![События и их виды. Статистическая, классическая и геометрическая вероятность Беляева Т.Ю. ГБПОУ КК«АМТ» г. Армавир Преподаватель математики](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_0.jpg)
События и их виды. Статистическая, классическая и геометрическая вероятность
Беляева Т.Ю. ГБПОУ КК«АМТ» г. Армавир Преподаватель математики
![Понятие события В жизни часто проводят эксперименты и наблюдают какие-то явления. В процессе наблюдения или эксперимента приходится встречаться с некоторыми случайными событиями , то есть такими событиями, которые могут произойти или не произойти.](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_1.jpg)
Понятие события
В жизни часто проводят эксперименты и наблюдают какие-то явления.
В процессе наблюдения или эксперимента приходится встречаться с некоторыми случайными событиями , то есть такими событиями, которые могут произойти или не произойти.
![ДОСТОВЕРНЫЕ И НЕВОЗМОЖНЫЕ СОБЫТИЯ Событие, которое при проведении опыта или наблюдения происходит всегда, называют достоверным событием . Событие, которое не может произойти ни при каком исходе опыта или наблюдения, называют невозможным событием .](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_2.jpg)
ДОСТОВЕРНЫЕ И НЕВОЗМОЖНЫЕ СОБЫТИЯ
Событие, которое при проведении опыта или наблюдения происходит всегда, называют достоверным событием .
Событие, которое не может произойти ни при каком исходе опыта или наблюдения, называют невозможным событием .
![Пример: Бросали 100 раз игральный кубик и наблюдали сколько раз на верхней части окажется 6 очков. Предположим, что это произошло 19 раз. Говорят, что частота выпадения 6 очков равна 19. Обозначим буквой n число испытаний, а буквой m число испытаний, при которых произошло событие А . Число m называют частотой события А, а отношение m к n – относительной частотой .](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_3.jpg)
Пример:
Бросали 100 раз игральный кубик и наблюдали сколько раз на верхней части окажется 6 очков. Предположим, что это произошло 19 раз. Говорят, что частота выпадения 6 очков равна 19.
Обозначим буквой n число испытаний, а буквой m число испытаний, при которых произошло событие А .
Число m называют частотой события А, а отношение m к n – относительной частотой .
![Относительной частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к числу всех испытаний](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_4.jpg)
Относительной частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к числу всех испытаний
![В ходе статистических исследований было установлено, что при многократном повторении некоторых опытов при одних и тех же условиях, ожидаемая частота появления того или иного события может оставаться примерно одинаковой, незначительно отличаясь от некоторого числа p . Ясно, что число p зависит от того случайного события, частота которого подсчитывается. Это число принимают за вероятность данного случайного события. Такой подход к вычислению вероятностей называют статистическим .](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_5.jpg)
В ходе статистических исследований было установлено, что при многократном повторении некоторых опытов при одних и тех же условиях, ожидаемая частота появления того или иного события может оставаться примерно одинаковой, незначительно отличаясь от некоторого числа p .
Ясно, что число p зависит от того случайного события, частота которого подсчитывается.
Это число принимают за вероятность данного случайного события.
Такой подход к вычислению вероятностей называют статистическим .
![Чтобы определить вероятность интересующего нас события путем статистического исследования, необходимо провести большое число опытов или наблюдений. Только после этого можно приближенно определить вероятность этого события. В ряде случаев вероятность события можно оценить непосредственно из условий самого опыта или наблюдения путем рассуждений, не прибегая к испытаниям.](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_6.jpg)
Чтобы определить вероятность интересующего нас события путем статистического исследования, необходимо провести большое число опытов или наблюдений.
Только после этого можно приближенно определить вероятность этого события.
В ряде случаев вероятность события можно оценить непосредственно из условий самого опыта или наблюдения путем рассуждений, не прибегая к испытаниям.
![Существует 6 равновозможных исходов опыта с бросанием кубика. Исходы в определенном опыте считают равновозможными, если шансы этих исходов одинаковы . Исходы, при которых происходит некоторое событие, называют благоприятными исходами этого события.](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_7.jpg)
Существует 6 равновозможных исходов опыта с бросанием кубика.
Исходы в определенном опыте считают равновозможными, если шансы этих исходов одинаковы .
Исходы, при которых происходит некоторое событие, называют благоприятными исходами этого события.
![Рассмотрим событие B, которое означает выпадение на кубике числа очков, кратных 2. Это событие происходит при 3 исходах: — когда выпало 2 очка; — когда выпало 4 очка; — когда выпало 6 очков. Для данного события благоприятными являются 3 исхода из 6 равновозможных исходов.](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_8.jpg)
Рассмотрим событие B, которое означает выпадение на кубике числа очков, кратных 2.
Это событие происходит при 3 исходах:
— когда выпало 2 очка;
— когда выпало 4 очка;
— когда выпало 6 очков.
Для данного события благоприятными являются 3 исхода из 6 равновозможных исходов.
![](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_9.jpg)
![Такой подход называется классическим . Если исходы какого-либо испытания равновозможны, то вероятность события в этом испытании равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_10.jpg)
Такой подход называется классическим .
Если исходы какого-либо испытания равновозможны, то вероятность события в этом испытании равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.
![При увеличении числа испытаний со случайными исходами относительная частота появления случайного события приближается к его вероятности.](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_11.jpg)
При увеличении числа испытаний со случайными исходами относительная частота появления случайного события
приближается к его вероятности.
![Статистический подход предполагает фактическое проведение испытания. При классическом подходе, не обязательно проводить испытание. Для того чтобы найти вероятность некоторого события, надо правильно определить число равновозможных исходов испытания и число благоприятных для этого события исходов.](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_12.jpg)
Статистический подход
предполагает фактическое
проведение испытания.
При классическом подходе, не обязательно проводить испытание.
Для того чтобы найти вероятность некоторого события, надо правильно определить число равновозможных исходов испытания и число благоприятных для этого события исходов.
![Найдем вероятность того, что при подбрасывании двух монет на обеих сторонах выпадет решка. При одновременном бросании двух монет равновозможными являются следующие исходы: — на обеих монетах выпадет орел; — на одной монете выпадет орел, на второй — решка; — на первой монете выпадет решка, а на второй — орел; — на обеих монетах выпадет решка.](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_13.jpg)
Найдем вероятность того, что при подбрасывании двух монет на обеих сторонах выпадет решка.
При одновременном бросании двух монет равновозможными являются следующие исходы:
— на обеих монетах выпадет орел;
— на одной монете выпадет орел, на второй — решка;
— на первой монете выпадет решка, а на второй — орел;
— на обеих монетах выпадет решка.
![При решении этой задачи было бы ошибкой считать, что в данном опыте имеются три равновозможных исхода: — на обеих монетах выпадет орел; — на одной монете выпадет орел, а на другой решка; — на обеих монетах выпадет решка.](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_14.jpg)
При решении этой задачи было бы ошибкой считать, что в данном опыте имеются три равновозможных исхода:
— на обеих монетах выпадет орел;
— на одной монете выпадет орел, а на другой решка;
— на обеих монетах выпадет решка.
![Задача 1. Из 25 экзаменационных билетов ученик успел подготовить десять первых и 9 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, который он не подготовил? Общее число равновозможных исходов при выборе билетов на экзамене равно 25. M — событие, заключающееся в том, что ученику достанется билет, который он не подготовил. Число благоприятных для события M исходов равно 25 – (10+ 9) = 6.](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_15.jpg)
Задача 1. Из 25 экзаменационных билетов ученик успел подготовить десять первых и 9 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, который он не подготовил?
Общее число равновозможных исходов при выборе билетов на экзамене равно 25.
M — событие, заключающееся в том,
что ученику достанется билет, который он не подготовил.
Число благоприятных для события M исходов равно 25 – (10+ 9) = 6.
![Задача 2. Андрей и Иван бросают белый и черный игральные кубики и подсчитывают сумму выпавших очков. Если при очередном бросании в сумме выпадет 8 очков , то выигрывает Андрей , а если в сумме выпадет 7 очков , то выигрывает Иван . Можно ли считать, что у мальчиков одинаковые шансы выиграть? При бросании кубиков на белом кубике может выпасть от 1 до 6 очков. Каждому числу очков на белом кубике соответствует 6 вариантов числа очков на черном кубике.](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_16.jpg)
Задача 2. Андрей и Иван бросают белый и черный игральные кубики и подсчитывают сумму выпавших очков. Если при очередном бросании в сумме выпадет 8 очков , то выигрывает Андрей , а если в сумме выпадет 7 очков , то выигрывает Иван . Можно ли считать, что у мальчиков одинаковые шансы выиграть?
При бросании кубиков на белом кубике может выпасть от 1 до 6 очков.
Каждому числу очков на белом кубике соответствует 6 вариантов числа очков на черном кубике.
![(1;1) (2;1) (1;2) (2;2) (3;1) (1;3) (2;3) (1;4) (4;1) (3;2) (5;1) (1;5) (2;4) (4;2) (3;3) (2;5) (6;1) (1;6) (5;2) (4;3) (3;4) (2;6) (3;5) (4;4) (5;3) (6;2) (3;6) (5;4) (4;5) (6;3) (5;5) (6;4) (4;6) (6;5) (5;6) (6;6) Указанные исходы испытания равновозможны, их количество равно 36.](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_17.jpg)
(1;1)
(2;1)
(1;2)
(2;2)
(3;1)
(1;3)
(2;3)
(1;4)
(4;1)
(3;2)
(5;1)
(1;5)
(2;4)
(4;2)
(3;3)
(2;5)
(6;1)
(1;6)
(5;2)
(4;3)
(3;4)
(2;6)
(3;5)
(4;4)
(5;3)
(6;2)
(3;6)
(5;4)
(4;5)
(6;3)
(5;5)
(6;4)
(4;6)
(6;5)
(5;6)
(6;6)
Указанные исходы испытания равновозможны, их количество равно 36.
![Пусть событие А обозначает, что при бросании кубиков в сумме выпало 8 очков, а событие B обозначает, что при бросании кубиков выпало 7 очков. Для события А благоприятными являются 5 исходов: Для события B благоприятными являются 6 исходов: ( 2 ;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2). ( 1 ;6), ( 2 ;5), ( 3 ;4), ( 4 ;3), ( 5 ;2) , ( 6 ;1) Поэтому, шансов выиграть у Ивана больше, чем у Андрея.](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_18.jpg)
Пусть событие А обозначает, что при бросании кубиков в сумме выпало 8 очков, а событие B обозначает, что при бросании кубиков выпало 7 очков.
Для события А благоприятными являются 5 исходов:
Для события B благоприятными являются 6 исходов:
( 2 ;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2).
( 1 ;6), ( 2 ;5), ( 3 ;4), ( 4 ;3), ( 5 ;2) , ( 6 ;1)
Поэтому, шансов выиграть у Ивана больше, чем у Андрея.
![Задача 3. Из 18 деталей 5 оказались с дефектами. Какова вероятность того, что 3 выбранные наугад детали будут без дефектов? Пусть А – событие, при котором три выбранные детали окажутся без дефектов.](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_19.jpg)
Задача 3. Из 18 деталей 5 оказались с дефектами. Какова вероятность того, что 3 выбранные наугад детали будут без дефектов?
Пусть А – событие, при котором три выбранные детали окажутся без дефектов.
![Задача 4. В хоре, в котором 7 девушек и 4 юноши выбирают четырех солистов. Какова вероятность того, что будут выбраны 2 девушки и 2 юноши? Пусть А – событие, при котором выбраны две девушки и два юноши.](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_20.jpg)
Задача 4. В хоре, в котором 7 девушек и 4 юноши выбирают четырех солистов. Какова вероятность того, что будут выбраны 2 девушки и 2 юноши?
Пусть А – событие, при котором выбраны две девушки и два юноши.
![](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_21.jpg)
![Классическая вероятность предполагают конечное число исходов испытаний. Однако часто встречаются такие испытания, для которых число возможных исходов бесконечно: попадание точки на отрезок, плоскую фигуру или в пространственное тело. 0 1 Геометрической вероятностью события называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события, к мере всей области .](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_22.jpg)
Классическая вероятность предполагают конечное число исходов испытаний. Однако часто встречаются такие испытания, для которых число возможных исходов бесконечно: попадание точки на отрезок, плоскую фигуру или в пространственное тело.
0
1
Геометрической вероятностью события называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события, к мере всей области .
![Задача 5. Участники игры поочередно бросают дротики в мишень. Мишень представляет собой круг, в котором выделены малый круг и кольцевая зона, причем радиус малого круга вдвое меньше радиуса большого круга. Найдем вероятность того, что при попадании дротика в мишень точка попадания окажется в кольцевой зоне. Решение:](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2ca5d5b70/img_phpCouUjc_sobytiya-i-ih-veroyatnost_23.jpg)
Задача 5. Участники игры поочередно бросают дротики в мишень. Мишень представляет собой круг, в котором выделены малый круг и кольцевая зона, причем радиус малого круга вдвое меньше радиуса большого круга. Найдем вероятность того, что при попадании дротика в мишень точка попадания окажется в кольцевой зоне.
Решение: