В.Т. Лисичкин. –М.: ООО Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и образование, 2003, 464с.
3. Пехлецкий И.Д. Математика. –М.: «Академия», 2012, 304с.
Дополнительная литература:
Зайцев И.А. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1991, 517 с.
Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов. М.: Наука, 1974, 254 с.
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: ООО «Издательство Астрель», 2003, 991 с.
Интернет-ресурсы:
Электронная библиотечная система «Лань»