«Зима 2023»

Презентация к уроку "Стереометрия"

Презентация может быть использована при изучении основных аксиом стереометрии о расположении точек. прямых и плоскостей в прострнстве, прямоугольной системы координат и векторов в пространстве.

Олимпиады: Викторина "Декабрь, январь и февраль — праздник каждый день" 1 - 11 классы

Содержимое разработки

Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео» - по-гречески земля, а «метрео» - мерить)

Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео» - по-гречески земля, а «метрео» - мерить)

Стереометрия – раздел геометрии, в которой изучаются свойства фигур в пространстве. Планиметрия изучает свойства геометрических фигур на плоскости. куб шар цилиндр

Стереометрия – раздел геометрии, в которой изучаются свойства фигур в пространстве.

Планиметрия изучает свойства геометрических фигур на плоскости.

куб

шар

цилиндр

β С В а α А α А В Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

β

С

В

а

α

А

α

А

В

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

b α a Q a N P М М α Через прямую и не лежащую  на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.  Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

b

α

a

Q

a

N

P

М

М

α

Через прямую и не лежащую

на ней точку проходит плоскость,

и притом только одна.

Через две пересекающиеся

прямые проходит плоскость,

и притом только одна.

a b a b M β β Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

a

b

a

b

M

β

β

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

c a b М a b α K α a b Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. M N α p β Если одна из параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

c

a

b

М

a

b

α

K

α

a

b

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

M

N

α

p

β

Если одна из параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

а Определение: прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек. b α a Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. α β b 1 0 . Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. 2 0 . Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

а

Определение: прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек.

b

α

a

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

α

β

b

1 0 . Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

2 0 . Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

D A B C C B A β D E β Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость, то эти прямые скрещивающиеся. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

D

A

B

C

C

B

A

β

D

E

β

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость, то эти прямые скрещивающиеся.

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

a1 b1 β β α a м b Две плоскости  называются параллельными , если они не пересекаются. α Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

a1

b1

β

β

α

a

м

b

Две плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

α

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

a c b b M A a c C Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 0 . Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

a

c

b

b

M

A

a

c

C

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 0 .

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

b а a a 1 α х α Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. M β С α Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. b а b1

b

а

a

a 1

α

х

α

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

M

β

С

α

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

b

а

b1

a A a l g P O g Q O p p m m α α L B Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой прямой.

a

A

a

l

g

P

O

g

Q

O

p

p

m

m

α

α

L

B

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым,

лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой прямой.

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а , не принадлежащим одной плоскости. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а , не принадлежащим одной плоскости.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

B C D α A β Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 0 .

B

C

D

α

A

β

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 0 .

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется вектором. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Длиной ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ. N В K D E AM DK ; AD EK ; AB DC; А т С AD , AM не являются ни сонаправленными, ни противоположно направленными, так как они не коллениарны. M AB и CD – ненулевые вектора ТТ- нулевой вектор C D A B

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется вектором.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Длиной ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ.

N

В

K

D

E

AM DK ; AD EK ; AB DC;

А

т

С

AD , AM не являются ни сонаправленными, ни противоположно направленными, так как они не коллениарны.

M

AB и CD – ненулевые вектора

ТТ- нулевой вектор

C

D

A

B

a+b а  - b а  - b а а b b b B а b B b a+b A B C C а а A b A а a+b C АС называется суммой векторов а и b : АС=а+ b . Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Правила треугольника можно сформулировать в такой форме: для любых трех точек А,В и С имеет равенство АВ+ВС=АС Для любых векторов а, b и с справедливы равенства: a+b=b+a ( переместительный закон); ( a+b)+c=a+(b+c) ( сочетательный закон) b а b а A -b A B а Разностью векторов a,  b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. а B О О b OA=a, OB=b, BA=a-b OA=a, AB=-b, OB=a+(-b)=a-b

a+b

а - b

а - b

а

а

b

b

b

B

а

b

B

b

a+b

A

B

C

C

а

а

A

b

A

а

a+b

C

АС называется суммой векторов а и b : АС=а+ b . Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Правила треугольника можно сформулировать в такой форме: для любых трех точек А,В и С имеет равенство АВ+ВС=АС

Для любых векторов а, b и с справедливы равенства:

a+b=b+a ( переместительный закон);

( a+b)+c=a+(b+c) ( сочетательный закон)

b

а

b

а

A

-b

A

B

а

Разностью векторов a, b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а.

а

B

О

О

b

OA=a, OB=b, BA=a-b

OA=a, AB=-b, OB=a+(-b)=a-b

A1 D C d d C c c B c b e A A6 A5 b B A7 E A4 a b e O A3 A2 A ОС= a +b +c O a a Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. Правило многоугольника: если А 1 А 2 +А 2 А 3 +….+А n-1 A n =A 1 A n . A 1 A 2 +A 2 A 3 +A 3 A 4 +A 4 A 5 +A 5 A 6 +A 6 A 7 =A 1 A 7 A 1 A 2 +A 2 A 3 +A 3 A 4 +A 4 A 5 +A 5 A 6 +A 6 A 1 =O

A1

D

C

d

d

C

c

c

B

c

b

e

A

A6

A5

b

B

A7

E

A4

a

b

e

O

A3

A2

A

ОС= a +b +c

O

a

a

Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

Правило многоугольника: если А 1 А 2 +А 2 А 3 +….+А n-1 A n =A 1 A n .

A 1 A 2 +A 2 A 3 +A 3 A 4 +A 4 A 5 +A 5 A 6 +A 6 A 7 =A 1 A 7

A 1 A 2 +A 2 A 3 +A 3 A 4 +A 4 A 5 +A 5 A 6 +A 6 A 1 =O

OB1=y*OB OC=x*OA+ y*OB=C D B1 C B1 C c b B E B A b O A1 A OA1=x*OA a O a Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. Если вектор с можно разложить по векторам а и b ,т.е. представить в виде с=ха+у b ,где х и у – некоторые числа, то векторы а, b и с комплектарны.

OB1=y*OB

OC=x*OA+ y*OB=C

D

B1

C

B1

C

c

b

B

E

B

A

b

O

A1

A

OA1=x*OA

a

O

a

Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Если вектор с можно разложить по векторам а и b ,т.е. представить в виде с=ха+у b ,где х и у – некоторые числа, то векторы а, b и с комплектарны.

P Если вектор р представлен в виде р = ха + у b  +  zc , где х, у, z- некоторые числа, то говорят, что вектор р разложен по векторам а, b и с. Числа х, у, z называются коэффициентами разложения. C p B P1 c b P2 a O A

P

Если вектор р представлен в виде р = ха + у b + zc , где х, у, z- некоторые числа, то говорят, что вектор р разложен по векторам а, b и с. Числа х, у, z называются коэффициентами разложения.

C

p

B

P1

c

b

P2

a

O

A

Ось аппликат Ось абсцисс Z Z М3 Ось ординат М О У М2 О У Х М1 Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч –отрицательной полуосью Х В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами.

Ось аппликат

Ось абсцисс

Z

Z

М3

Ось ординат

М

О

У

М2

О

У

Х

М1

Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч –отрицательной полуосью

Х

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами.

1 0 Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Z k 2 0 Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. У О j i Х 3 0 Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Любой вектор а можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде а=х i+yj+zk , причем коэффициенты разложения х, у, z определяются единственным образом.

1 0 Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Z

k

2 0 Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

У

О

j

i

Х

3 0 Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Любой вектор а можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде а=х i+yj+zk , причем коэффициенты разложения х, у, z определяются единственным образом.

Z B(x2;y2;z2) М3 AB x2-x1;y2-y1;z2-z1 М(х;у; z) k О М2 i A(x1;y1;z1) О j У N М1 Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. Х ОМ-радиус-вектор Координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиуса-вектора.

Z

B(x2;y2;z2)

М3

AB x2-x1;y2-y1;z2-z1

М(х;у; z)

k

О

М2

i

A(x1;y1;z1)

О

j

У

N

М1

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Х

ОМ-радиус-вектор

Координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиуса-вектора.

b a а f d 30 0 А α c b О В Угол между векторами а и b равен α . Если угол между векторами равен 90 0 , то векторы называются перпендикулярными. a b =30 0 , a c =120 0 , d f =0 0 , d c =180 0 . b c, b d, b f

b

a

а

f

d

30 0

А

α

c

b

О

В

Угол между векторами а и b равен α . Если угол между векторами равен 90 0 , то векторы называются перпендикулярными.

a b =30 0 , a c =120 0 , d f =0 0 , d c =180 0 .

b c, b d, b f

0, причем а 2 0 при а = 0. 2 0 a b=b a( переместительный закон) 3 0 (a + b) c=a c + b c( распределительный закон) 4 0 k (a b)=(ka) b ( сочетательный закон)." width="640"

Скалярным произведением

двух векторов называется

произведение их длин

на косинус угла между ними.

а

b

Справедливы утверждения:

скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны;

скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины.

Для любых векторов а , b , с и любого числа k справедливы равенства:

1 0 а 2 0, причем а 2 0 при а = 0.

2 0 a b=b a( переместительный закон)

3 0 (a + b) c=a c + b c( распределительный закон)

4 0 k (a b)=(ka) b ( сочетательный закон).

Получите свидетельство о публикации сразу после загрузки работы



Получите бесплатно свидетельство о публикации сразу после добавления разработки


Серия олимпиад «Зима 2023»



Комплекты учителю



Качественные видеоуроки, тесты и практикумы для вашей удобной работы

Подробнее

Вебинары для учителей



Бесплатное участие и возможность получить свидетельство об участии в вебинаре.


Подробнее