Применение производной к решению практических задач

№

п/п

Ход урока

Дидактическая задача

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Время

1.

Организационный момент.

Подготовить учащихся к работе на уроке.

Приветствие; выявление отсутствующих; проверка готовности учащихся к уроку; готовность наглядных пособий, доски, мела.

Приветствие учителя, готовность к восприятию.

1 мин.

2.

Сообщение темы и цели урока.

Подготовить к активному, осмысленному восприятию учебного материала.

Слово учителя:

- Тема сегодняшнего урока «Применение производной и решение прикладных задач».

- Откройте тетради, запишите число и тему.

- Посмотрите еще раз на тему, вспомните предыдущие уроки и скажите, при решении каких практических задач применяется производная?

- Итак, с помощью производной вы решали следующие задачи: исследование функции, нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, определение скорости в заданный момент времени, написание уравнения касательной в точке к графику функции.

- Цель сегодняшнего урока: систематизировать знания, повторить алгоритмы решения таких задач. На следующем уроке будет контрольная работа.

Слушают.

Записывают.

Отвечают.

Слушают.

1 мин.

3.

Актуализация опорных знаний.

Активизировать в сознании учащихся необходимые знания.

Слово учителя:

- Во всех задачах на применение производной необходимо уметь находить ее и вычислять значение производной в заданной точке.

- Умеете ли вы это? Выполните тест.

Тест:

1. Сопоставьте два ряда выражений

1) у=8х⁴-16 а) у^/=-35х⁴+1

2) у=15 б) у^/=18

3) у=6-1/3х²+3/2х² в) у^/=0

4) у=18х г) у^/=-х²+3х

5) у=5-7х⁵+х д) у^/=32х⁵

Ответ: 5-а, 4-б, 2-в, 3-г, 1-д.

2. Найдите производную функции и вычислите ее значение в точке х₀

1) у=5х²+1 х₀=1

2) у=3х х₀=0

3) у=1-2х³ х₀=2

4) у=7-18х³ +16х х₀=1

Ответ: 1. у^/=10х у^/(1)=10

2. у^/=3 у^/(10)=3

Выполняют на листочках теста под копирку.

7 мин.

3. у^/=-6х² у^/(2)=-24

4. у^/=-54х²+16 у^/(1)=-38

Ключ: «5» - 9 выполненных заданий

«4» - 7-8 выполненных заданий

«3» - 5-6 выполненных

Сдают.

Проверка по ключу

4.

Решение задач.

Формировать познавательные интересы

Актуализировать опорные знания и умения по решению задач.

Систематизировать знания учащихся по применению производной к решению задач на нахождение наибольшего (наименьшего) значения.

Слово учителя:

-В начале урока вы перечислили те типы задач, которые решаются с помощью производной. С такими задачами люди сталкиваются с глубокой древности до наших дней. Одна из таких задач – задача основательницы г. Карфагена финикийской царевны Дидоны.

Слово учителя:

- Итак, задача свелась к нахождению наибольшего значения функции. Вспомним алгоритм решения.

Слушают.

Выступление ученицы.

Проговаривают.

На доске решение оформляется по цепочке

Дано: S(х)=20х-2х²,

х [0;10]

Найти: х-?, S(х)_наиб-?

Решение:

1. S^/(х)=20-4х;

2. S^/(х)=0, 20-4х=0, х=5;

3. 5 [0;10]

S(5)=100-50=50

S(0)=0

S(10)=0

Ответ: при х=5 S_наиб.=50

15мин.

Повторить физический смысл производной.

Развивать культуру устной речи.

Слово учителя:

- Эту задачу мы решили, применяя производную.

- Исходная задача Дидоны тогда имеет такое решение.

Оценивает ответ выступающего.

- При решении следующего типа задач используется физический смысл производной.

- Сформулируйте его.

- Прочитайте задачу № 2

К доске вызывает одного учащегося.

На доске заготовка

Дано 1) 2) 3)

Найти 1) 2) 3)

Контролирует верность решения

Отвечают: 2 стороны по 5 м., 1 – 10 м.

Формулируют: Производная пути по времени есть скорость v(t)=S^/(t).

Читают.

Оформляет условие задачи.

Решает задачу.

1) v(t)= S^/(t)

S^/(t)=-t²+4t+5

v(t)=-t²+4t+5

t=3

v(3)=-3²+4·3+5=8 (м/с)

2) –t²+4t+5=0 v(t)=0

D=36

-4+6

t _1,2= 2 , t₁=5 t₂=-1

t₂=-1, не удовлетворяет условию задачи.

t=5 (с).

3) v^/(t)=-2t+4

-2t+4=0, t=2

Повторить геометрический смысл производной.

Оценивает деятельность учащегося, работающего у доски. Дает задание:

- Решите самостоятельно задачу № 3.

Выставляет отметки тем, кто раньше других справился с заданием.

Слово учителя:

- Прочитайте задачу № 4.

• Вспомните как мы решали задачи такого типа.

Учитель предлагает одному учащемуся рассмотреть уравнение и определить, как найти f(х₀) и f^/(х₀).

Оценивает деятельность учащегося.

Задание классу:

Решить самостоятельно задачу № 5.

Выставляет отметки тем, кто раньше других справился с заданием.

2 [1;4]

v(2)=-4+8+5=9

v(1)=-1+4+5=8

v(4)=-16+16+5=5

v_наим.=5

Ответ: 1) v(3)=8 (м/с)

2) t=5 (с)

3) v_наим.= (5м/с),

при t=2 (с)

Решают.

Проверяют.

Читают.

Отвечают: В этой задаче используется геометрический смысл производной: производная- угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке. Касательная задается уравнением

у=f(х₀)+f^/(х₀)(х-х₀).

Один учащийся у доски.

Решают.

Проверяют.

5.

Самостоятельная работа.

Проконтролировать степень усвоения материала.

Развивать умение преодолевать трудности при решении математических задач.

Слово учителя:

- Проверим, как вы усвоили данный материал. Выполните самостоятельную работу.

Выполняют

2-уровневую самостоятельную работу по вариантам.

20мин.

6.

Итоги урока.

Подвести итоги урока. Дать инструктаж по выполнению домашнего задания.

Слово учителя:

- При решении задач повторили физический, геометрический смысл производной, находили наибольшее и наименьшее значение функции.

- В начале урока вы мне называли, где еще используется производная при исследовании функции. Задачи на исследование разбирались подробно на предыдущих уроках, поэтому дома: Повторить алгоритм исследования функции с помощью производной и выполнить задания по учебнику стр. 119 № 39 (12).

- Следующий урок – контрольная работа.

Слушают.

Записывают.

3 мин.