Самостоятельная работа:
В а р и а н т 1.
- Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии ( а п ), если а 1 = 15 и d = 3 .
- Найдите сумму первых шестидесяти членов последовательности ( b n ) , заданной формулой
В а р и а н т 2.
- Найдите восемнадцатый член арифметической прогрессии ( а п ),если а 1 = 70 и d = -3 .
- Найдите сумму первых сорока членов последовательности ( b n ), заданной формулой
b n = 3n – 1 .
b n = 4n – 2 .
Рассмотрите последовательности и выявите закономерности:
а) - 3; - 5; - 7; - 9; …
б) - 2; - 4; - 8; - 16; …
в) 2; 4; 8; 16; 32; 64; …
г) 2; 6; 18; 54; 162…
Определение геометрической прогрессии. Формула n -го члена геометрической прогрессии.
Цели урока:
- Сформулировать определение геометрической прогрессии.
- Вывести формулу n -го члена геометрической прогрессии
- Находить любой член геометрической прогрессии, его порядковый номер, используя формулу n -го члена и свойство геометрической прогрессии .
Пример:
(b n ): 2, 6, 18, 54, 162,...
Здесь каждый член после первого в 3 раза больше предыдущего. То есть каждый последующий член является результатом умножения предыдущего члена на 3:
2 · 3 = 6;
6 · 3 = 18
18 · 3 = 54
54 · 3 = 162.
Геометрическая прогрессия – это такая последовательность отличных от нуля чисел, которая получается в результате умножения каждого последующего члена на одно и то же число, не равное нулю.
Последовательность (b n ) – геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие:
b n ≠ 0 и b n+1 = b n . q, где q – некоторое число.
Выразим из формулы q
q – знаменатель геометрической прогрессии
Знаменатель геометрической прогрессии – это число, равное отношению любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену прогрессии. Его обычно обозначают буквой q.
Пример :
(b n ) – геометрическая прогрессия.
b 1 = 1, q = 0,1. Найдите несколько первых членов этой прогрессии.
b 2 = b 1 . q = 1 . 0,1 = 0,1
b 4 = b 3 . q = 0,01 . 0,1 = 0,001
b 3 = b 2 . q = 0,1 . 0,1 = 0,01
b 5 = b 4 . q = 0,001 . 0,1 = 0,0001
Вывод формулы n – первых членов
геометрической прогрессии
( b n ) – геометрическая прогрессия. Зная b 1 и q, найдите последовательно первые пять членов этой прогрессии.
b 2 = b 1 . q
b 3 = b 2 . q = b 1 . q . q = b 1 . q 2
b 4 = b 3 . q = b 1 . q 2 . q = b 1 . q 3
b 5 = b 4 . q = b 1 . q 3 = b 1 . q 3 . q = b 1 . q 4
b n = b 1 . q n-1 - формула n-го члена геометрическойпрогрессии
Пример 1 : В геометрической прогрессии,
b 1 = 2, а знаменатель q = 1,5.
Найти 4-й член этой прогрессии.
Дано: b 1 = 2 q = 1,5 n = 4 Найти: b 4 - ?
Решение. Применяем формулу: b n = b 1 · q n – 1 , подставляя в нее соответствующие значения:
b 4 = 2 · 1,5 4 – 1 = 2 · 1,5 3 = 2 · 3,375 = 6,75.
Ответ: 6,75.
Пример 2 : Найти пятый член геометрической прогрессии, если первый и третий члены равны соответственно 12 и 192.
Дано: b 1 = 12, b 3 = 192 Найти: b 5 - ?
Решение.
- Найдем знаменатель геометрической прогрессии.
В качестве первого шага с помощью формулы п-го члена запишем формулу для b 3 :
b 3 = b 1 · q 3 – 1 = b 1 · q 2
Найдем знаменатель геометрической прогрессии:
или
2) Найдем значение b 5 . Если q = 4, то
b 5 = b 1 q 5-1 = 12 · 4 4 = 12 · 256 = 3072 .
При q = –4 результат будет тот же. Таким образом,
задача имеет одно решение.
Ответ: 3072.
Свойства геометрической прогрессии
1) Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него: b n 2 = b n-1 · b n+1
Доказательство.
(b n ) – геометрическая прогрессия.
b n = b n-1 . q, b n+1 = b n . q все члены геометрической прогрессии отличны от нуля, то
b n 2 = b n-1 · b n+1
2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него, то эта последовательность является геометрической прогрессией
Пример :
Вернемся к геометрической прогрессии 2, 6, 18, 54, 162,...
Возьмем четвертый член и возведем его в квадрат: 54 2 = 2916.
Теперь перемножим члены, стоящие слева и справа от числа 54: 18 · 162 = 2916.
Как видим, квадрат третьего члена равен произведению соседних второго и четвертого членов.
0 арифметическая прогрессия возрастающая d арифметическая прогрессия убывающая q 1 геометрическая прогрессия возрастающая 0 геометрическая прогрессия убывающая" width="640"
Вывод
- d0
арифметическая прогрессия возрастающая
- d
арифметическая прогрессия убывающая
- q 1
геометрическая прогрессия возрастающая
- 0
геометрическая прогрессия убывающая
Формула n -го члена прогрессии
Пусть заданы а 1 и d
а 2 =а 1 + d
a 3 =a 2 +d=a 1 +d+d= а 1 + 2d
a 4 =a 3 +d= а 1 + 3d
…………………………… ..
a n =a 1 +(n-1)d
Пусть заданы b 1 и q
b 2 = b 1 ∙ q
b 3 = b 2 ∙ q= b 1 ∙ q ∙ q=b 1 ∙ q 2
b 4 =b 1 ∙ q 3
…………………………………………… .. b n = b 1 ∙ q n-1
Чтобы задать
арифметическую геометрическую
прогрессию, достаточно указать её
первый член и первый член и
разность знаменатель
Работа в тетрадях Задание 1.
Дано: ( b n ) - геометрическая прогрессия
b 1 = 5 q = 3
Найти: b 3 ; b 5 .
Решение: используя формулу b n = b 1 q n-1
b 3 =b 1 q 2 = 5 . 3 2 =5 . 9=45
b 5 =b 1 q 4 = 5 . 3 4 =5 . 81 =4 0 5
Ответ: 45; 4 0 5.
Решение
Работа в тетрадях Задание 2.
Дано: ( b n ) - геометрическая прогрессия
b 4 = 40 q = 2
Найти: b 1 .
Решение: используя формулу b n = b 1 q n-1
b 4 =b 1 q 3 ; b 1 = b 4 : q 3 =40:2 3 =40 : 8=5
Ответ: 5.
Решение
Работа в тетрадях Задание 3.
Дано: ( b n ) - геометрическая прогрессия
b 1 = -2, b 4 =-54.
Найти: q .
Решение: используя формулу b n = b 1 q n-1
b 4 =b 1 q 3 ; -54=(-2) q 3 ; q 3 = -54:(-2)=27;
q =3
Ответ: 3.
Решение
Подготовка к ГИА
Заданы три первых члена числовых последовательностей. Известно, что
одна из этих последовательностей
не является ни геометрической, ни арифметической прогрессией.
Укажите её.
А. 1; 2; 3;…
Б. 1; 2; 4;…
В. 1; 4; 16;…
Г. 1; 4; 9;…
Подготовка к ГИА
Заданы три первых члена числовых последовательностей. Известно, что
одна из этих последовательностей
не является геометрической
прогрессией. Укажите её.
-3; 1; ;…
-3; -9; -27;…
-3; 5; -7;…
-3; ;-1 ; …
Подготовка к ГИА
- Последовательности ( a n ) , ( b n ), ( c n )
заданы формулами n -го члена.
Поставьте в соответствие каждой
последовательности верное утверждение.
УТВЕРЖДЕНИЕ
- Последовательность –
арифметическая прогрессия
2) Последовательность –
геометрическая прогрессия
3) Последовательность не
является ни арифметической,
ни геометрической прогрессией
ФОРМУЛА
А)
Б)
В)
А
2
Б
1
В
3
Домашнее задание
