События и их виды. Статистическая, классическая и геометрическая вероятность
Беляева Т.Ю. ГБПОУ КК«АМТ» г. Армавир Преподаватель математики
Понятие события
В жизни часто проводят эксперименты и наблюдают какие-то явления.
В процессе наблюдения или эксперимента приходится встречаться с некоторыми случайными событиями , то есть такими событиями, которые могут произойти или не произойти.
ДОСТОВЕРНЫЕ И НЕВОЗМОЖНЫЕ СОБЫТИЯ
Событие, которое при проведении опыта или наблюдения происходит всегда, называют достоверным событием .
Событие, которое не может произойти ни при каком исходе опыта или наблюдения, называют невозможным событием .
Пример:
Бросали 100 раз игральный кубик и наблюдали сколько раз на верхней части окажется 6 очков. Предположим, что это произошло 19 раз. Говорят, что частота выпадения 6 очков равна 19.
Обозначим буквой n число испытаний, а буквой m число испытаний, при которых произошло событие А .
Число m называют частотой события А, а отношение m к n – относительной частотой .
Относительной частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к числу всех испытаний
В ходе статистических исследований было установлено, что при многократном повторении некоторых опытов при одних и тех же условиях, ожидаемая частота появления того или иного события может оставаться примерно одинаковой, незначительно отличаясь от некоторого числа p .
Ясно, что число p зависит от того случайного события, частота которого подсчитывается.
Это число принимают за вероятность данного случайного события.
Такой подход к вычислению вероятностей называют статистическим .
Чтобы определить вероятность интересующего нас события путем статистического исследования, необходимо провести большое число опытов или наблюдений.
Только после этого можно приближенно определить вероятность этого события.
В ряде случаев вероятность события можно оценить непосредственно из условий самого опыта или наблюдения путем рассуждений, не прибегая к испытаниям.
Существует 6 равновозможных исходов опыта с бросанием кубика.
Исходы в определенном опыте считают равновозможными, если шансы этих исходов одинаковы .
Исходы, при которых происходит некоторое событие, называют благоприятными исходами этого события.
Рассмотрим событие B, которое означает выпадение на кубике числа очков, кратных 2.
Это событие происходит при 3 исходах:
— когда выпало 2 очка;
— когда выпало 4 очка;
— когда выпало 6 очков.
Для данного события благоприятными являются 3 исхода из 6 равновозможных исходов.
Такой подход называется классическим .
Если исходы какого-либо испытания равновозможны, то вероятность события в этом испытании равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.
При увеличении числа испытаний со случайными исходами относительная частота появления случайного события
приближается к его вероятности.
Статистический подход
предполагает фактическое
проведение испытания.
При классическом подходе, не обязательно проводить испытание.
Для того чтобы найти вероятность некоторого события, надо правильно определить число равновозможных исходов испытания и число благоприятных для этого события исходов.
Найдем вероятность того, что при подбрасывании двух монет на обеих сторонах выпадет решка.
При одновременном бросании двух монет равновозможными являются следующие исходы:
— на обеих монетах выпадет орел;
— на одной монете выпадет орел, на второй — решка;
— на первой монете выпадет решка, а на второй — орел;
— на обеих монетах выпадет решка.
При решении этой задачи было бы ошибкой считать, что в данном опыте имеются три равновозможных исхода:
— на обеих монетах выпадет орел;
— на одной монете выпадет орел, а на другой решка;
— на обеих монетах выпадет решка.
Задача 1. Из 25 экзаменационных билетов ученик успел подготовить десять первых и 9 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, который он не подготовил?
Общее число равновозможных исходов при выборе билетов на экзамене равно 25.
M — событие, заключающееся в том,
что ученику достанется билет, который он не подготовил.
Число благоприятных для события M исходов равно 25 – (10+ 9) = 6.
Задача 2. Андрей и Иван бросают белый и черный игральные кубики и подсчитывают сумму выпавших очков. Если при очередном бросании в сумме выпадет 8 очков , то выигрывает Андрей , а если в сумме выпадет 7 очков , то выигрывает Иван . Можно ли считать, что у мальчиков одинаковые шансы выиграть?
При бросании кубиков на белом кубике может выпасть от 1 до 6 очков.
Каждому числу очков на белом кубике соответствует 6 вариантов числа очков на черном кубике.
(1;1)
(2;1)
(1;2)
(2;2)
(3;1)
(1;3)
(2;3)
(1;4)
(4;1)
(3;2)
(5;1)
(1;5)
(2;4)
(4;2)
(3;3)
(2;5)
(6;1)
(1;6)
(5;2)
(4;3)
(3;4)
(2;6)
(3;5)
(4;4)
(5;3)
(6;2)
(3;6)
(5;4)
(4;5)
(6;3)
(5;5)
(6;4)
(4;6)
(6;5)
(5;6)
(6;6)
Указанные исходы испытания равновозможны, их количество равно 36.
Пусть событие А обозначает, что при бросании кубиков в сумме выпало 8 очков, а событие B обозначает, что при бросании кубиков выпало 7 очков.
Для события А благоприятными являются 5 исходов:
Для события B благоприятными являются 6 исходов:
( 2 ;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2).
( 1 ;6), ( 2 ;5), ( 3 ;4), ( 4 ;3), ( 5 ;2) , ( 6 ;1)
Поэтому, шансов выиграть у Ивана больше, чем у Андрея.
Задача 3. Из 18 деталей 5 оказались с дефектами. Какова вероятность того, что 3 выбранные наугад детали будут без дефектов?
Пусть А – событие, при котором три выбранные детали окажутся без дефектов.
Задача 4. В хоре, в котором 7 девушек и 4 юноши выбирают четырех солистов. Какова вероятность того, что будут выбраны 2 девушки и 2 юноши?
Пусть А – событие, при котором выбраны две девушки и два юноши.
Классическая вероятность предполагают конечное число исходов испытаний. Однако часто встречаются такие испытания, для которых число возможных исходов бесконечно: попадание точки на отрезок, плоскую фигуру или в пространственное тело.
0
1
Геометрической вероятностью события называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события, к мере всей области .
Задача 5. Участники игры поочередно бросают дротики в мишень. Мишень представляет собой круг, в котором выделены малый круг и кольцевая зона, причем радиус малого круга вдвое меньше радиуса большого круга. Найдем вероятность того, что при попадании дротика в мишень точка попадания окажется в кольцевой зоне.
Решение:
