Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео» - по-гречески земля, а «метрео» - мерить)
Стереометрия – раздел геометрии, в которой изучаются свойства фигур в пространстве.
Планиметрия изучает свойства геометрических фигур на плоскости.
куб
шар
цилиндр
β
С
В
а
α
А
α
А
В
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
b
α
a
Q
a
N
P
М
М
α
Через прямую и не лежащую
на ней точку проходит плоскость,
и притом только одна.
Через две пересекающиеся
прямые проходит плоскость,
и притом только одна.
a
b
a
b
M
β
β
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
c
a
b
М
a
b
α
K
α
a
b
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
M
N
α
p
β
Если одна из параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
а
Определение: прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек.
b
α
a
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
α
β
b
1 0 . Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
2 0 . Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.
D
A
B
C
C
B
A
β
D
E
β
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость, то эти прямые скрещивающиеся.
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
a1
b1
β
β
α
a
м
b
Две плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.
α
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
a
c
b
b
M
A
a
c
C
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 0 .
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
b
а
a
a 1
α
х
α
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
M
β
С
α
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
b
а
b1
a
A
a
l
g
P
O
g
Q
O
p
p
m
m
α
α
L
B
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым,
лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой прямой.
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а , не принадлежащим одной плоскости.
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
B
C
D
α
A
β
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 0 .
Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется вектором.
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Длиной ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ.
N
В
K
D
E
AM DK ; AD EK ; AB DC;
А
т
С
AD , AM не являются ни сонаправленными, ни противоположно направленными, так как они не коллениарны.
M
AB и CD – ненулевые вектора
ТТ- нулевой вектор
C
D
A
B
a+b
а - b
а - b
а
а
b
b
b
B
а
b
B
b
a+b
A
B
C
C
а
а
A
b
A
а
a+b
C
АС называется суммой векторов а и b : АС=а+ b . Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Правила треугольника можно сформулировать в такой форме: для любых трех точек А,В и С имеет равенство АВ+ВС=АС
Для любых векторов а, b и с справедливы равенства:
a+b=b+a ( переместительный закон);
( a+b)+c=a+(b+c) ( сочетательный закон)
b
а
b
а
A
-b
A
B
а
Разностью векторов a, b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а.
а
B
О
О
b
OA=a, OB=b, BA=a-b
OA=a, AB=-b, OB=a+(-b)=a-b
A1
D
C
d
d
C
c
c
B
c
b
e
A
A6
A5
b
B
A7
E
A4
a
b
e
O
A3
A2
A
ОС= a +b +c
O
a
a
Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.
Правило многоугольника: если А 1 А 2 +А 2 А 3 +….+А n-1 A n =A 1 A n .
A 1 A 2 +A 2 A 3 +A 3 A 4 +A 4 A 5 +A 5 A 6 +A 6 A 7 =A 1 A 7
A 1 A 2 +A 2 A 3 +A 3 A 4 +A 4 A 5 +A 5 A 6 +A 6 A 1 =O
OB1=y*OB
OC=x*OA+ y*OB=C
D
B1
C
B1
C
c
b
B
E
B
A
b
O
A1
A
OA1=x*OA
a
O
a
Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
Если вектор с можно разложить по векторам а и b ,т.е. представить в виде с=ха+у b ,где х и у – некоторые числа, то векторы а, b и с комплектарны.
P
Если вектор р представлен в виде р = ха + у b + zc , где х, у, z- некоторые числа, то говорят, что вектор р разложен по векторам а, b и с. Числа х, у, z называются коэффициентами разложения.
C
p
B
P1
c
b
P2
a
O
A
Ось аппликат
Ось абсцисс
Z
Z
М3
Ось ординат
М
О
У
М2
О
У
Х
М1
Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч –отрицательной полуосью
Х
В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами.
1 0 Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Z
k
2 0 Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
У
О
j
i
Х
3 0 Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Любой вектор а можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде а=х i+yj+zk , причем коэффициенты разложения х, у, z определяются единственным образом.
Z
B(x2;y2;z2)
М3
AB x2-x1;y2-y1;z2-z1
М(х;у; z)
k
О
М2
i
A(x1;y1;z1)
О
j
У
N
М1
Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
Х
ОМ-радиус-вектор
Координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиуса-вектора.
b
a
а
f
d
30 0
А
α
c
b
О
В
Угол между векторами а и b равен α . Если угол между векторами равен 90 0 , то векторы называются перпендикулярными.
a b =30 0 , a c =120 0 , d f =0 0 , d c =180 0 .
b c, b d, b f
0, причем а 2 0 при а = 0. 2 0 a b=b a( переместительный закон) 3 0 (a + b) c=a c + b c( распределительный закон) 4 0 k (a b)=(ka) b ( сочетательный закон)." width="640"
Скалярным произведением
двух векторов называется
произведение их длин
на косинус угла между ними.
а
b
Справедливы утверждения:
скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны;
скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины.
Для любых векторов а , b , с и любого числа k справедливы равенства:
1 0 а 2 0, причем а 2 0 при а = 0.
2 0 a b=b a( переместительный закон)
3 0 (a + b) c=a c + b c( распределительный закон)
4 0 k (a b)=(ka) b ( сочетательный закон).
