«Зима 2023»

"Призмы и пирамиды"

Презентация "Призьы и пирамиды" может быть использована при изучении данных фигур стереометрии,их элементов и классификации.

Олимпиады: Английский язык 2 - 11 классы

Содержимое разработки

«ПРИЗМА И ПИРАМИДА» МБУ ДО ЦДО «Хоста» г. Сочи Педагог до Жданова Татьяна Владимировна  2022г.

«ПРИЗМА И ПИРАМИДА»

МБУ ДО ЦДО «Хоста» г. Сочи

Педагог до Жданова Татьяна Владимировна

2022г.

Содержание

Содержание

  • От древности к современности.
  • Пирамида.
  • Элементы пирамиды.
  • Пирамида. Классификация.
  • Правильная пирамида.
  • Пирамида. Формулы.
  • Призма.
  • Элементы призмы.
  • Призма. Классификация.
  • Параллелепипед.
  • Параллелепипед. Теоремы.
  • Призма. Формулы.
  • Задачи.
  • Тест.
  • Литература
ОТ ДРЕВНОСТИ К СОВРЕМЕННОСТИ Веками люди смотрели на пирамиды с гробницами фараонов как на памятники ушедшей цивилизации. И только в середине ХХ века ученые обратили внимание на загадочные явления, связанные с ними. Есть гипотеза, что в пирамиде закодирована информация о строении Вселенной, о человеке и его духовных возможностях. Еще эта геометрическая фигура обладает уникальными лечебными свойствами. Египетские мумии так хорошо сохранились, не только благодаря бальзамированию, но и потому, что находились они внутри пирамиды.

ОТ ДРЕВНОСТИ К СОВРЕМЕННОСТИ

Веками люди смотрели на пирамиды с гробницами фараонов как на памятники ушедшей цивилизации. И только в середине ХХ века ученые обратили внимание на загадочные явления, связанные с ними. Есть гипотеза, что в пирамиде закодирована информация о строении Вселенной, о человеке

и его духовных возможностях. Еще эта геометрическая фигура обладает уникальными лечебными свойствами. Египетские мумии так хорошо сохранились, не только благодаря бальзамированию, но и потому, что находились они внутри пирамиды.

ОТ ДРЕВНОСТИ К СОВРЕМЕННОСТИ В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид. В III тысячелетии до н.э. египтяне сооружали ступенчатые пирамиды, сложенные из каменных блоков; позже пирамиды приобрели геометрически правильную форму, например пирамида Хеопса, высота которой достигает почти 147 м, и др. Внутри пирамид находились погребальные склепы и коридоры .

ОТ ДРЕВНОСТИ К СОВРЕМЕННОСТИ

В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид. В III тысячелетии до н.э. египтяне сооружали ступенчатые пирамиды, сложенные из каменных блоков; позже пирамиды приобрели геометрически правильную форму, например пирамида Хеопса, высота которой достигает почти 147 м, и др. Внутри пирамид находились погребальные склепы и коридоры .

ОТ ДРЕВНОСТИ К СОВРЕМЕННОСТИ При изучении гробниц исследователи обнаружили странный эффект: в пирамидах происходила самоочистка драгоценных камней и металлов, самозаточка режущих инструментов, мумификация продуктов и т.д. Эти эффекты стали широко использовать и в технике, и в магии .  Во многих городах, в том  числе и в Париже, пирамиды стали неотъемлемой частью архитектурных сооружений. При этом мало кто реально понимает, какие последствия могут со временем проявиться .

ОТ ДРЕВНОСТИ К СОВРЕМЕННОСТИ

При изучении гробниц исследователи обнаружили странный эффект: в пирамидах происходила самоочистка драгоценных камней и металлов, самозаточка режущих инструментов, мумификация продуктов и т.д. Эти эффекты стали широко использовать и в технике, и в магии .

Во многих городах, в том

числе и в Париже, пирамиды стали неотъемлемой частью архитектурных сооружений. При этом мало кто реально понимает, какие последствия могут со временем проявиться .

ОТ ДРЕВНОСТИ К СОВРЕМЕННОСТИ Многочисленные исследования позволяют утверждать, что на свойства пирамид влияет форма. Материал, из которых они сделаны, никакой роли не играет. В жарких странах, например, для скотоводов-кочевников изготавливают

ОТ ДРЕВНОСТИ К СОВРЕМЕННОСТИ

Многочисленные исследования позволяют утверждать, что на свойства пирамид влияет форма. Материал, из которых они сделаны, никакой роли не играет. В жарких странах, например, для скотоводов-кочевников изготавливают "холодильники" для мяса в виде пирамиды из проволочного, легко собираемого каркаса. Достаточно поставить такой холодильник в тень, и мясо в нем не пропадет в любую жару.

ПИРАМИДА Пирамидой называется многогранник одна из граней которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной. Ребра Вершина Высота Основание Грани Апофема

ПИРАМИДА

Пирамидой называется многогранник одна из граней которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной.

Ребра

Вершина

Высота

Основание

Грани

Апофема

ЭЛЕМЕНТЫ ПИРАМИДЫ  Боковые грани пирамиды - треугольники, имеющие общую вершину; Основание пирамиды - многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды; Боковые ребра пирамиды - ребра пирамиды, сходящиеся в ее вершине; Высота пирамиды - это отрезок перпендикуляра, проведенного через ее вершину к плоскости основания, с концами в вершине и на плоскости основания пирамиды; Апофема пирамиды - высота боковой грани пирамиды, проведенная из вершины на ребро основания; Вершина пирамиды - общая вершина боковых граней;

ЭЛЕМЕНТЫ ПИРАМИДЫ

Боковые грани пирамиды - треугольники, имеющие общую вершину;

Основание пирамиды - многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды;

Боковые ребра пирамиды - ребра пирамиды, сходящиеся в ее вершине;

Высота пирамиды - это отрезок перпендикуляра, проведенного через ее вершину к плоскости основания, с концами в вершине и на плоскости основания пирамиды;

Апофема пирамиды - высота боковой грани пирамиды, проведенная из вершины на ребро основания;

Вершина пирамиды - общая вершина боковых граней;

ПИРАМИДА. КЛАССИФИКАЦИЯ Пирамиды классифицируются по числу сторон многоугольника, лежащего в их основании. Говорят о треугольной(а), четырехугольной(б) и вообще n-угольной(в) пирамидах.

ПИРАМИДА. КЛАССИФИКАЦИЯ

Пирамиды классифицируются по числу сторон многоугольника, лежащего в их основании.

Говорят о треугольной(а), четырехугольной(б) и вообще n-угольной(в) пирамидах.

ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА Пирамида называется правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник, а высота, опущенная из вершины пирамиды на основание, пересекает его в центре этого многоугольника (иначе говоря, вершина пирамиды проектируется в центр основания).

ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА

Пирамида называется правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник, а высота, опущенная из вершины пирамиды на основание, пересекает его в центре этого многоугольника (иначе говоря, вершина пирамиды проектируется в центр основания).

ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА Свойства правильной n - угольной пирамиды: Свойство 1. В правильной n-угольной пирамиде все боковые ребра равны между собой. Свойство 2. Все боковые грани правильной n-угольной пирамиды суть равные равнобедренные треугольники, поэтому все плоские углы при вершине равны, все плоские углы при основании равны. Свойство 3.  В правильной n-угольной пирамиде все двугранные углы при основании равны. Свойство 4. Все плоские при основании равны. Свойство 5. Апофемы боковых граней одинаковы по длине. Свойство 6. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу.

ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА

Свойства правильной n - угольной пирамиды:

Свойство 1. В правильной n-угольной пирамиде все боковые ребра равны между собой.

Свойство 2. Все боковые грани правильной n-угольной пирамиды суть равные равнобедренные треугольники, поэтому все плоские углы при вершине равны, все плоские углы при основании равны.

Свойство 3. В правильной n-угольной пирамиде

все двугранные углы при основании равны.

Свойство 4. Все плоские при основании равны.

Свойство 5. Апофемы боковых граней

одинаковы по длине.

Свойство 6. В любую правильную пирамиду

можно вписать сферу.

ПИРАМИДА. ФОРМУЛЫ Объем  пирамиды Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту ( V=1/3*S ОСН *h )    Площадь боковой грани пирамиды Площадь боковой поверхности произвольной пирамиды равна сумме площадей её боковых граней или произведению апофемы на половину периметра основания  ( S=1/ 2 *P*a )  Площадь полной поверхности пирамиды Площадь полной поверхности пирамиды равна  сумме площади боковой поверхности и площади основания      ( S ПОЛ = S БОК + S ОСН ) Где k – коэффициент подобия, а S 1  и S 2  площади основания малой и большой пирамид Площадь усеченной пирамиды

ПИРАМИДА. ФОРМУЛЫ

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту

( V=1/3*S ОСН *h )

Площадь боковой грани пирамиды

Площадь боковой поверхности произвольной пирамиды равна сумме площадей её боковых граней или произведению апофемы на половину периметра основания

( S=1/ 2 *P*a )

Площадь полной поверхности пирамиды

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания

( S ПОЛ = S БОК + S ОСН )

Где k – коэффициент подобия, а S 1 и S 2 площади основания малой и большой пирамид

Площадь усеченной пирамиды

ПРИЗМА Призмой называется многогранник, две грани которого - одинаковые многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а любые два ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны. Боковые ребра Ребра оснований Основания высоты Высота Боковые грани Основания

ПРИЗМА

Призмой называется многогранник, две грани которого - одинаковые многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а любые два ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны.

Боковые ребра

Ребра оснований

Основания высоты

Высота

Боковые грани

Основания

ЭЛЕМЕНТЫ ПРИЗМЫ Основания призмы – два одинаковых многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях; Боковые грани призмы  – параллелограммы, являющиеся остальными грани (не основания) призмы; Боковые ребра призмы - ребра призмы, не лежащие в основание; Высота призмы – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания ; Диагональная плоскость – это плоскость, проходящая через диагональ основания и боковое ребро призмы.

ЭЛЕМЕНТЫ ПРИЗМЫ

Основания призмы – два одинаковых многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях;

Боковые грани призмы параллелограммы, являющиеся остальными грани (не основания) призмы;

Боковые ребра призмы - ребра призмы, не лежащие в основание;

Высота призмы – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания ;

Диагональная плоскость – это плоскость, проходящая через диагональ основания и боковое ребро призмы.

ПРИЗМА.КЛАССИФИКАЦИЯ Существуют два вида призм: прямая и наклонная. Если все боковые ребра призмы перпендикулярны плоскостям ее оснований, то такую призму называют прямой; в противном случае призма называется наклонной. У прямой призмы боковые грани - прямоугольники. Перпендикуляр к плоскостям оснований, концы которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы. Определение  Прямая призма, основанием которой служит правильный многоугольник, называется правильной призмой

ПРИЗМА.КЛАССИФИКАЦИЯ

Существуют два вида призм: прямая и наклонная.

Если все боковые ребра призмы перпендикулярны плоскостям ее оснований, то такую призму называют прямой; в противном случае призма называется наклонной. У прямой призмы боковые грани - прямоугольники. Перпендикуляр к плоскостям оснований, концы которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы.

Определение

Прямая призма, основанием которой служит правильный многоугольник, называется правильной призмой

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД Параллелепипед – это частный случай призмы.  Определение: Призма, основание которой - параллелограмм, называется параллелепипедом. Следовательно, параллелепипед - это четырехугольная призма, все грани которой - параллелограммы. Параллелепипеды, имеют все свойства касательные к призме.

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Параллелепипед – это частный случай призмы.

Определение:

Призма, основание которой - параллелограмм, называется параллелепипедом.

Следовательно, параллелепипед - это четырехугольная призма, все грани которой - параллелограммы. Параллелепипеды, имеют все свойства касательные к призме.

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. ТЕОРЕМЫ 1. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали. 2. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадрата трех его измерений. 3. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, совпадающей с серединой каждой из них. 4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой. Квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений. 5. Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики. 7. В равновеликих параллелепипедах площади оснований обратно пропорциональны высотам.

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. ТЕОРЕМЫ

1. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

2. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадрата трех его измерений.

3. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, совпадающей с серединой каждой из них.

4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой. Квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений.

5. Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики.

7. В равновеликих параллелепипедах площади оснований обратно пропорциональны высотам.

ПРИЗМА.ФОРМУЛЫ Объем призмы - произведение площади основания и высоту ( V=S ОСН *h )  Площадь боковой поверхности призмы - произведение периметра ее перпендикулярного сечения и длины бокового ребра (S БОК = Р ОСН * l )  Площадь боковой поверхности прямой призмы - произведение периметра ее основания и высоты  (S БОК = Р ОСН * h ) Площадь поверхности призмы (S ПР ) равна сумме площадей ее боковых граней (площади боковой поверхности S БОК ) и площадей двух оснований (2S ОСН ) - равных многоугольников: ( S ПР =S БОК +2S ОСН )

ПРИЗМА.ФОРМУЛЫ

Объем призмы - произведение площади основания и высоту

( V=S ОСН *h )

Площадь боковой поверхности призмы - произведение периметра ее перпендикулярного сечения и длины бокового ребра

(S БОК = Р ОСН * l )

Площадь боковой поверхности прямой призмы - произведение периметра ее основания и высоты (S БОК = Р ОСН * h )

Площадь поверхности призмы (S ПР ) равна сумме площадей ее боковых граней (площади боковой поверхности S БОК ) и площадей двух оснований (2S ОСН ) - равных многоугольников: ( S ПР =S БОК +2S ОСН )

ЗАДАЧИ: Основание пирамиды - равнобедренный треугольник с основанием 6 и высотой 9. Каждое боковое ребро равно 13.  Найдите объём пирамиды.

ЗАДАЧИ:

Основание пирамиды - равнобедренный треугольник с основанием 6 и высотой 9. Каждое боковое ребро равно 13.

Найдите объём пирамиды.

ЗАДАЧИ Решение Пусть ABCD - треугольная пирамида с основанием ABC ,  DA = DB = DC = 13  , BC = 6  , AK = 9  ( K - середина BC ).  Из прямоугольного треугольника AKC находим, что   Поскольку боковые рёбра пирамиды равны, её высота проходит через центр O окружности, описанной около основания. Пусть R - радиус этой окружности. Тогда  Из прямоугольного треугольника AOD находим, что

ЗАДАЧИ

Решение

Пусть ABCD - треугольная пирамида с основанием ABC , DA = DB = DC = 13 , BC = 6 , AK = 9 ( K - середина BC ). Из прямоугольного треугольника AKC находим, что

Поскольку боковые рёбра пирамиды равны, её высота проходит через центр O окружности, описанной около основания. Пусть R - радиус этой окружности. Тогда

Из прямоугольного треугольника AOD находим, что

ЗАДАЧИ Решение(продолжение)  Следовательно , V ABCD = 1/3 S ABC * DO = 1/3 * 1/2BC * AK * DO = = 1/3 * 1/2 * 6 *  9 *  12 = 108 .  Ответ: 108 .

ЗАДАЧИ

Решение(продолжение)

Следовательно ,

V ABCD = 1/3 S ABC * DO = 1/3 * 1/2BC * AK * DO =

= 1/3 * 1/2 * 6 * 9 * 12 = 108 .

Ответ: 108 .

ЗАДАЧИ Найдите объём правильной четырёхугольной призмы, если её диагональ образует с плоскостью боковой грани угол 30 o  , а сторона основания равна a .

ЗАДАЧИ

Найдите объём правильной четырёхугольной призмы, если её диагональ образует с плоскостью боковой грани угол 30 o , а сторона основания равна a .

ЗАДАЧИ Решение Пусть ABCDA 1 B 1 C 1 D 1  - правильная призма с основанием ABCD и боковыми рёбрами AA 1  , BB 1  , CC 1  и DD 1  , причём AB = a . Поскольку прямая AD перпендикулярна плоскости грани CDD 1 C 1  , DC 1  - ортогональная проекция диагонали AC 1  на эту плоскость, а AC 1 D - угол прямой AC 1  с плоскостью грани CDD 1 C 1  . По условию задачи  AC 1 D = 30 o  . Из прямоугольных треугольников AC 1 D и DCC 1  находим, что Ответ : a 3 √ 2 .  а т.к. CC 1  - высота призмы, то V ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 = S ABCD * CC 1 = a 2 * a√2 = a 3 √ 2  .

ЗАДАЧИ

Решение

Пусть ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правильная призма с основанием ABCD и боковыми рёбрами AA 1 , BB 1 , CC 1 и DD 1 , причём AB = a . Поскольку прямая AD перпендикулярна плоскости грани CDD 1 C 1 , DC 1 - ортогональная проекция диагонали AC 1 на эту плоскость, а AC 1 D - угол прямой AC 1 с плоскостью грани CDD 1 C 1 . По условию задачи AC 1 D = 30 o . Из прямоугольных треугольников AC 1 D и DCC 1 находим, что

Ответ :

a 3 2 .

а т.к. CC 1 - высота призмы, то

V ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 = S ABCD * CC 1 = a 2 * a√2 = a 3 2 .

ТЕСТ 1. Тетраэдр – это: а) правильная треугольная призма б) правильная четырехугольная пирамида в) треугольная пирамида 2. Апофема – это: а) высота боковой грани пирамиды б) высота пирамиды в) высота призмы 3. Формула площади боковой поверхности призмы: а) S бок = ½* P*h б) S бок = Р осн * l в) S бок = 1/3S*h

ТЕСТ

1. Тетраэдр – это:

а) правильная треугольная призма

б) правильная четырехугольная пирамида

в) треугольная пирамида

2. Апофема – это:

а) высота боковой грани пирамиды

б) высота пирамиды

в) высота призмы

3. Формула площади боковой поверхности призмы:

а) S бок = ½* P*h

б) S бок = Р осн * l

в) S бок = 1/3S*h

Литература  1. Глейзер Г.Д. Геометрия. Методическое пособие для 10-11 классов. -М., Бином, 2012.  2. Атанасян Л. С. Геометрия. Учебное пособие для 7-11 классов. - М., Просвещение, 2019.  3. В помощь учителю. Задания на готовых чертежах по стереометрии 10-11 класс. – Волгоград, Учитель, 2020.  4. Справочник школьника. Универсальное учебное пособие для 5-11 классов. - СПб., ИД «Весь», 2003.  5.   J . E. Brown . О древних пирамидах. Энциклопедия. - М., ИД «Красный», 2001.

Литература

1. Глейзер Г.Д. Геометрия. Методическое пособие для 10-11 классов. -М., Бином, 2012.

2. Атанасян Л. С. Геометрия. Учебное пособие для 7-11 классов. - М., Просвещение, 2019.

3. В помощь учителю. Задания на готовых чертежах по стереометрии 10-11 класс. – Волгоград, Учитель, 2020.

4. Справочник школьника. Универсальное учебное пособие для 5-11 классов. - СПб., ИД «Весь», 2003.

5. J . E. Brown . О древних пирамидах. Энциклопедия. - М., ИД «Красный», 2001.

Получите свидетельство о публикации сразу после загрузки работы



Получите бесплатно свидетельство о публикации сразу после добавления разработки


Серия олимпиад «Зима 2023»



Комплекты учителю



Качественные видеоуроки, тесты и практикумы для вашей удобной работы

Подробнее

Вебинары для учителей



Бесплатное участие и возможность получить свидетельство об участии в вебинаре.


Подробнее