Применение геометрии при измерениях на местности

План открытого урока по математике и геодезии.

Специальность: техник-геодезист.

Тема: «Применение геометрии при измерениях на местности»

Тип урока: урок применения знаний , умений и навыков

Вид урока: интегрированный урок

ТДЦ урока

Обучающий аспект:

1. Студенты осмыслят необходимость изучения геометрии для дальнейшего освоения их

будущей специальности.

2. Научатся использовать математические знания в решении прикладных задач по

геодезии.

Развивающий аспект:

Содействовать:

1. развитию умений анализировать ситуацию, сравнивать, ставить и решать проблему,

делать выводы;

1. развитию сенсорной сферы: глазомера, ориентировки в пространстве ;

3. пополнению и обогащению словарного запаса в рамках будущей специальности.

Воспитывающий аспект:

1. Воспитывать культуру интеграции знаний учебного и производственного труда.

2. Воспитывать интерес и потребность изучения предмета геодезия, самостоятельность,

ответственность за результаты своего труда - качества необходимые специалисту

среднего звена.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, электронная презентация, инструкции к

практическим работам, таблицы Брадиса, калькуляторы, теодолит,

транспортиры, отвесы, линейки ,лазерная рулетка.

Ход занятия

1. Организационный момент.

2. Мотивация познавательной деятельности.

   1. Сообщение студента

- Наука геометрия начала развиваться в далекой древности и, как и любая наука, возникла из практических потребностей людей. Слово «геометрия» греческого происхождения. Оно обозначает землемерение. Документы, которые сохранились с давних времён,

свидетельствуют о том, что геометрия зародилась в древнем Египте более 4000 лет назад. Население Египта в основном занималось земледелием, но плодородной земли было очень мало, и каждый ее клочок был на учете. Древнегреческий историк Геродот писал: «Сезоострис, египетский фараон, поделил землю, дав каждому египтянину участок по жребию, и брал налог с каждого участка. Случалось, что Нил заливал тот или иной участок; тогда потерпевший обращался к фараону, и тот посылал землемеров, чтобы установить, насколько уменьшился участок, и соответственно уменьшить налог». Для обновления границ между участками и определения новых нужно было проводить измерительные работы, строить на местности линии, углы, фигуры, уметь вычислять площади. Геометрические знания были нужны не только для измерения земли, но и для нужд архитектуры. Строительство многих древних сооружений требовало достаточно глубоких геометрических знаний. Так египетские пирамиды и теперь поражают нас совершенством форм и размеров.

Преподаватель математики:

«Все знают, что геометрия возникла как наука об измерении земельных участков. Но теперь эти заботы взяла на себя область знаний, которая называется геодезией, что в переводе с греческого означает «землеразделение». Основной метод измерений, который используется в геодезии, называется триангуляционным. Этот термин произошел от латинского слова «триангулюм», что означает «треугольник». В основе этого метода лежат знания о треугольнике, которые мы с вами повторили и сегодня будем закреплять.

Главное на сегодняшнем уроке показать перспективность изученного материала, показать его возможности для решения геодезических задач.

Человеку в его практической деятельности бывает необходимо определить высоту какого-либо объекта или предмета, и далеко не всегда это можно сделать непосредственным измерением: например, определить высоту горы, высотного здания, дерева.

Одним из самых простых способов определения высоты недоступного объекта пользовались египтяне еще в VI в. до н.э. Это способ, с помощью которого выдающийся древнегреческий ученый Фалес Милетский определил высоту пирамиды. Рассказывают, что египетский фараон Амазис приказал измерить высоту пирамиды Хеопса. Жрецы не знали, как выполнить эту задачу. И тогда им на помощь пришел Фалес. Собравшиеся у подножия пирамиды жрецы с интересом следили за действиями милетского мудреца, который очертил вокруг себя окружность, радиус которой был равен его росту. Фалес встал в центре и стал дожидаться, когда конец его тени достигнет окружности. Как только это произошло, Фалес быстро направился к этому месту на земле, где заканчивалась тень от пирамиды, и положил там камень. Фалес справедливо считал, что в этот момент и тень от пирамиды равна высоте самой пирамиды. Затем Фалес измерил расстояние от камня до подножия пирамиды, прибавил к нему половины длины ее основания и огласил результат своего труда.

2. Вопросы для обсуждения.

1) Свойства какой геометрической фигуры использовал Фалес для решения этой задачи? (Равнобедренного прямоугольного треугольника.)

2) Какие свойства треугольника применил Фалес? (Углы при основании равнобедренного треугольника равны; сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90̊.)

3) Как можно решить эту задачу без применения свойств равнобедренного треугольника и используя тень любой длины? ( Воспользоваться признаками подобия треугольника.)

1. Осмысление содержания и последовательное применение практических

действий при выполнении заданий. 1. Практическая работа « Определение высоты дерева»

Студенты самостоятельно заполняют пропуски в инструкции по выполнению практической работы.

Способ определения: использование подобия треугольников.

Ход работы

Схема определения высоты дерева

1. Выберите высокое дерево, стоящее отдельно от других.

2. На освещенном солнцем месте установите в вертикальном положении шест. Проверьте с помощью отвеса.

3. Поставьте вешки там, где заканчивается тень от дерева и тень от шеста.

4. С помощью рулетки измерьте длину тени от дерева. ВС=_______ см.

5. Измерьте длину тени от шеста. В₁С₁=________ см.

6. Измерьте длину шеста. А₁В₁=_________ см.

7. Запишите необходимые соотношения ________________ и вычислите высоту дерева.

АВ=________ м.

8. Ответьте на вопросы:

1) Какой признак подобия треугольников использовал при решении задач? (По стороне и прилежащим к ней углам.)

2) Шест какой длины можно взять для упрощения вычислений? (1 м)

1. Сообщения студентов « Практические способы измерения высоты предмета»

« Определение высоты предмета с помощью зеркала»

Для определения высоты предмета можно использовать зеркало, расположенное на земле горизонтально. Луч света, отражаясь от зеркала, попадает в глаз человека. Зная рост

человека до глаз, расстояние от глаз до макушки человека, измерив расстояние от человека до зеркала и от зеркала до предмета, используя подобие треугольников, можно найти высоту предмета.

«Определение высоты предмета с помощью прямоугольного треугольника»

Для определения высоты предмета можно использовать прямоугольный треугольник.

На уровне глаз расположим прямоугольный треугольник, направив один катет горизонтально поверхности земли, другой катет направив на предмет, высоту которого надо найти. Затем нужно отойти от предмета на такое расстояние, чтобы второй катет « прикрыл»

предмет. Если треугольник равнобедренный, то высота предмета будет равна расстоянию

от человека до основания предмета ( прибавив рост человека). Если треугольник не равнобедренный, то используя подобие треугольников, измеряем катеты треугольника и расстояние от человека до предмета , составляем пропорцию и вычисляем высоту предмета.

Если треугольник имеет угол в 30 градусов, то используем свойство прямоугольного треугольника, против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы.

3. Решение прикладных задач

Задача 1. Определить высоту дерева, если его основание доступно.

Решение.

На расстоянии а от основания дерева отметим точку В и измерим угол В. Из прямоугольного треугольника АНВ найдём высоту АН.

АН = НВ ∙ tg В.

Задача 2. Определить высоту дерева, если основание недоступно.

Решение

На прямой, проходящей через основание дерева , отметим точки В и С на определённом расстоянии друг от друга и измерим углы В и С. Из треугольника АНВ АН= АВ sin В. Из треугольника АВС по теореме синусов

=

Задача 3. Наблюдатель находится на расстоянии 275м от Эйфелевой башни, высоту которой он должен определить. Основание башни он видит под углом 10^о к горизонту, а вершину под углом 45^о к горизонту. Какова высота башни?

Решение.

Треугольник АВС прямоугольный, равнобедренный.

СВА = ВСА = 45^о .

Следовательно, СА= 50м.

Треугольник АВН – прямоугольный, АН= АВ tg10^о = 275∙ 0,1763=48,5м

CН= СА+ АН = 275+ 48,5= 323,5м.

В действительности, высота Эйфелевой

башни в Париже равна 324 м. До 2000г. она была самым высоким сооружением в мире.

Задание

Выведите формулу для вычисления высоты башни АН.

Решение: АН = а ( tg v1 + tg v2 )

Вопрос: Какое самое высочайшее сооружение в мире? Где оно находится?

Какое самое высокое сооружение в Казахстане?

В данный момент самым высоким сооружением в мире является гостиничный комплекс

Бурдж Халифа в ОАЭ в Дубаи . Его высота 828м, 160 этажей. Здание потрясающей красоты.

А как быть реальному геодезисту, который стоит перед башней и ему необходимо вычислить её высоту?

Преподаватель геодезии:

У каждого геодезиста есть такие два простейших инструмента, как шест и измерительная рулетка. Высоту шеста геодезист знает заранее, а с помощью рулетки он может измерить

нужные расстояния между точками. На практике это дело очень трудоёмкое.Ведь перед тем как измерить отрезок на местности, его прежде всего надо увидеть, установить планки, так называемые вешки. Если этого не сделать , то измерительная лента может

изогнуться и мы сами не заметим, как станем измерять некую дугу, а не отрезок. Один

человек с измерением отрезков на местности не справится: надо чтобы один устанавливал и закреплял вешки, а другой указывал ему , в каких местах их следует ставить, чтобы они

находились точно на луче его зрения. Получается, что один бегает с вешками, а другой указывает , куда бежать, оба теряют время, а ведь обоим нужно платить зарплату. Так что измерение отрезков на местности – дело не только трудоёмкое,а ещё и дорогое.

Поэтому в геодезии более распространён метод, который требует измерить только один линейный элемент ( так что возни с вешами вдвое меньше). Но зато придется определять величины двух углов. С измерением углов справится один человек с помощью специального угломерного прибора – теодолита.

Преподаватель геодезии демонстрирует теодолит и кратко объясняет принцип его действия.

В случае, если высоту объекта невозможно измерить непосредственно, ее можно определить косвенным способом (рис.). Для этого на местности устанавливают теодолит, определяют горизонтальное расстояние от теодолита до объекта L, измеряют вертикальные углы: на верх объекта v1, и низ объекта v2. Вычисляется высота объекта:

h =L (tg v1 +tg v2);

где значения вертикальных углов v1 и v2 берут со знаком «+».

Затем теодолит устанавливают в другую точку и высота объекта определяется повторно.

Кратко о теодолите. Теодолит – геодезический прибор для измерения углов и расстояний.

Если над вершиной А измеряемого угла установить градуированный круг L (круговой транспортир) параллельно плоскости Р , то проекция угла АВС на плоскость L также будет горизонтальным углом . Подписав деления круга L по часовой стрелке, получим измеряемый угол  как разность отсчетов
 = в – с

Данная схема измерения горизонтального угла реализована в теодолитах

Углы наклона также можно измерить, но с меньшей точностью с помощью простейшего угломерного приспособления – эклиметра.

Принцип измерения вертикальных углов основан на свойстве прямоугольного треугольника. Берём транспортир, посередине подвешиваем нитяный отвес. Наводимся ребром Принцип действия его таков (демонстрируется модель — см. рис. 7, ОР — нить с грузиком). Нить ОР показывает на шкале величину искомого угла. Угол наклона прямой – это угол, который она образует с горизонтальной прямой. Нить с грузиком – отвес – занимает положение прямой, перпендикулярной горизонтальной прямой. Опустим из точки О перпендикуляр к прямой SB. Получится точка Р. Восстановив из точки О перпендикуляр к прямой SO, получим угол РОВ, величину которого показывает

шкала прибора.

Самостоятельная работа с последующей проверкой.

Преподаватель математики

В повседневной практике мы часто пользуемся понятием «расстояние»: расстояние до школы, расстояние между городами, расстояние между двумя объектами, находящимися на разных берегах реки, расстояние от берега до корабля в море и т. д. Хорошо, когда расстояние между объектами невелико и можно пройти к каждому из них. А как быть в случае, когда один из них недоступен?

Существует много разных способов решения этой задачи. Выбор того или иного зависит только от того, насколько точно это расстояние нужно определить. Если точность измерений должна быть высокой, например, при строительстве моста через реку, то применяют специальные приборы. Если же особая точность не нужна, то используют достаточно простые способы, основанные на применении геометрии. Например, с помощью козырька.

Способ этот состоит в следующем. Надо встать лицом к реке и надвинуть фуражку на глаза так, чтобы нижний обрез козырька точно совпал с линией противоположного берега.

Козырёк можно заменить ладонью руки или записной книжкой, плотно приложенной ребром ко лбу. Затем, не изменяя положения головы, надо повернуться направо или налево, или даже назад ( в ту сторону, где ровнее площадка) и заметить самую дальнюю точку, видимую из-под козырька (ладони, записной книжки). Расстояние до этой точки и будет примерно равно ширине реки.

Вопросы для обсуждения

1. С какой целью прикладывают ко лбу козырёк? ( Чтобы зафиксировать луч зрения)

2. Почему при повороте и визировании дальней доступной точки расстояние до неё оказывается равным искомому? ( Когда человек поворачивается подобно ножке циркуля, то зафиксированный луч зрения как бы описывает окружность. Оба расстояния равны как радиусы одной окружности.

Преподаватель математики

Способ, с помощью которого мы сейчас будем находить ширину реки, впервые применил Фалес Милетский

Практическая работа « Определение ширины реки»

Студенты самостоятельно заполняют пропуски в инструкции по выполнению практической работы.

Способ определения: способ Фалеса.

Ход работы

1. Выберите на противоположном берегу реки (как можно ближе к воде и в направлении перпендикулярном берегу) хорошо заметный ориентир.

2. Установите вешку А там, где вы стоите.

3. Начинайте движение вдоль берега реки, считая при этом шаги, до тех пор, пока не достигните точки, удалённой от А на расстояние, большее, чем предполагаемая

ширина реки. Поставьте в этом месте шест.

Количество шагов:-------------------------

1. Продолжая движение, отсчитайте такое же количество шагов. Поставьте вешку С.

2. Двигаясь в направлении, перпендикулярном линии АС до тех пор , пока шест не окажется на одной линии с ориентиром на противоположном берегу. Поставьте вешку Д.

3. Измерьте расстояние СД. СД = АВ=______м.

1. Дайте ответы на вопросы:

   1. Почему при таком способе построения расстояние между двумя доступными точками равно ширине реки?

   2. В чём недостатки и преимущества такого способа?

Задача. Измерение расстояния до недоступной точки ( измерение ширины реки)

Случай 1. Измерение расстояния между точками А и С , разделёнными препятствием

Задание.

Вопрос: Объясните, как найти расстояние от точки А до недоступной точки С , зная

расстояние АВ и углы А и В.

Ответ: Выберем на берегу реки 2 доступные точки А и В, расстояние между которыми может измерено. Из точки А видны и точка В

и точка С, взятая на противоположном берегу.

Вопрос. Зная в треугольнике сторону и два

прилежащих угла, с помощью какой теоремы

можно найти искомую сторону?

Ответ: С помощью теоремы синусов.

Задача

Дано: АВ= 5м., угол А= 43^о , угол В = 64^о 36

Найти: А С

Решение. Угол С= 180^о – 43^о - 64^о=73^о . Зная одну сторону и все углы, по теореме синусов

находим расстояние АС

Задание. Вопрос: Объясните , как найти расстояние между точками Аи В, разделёнными

препятствиями.

Случай 2. Измерение расстояния между точками А и В , разделёнными препятствием

(озером).Точки А и В доступны.

Решение.

Выбираем третью точку С , из которой видны точки А и В и могут быть непосредственно измерены расстояния до них. Измеряем угол С.

Вопрос.

Зная в треугольнике две стороны

и угол между ними, с помощью

какой теоремы можно вычислить

расстояние АВ ? Ответ. На основе данных по теореме косинусов можно определить искомое расстояние АВ.АВ² = АС² + ВС² - 2 АС ВС cos С

Задача.

Дано: АС = 52м, ВС= 45м, угол С =70

Найти: АВ

Преподаватель геодезии

Линейные измерения на местности производят непосредственным или косвенным методами. Для непосредственного измерения расстояний используют землемерные ленты, измерительные рулетки или инварные проволоки, которые последовательно укладывают в створе измеряемой линии.
При косвенном методе измерений используют оптические или электронные дальномеры, позволяющие получать расстояния по измеренным углам, базисам, времени и другим параметрам. Принцип работы оптических дальномеров основан на решении прямоугольного треугольника, в котором по малому (параллактическому) углу  и противолежащему катету b (базису) вычисляют длину другого катета

D = b ^. ctg.

Для удобства измерений одну из величин (b или ) принимают постоянной, а другую измеряют.

Постепенно уходят в прошлое механические приборы, им на смену приходят современное профессиональное измерительное оборудование, над созданием которого трудятся проектные организации мирового уровня. Профессиональное оборудование становится все более высокотехнологичным и удобным. Так, в строительстве все чаще используют лазерные дальномеры или лазерные рулетки.

Устройства для точного измерения расстояния не заменимы при возведении сложных масштабных объектов. Лазерные дальномеры быстро определяют расстояние с помощью четко сфокусированного луча лазера. Каждый лазерный дальномер оснащен базовыми функциями вычисления: сложением и вычитанием, могут вычислять объемы и площади. В зависимости от модели, современный дальномер может замерять недоступные отрезки, используя теорему Пифагора, могут замерять углы, а также имеют функцию «Bluetooth» для передачи данных на обработку.

Как правило, такое устройство продается в комплекте со штативом, что значительно увеличивает точность измерений на больших расстояниях. Лазерный дальномер может также работать в режиме сканера, автоматически определяя расстояния даже при перемещении.

Самостоятельное выполнение обучающимися задания под контролем преподавателя

Практическое задание: С помощью транспортира и отвеса определить высоту кабинета, используя формулу

h =L (tg v1 +tg v2),

где L – расстояние от парты до стены кабинета, это расстояние преподаватель помогает студентам измерить с помощью лазерной рулетки; углы наклона от уровневой поверхности до пола и от уровневой поверхности до потолка студенты измеряют сами с помощью транспортира и отвеса.

Подведение итогов занятия. Оценивание обучающихся. Рефлексия.

1) Преподаватель математики сообщает результаты самостоятельной работы в

сопровождении слайдов с изображением здания МГУ и Останкинской башни.

Высота Останкинской телебашни со шпилем равна 540 м. 5 место в мире среди высотных зданий.

Высота башни главного входа здания МГУ равна 240 м.

2) Рефлексия.

-Что нового вы узнали?

-Чему научились?

-Какое значение имеют для вас знания и умения, полученные на данном уроке?

-Есть ли чувство удовлетворения от проделанной работы?

-Что было сложным?

-Что давалось легко?

-Как вы оцениваете свои результаты деятельности?

-Что бы вы усовершенствовали на данном уроке?

Домашнее задание.

1. Написать реферат по теме : Измерения на местности»

2. Составить тематический сборник из 10 задач по математике с межпредметным содержанием по геодезии.

3. Подготовить презентацию с прикладными задачами по геодезии.