Решение геометрических задач ЕГЭ (2часть)

Угол между двумя прямыми

Задача 1, Задача 2.

Угол между прямой и плоскостью

Задача1. Задача 2.

Угол между двумя плоскостями

Задача 1. Задача 2.

Расстояние от точки до прямой

Задача 1. Задача 2.

Расстояние от точки до плоскости

Задача 1. Задача 2.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Задача 1. Задача 2.

1.Определение: Две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы.

Углом между двумя прямыми называется меньший из них.

Угол между перпендикулярными прямыми равен 90°. Угол между параллельными прямыми равен 0°.

заменим одну прямую другой. DC 1 B – искомый." width="640"

С 1

D 1

2.Скрещивающиеся прямые

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.

B 1

А 1

В кубе A…C 1 прямые AD 1 и DC 1 –скрещивающиеся (т.к. лежат в разных плоскостях и не пересекаются). Пользуясь определением угла между скрещивающимися прямыми, получаем: AD 1 II BC 1 = заменим одну прямую другой. DC 1 B – искомый.

Для решения задач C 2 первого типа, практически всегда приходиться применять формулы и теоремы.

Теорема косинусов: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
При решении векторным способом : скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

a²=b² + c²- 2∙b∙c∙cos α

Ключевая задач а

В единичном кубе А… D 1 найдите угол между прямыми АВ1 и ВС1 .

D 1

C 1

B 1

А1

Рисунок

РЕШЕНИЕ

С1

D 1

B 1

А1

1.Прямые АВ1 и ВС1 - скрещивающиеся. Прямая А D 1 ll ВС1

2. Заменим прямую ВС1 прямой А D 1

3.Следовательно искомый D 1АВ1

4.Рассмотрим ∆ D 1АВ1 - равносторонний. Так как А D 1= D 1В1=В1А (куб единичный, данные стороны являются диагоналями соответствующих квадратов). Исходя из этого, по свойству углов в равностороннем треугольнике (все углы равны).

5.Искомый D 1АВ1=60°

Ответ: 60°

C 1

D 1

B 1

А1

Тренировочное задание

В кубе А… D 1 найдите косинус угла между прямыми АВ и СА 1.

D 1

C 1

Рисунок 1

Рисунок 2

B 1

А1

РЕШЕНИЕ 1

РЕШЕНИЕ 2

D 1

C 1

B 1

А1

C 1

D 1

B 1

А1

искомый угол В 1 А 1 С 3. В ∆А 1 В 1 С, так как А 1 В 1 С=90° (т.к. А 1 В 1 (ВВ 1 С 1 С), а значит по определению и любой прямой лежащей в этой плоскости А 1 В 1 В 1 С) 4. По определению косинуса: cos В 1 А 1 С= 5. А 1 В 1 =1 6. А 1 С²=1²+(√2)²=3, =А 1 С=√3 7. с os В 1 А 1 С=1/√3=√3/3 Ответ: √3/3 D 1 C 1 B 1 А1 С D А В 12" width="640"

1 СПОСОБ

1. АВ и А 1 С скрещивающиеся.

2. АВ II А 1 В 1 = искомый угол В 1 А 1 С

3. В ∆А 1 В 1 С, так как

А 1 В 1 С=90° (т.к. А 1 В 1 (ВВ 1 С 1 С), а значит по определению и любой прямой лежащей в этой плоскости А 1 В 1 В 1 С)

4. По определению косинуса:

cos В 1 А 1 С=

5. А 1 В 1 =1

6. А 1 С²=1²+(√2)²=3, =А 1 С=√3

7. с os В 1 А 1 С=1/√3=√3/3

Ответ: √3/3

D 1

C 1

B 1

А1

А 1 С (1;1;-1) 5. Пусть α угол между АВ и А 1 С, тогда cos α = АВ∙А 1 С=1+0+0=1 I АВ I = I А 1 С I = 6. с os α =1/(1∙√3)=1/√3=√3/3 Ответ: √3/3 2 СПОСОБ C 1 D 1 B 1 А1 С D А В" width="640"

1 . Введем систему координат с началом в точке А и осями АВ(Ох); А D (Оу); АА 1 (О z );

2. Рассмотрим в данной системе координат векторы АВ и А 1 С

3. Найдем координаты вектора АВ (1;0;0)

4. А 1 (0;0;1); С (1;1;0) =А 1 С (1;1;-1)

5. Пусть α угол между АВ и А 1 С,

тогда cos α =

АВ∙А 1 С=1+0+0=1

I АВ I =

I А 1 С I =

6. с os α =1/(1∙√3)=1/√3=√3/3

Ответ: √3/3

2 СПОСОБ

C 1

D 1

B 1

А1

1 . Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

2. Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90 .

3. Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается равным 0 .

α י

а ∩ α =А

ВС α

ВАС – искомый угол

Замечания:

Если находить угол между данной прямой и перпендикуляром к данной плоскости, обозначив его α′ ,

тогда искомый угол α равен (90°- α′ )

β י

Находят АВС= α′ , тогда искомый ВАС=(90°- α′ ),

т.к. ∆АВС – прямоугольный; а сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°

Ключевая задача

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BE и плоскостью SAD , где Е – середина ребра SC .

Рисунок

РЕШЕНИЕ

S 1

1. Проведем SF II AB , SF = AB =1

2. В тетраэдре SB С F все ребра равны 1 и (ВС F) II (SAD)

B К=(а∙√3)/2, т.е. B К= √3/2, = R 1 = √3/3 6. SS1= SS1= ; SS 1 = √6/3 ; EH =√6/6 7. EBH – искомый, sin B=EH/BE , BE – медиана, высота равностороннего треугольника, = BE = √3/2 8. sin B =(√6∙2)/(6∙√3)=√2/3 Ответ: √2/3 S E F К S1 B C H" width="640"

3. Перпендикуляр EH опущенный из Е на плоскость (ВС F) равен половине высоты тетраэдра

4. Из ∆ SBS 1 S 1=90°, SB =1

5. BS 1 - радиус описанной окружности R 1 = 2/3∙ B К

B К – высота равностороннего треугольника, = B К=(а∙√3)/2, т.е. B К= √3/2, = R 1 = √3/3

6. SS1= SS1= ; SS 1 = √6/3 ; EH =√6/6

7. EBH – искомый, sin B=EH/BE ,

BE – медиана, высота равностороннего

треугольника, = BE = √3/2

8. sin B =(√6∙2)/(6∙√3)=√2/3

Ответ: √2/3

Тренировочная задача

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1. Найдите синус угла между прямой BD и плоскостью (SBC).

Рисунок

РЕШЕНИЕ

1 . Проведем DH (SBC) , тогда HBD -искомый угол между прямой BD и плоскостью ( BSC) ;

2. sin HBD=DH/BD ; BD= √ 2

3. Для нахождения DH воспользуемся формулой объема пирамиды: V=1/3∙S осн ∙ H , где H -высота

4. Найдем объем пирамиды SCBD двумя способами:

1). V 1 =1/3∙S ∆ SBC ∙DH ; 2). V2=1/3∙S ∆ DBC ∙SO ;

V 1 =1/3∙ ( a ² √ 3 /4 ) ∙DH= √ 3/12∙DH

V 2 =1/3∙1/2 ∙ 1 ∙1∙SO=1/6 ∙SO

5. Найдем SO из ∆ SOA –прямоугольный

( SOA=90 ° ) по т.Пифагора

SO= ; SO =

6. V 2 =1/6∙ √ 2/2= √ 2/12

V 1 =V 2 = √ 3/12∙DH= √ 2/12

7. DH= √ 2/12∙12/ √ 3= √ 2/ √ 3= √ 6/3

8. sin HBD= √ 6/3∙1/ √ 2= √ 6/3 √ 2= √ 3/3

Ответ: √ 3/3

Двугранный угол , образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла,

получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.

Величина двугранного угла принадлежит промежутку (0°; 180°).

Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0°; 90°].

Угол между двумя параллельными плоскостями равен 0° .

Ключевая задача

В единичном кубе А…D1 найдите тангенс угла между плоскостями (АА1D) и (BDC1)

Рисунок

РЕШЕНИЕ

Так как (АА 1 D 1 D) II ( BB 1 C 1 С)

( BDC 1 )∩(BB 1 CC 1 )=BC 1

2. Пусть Е-середина ВС 1 , (т.к. ∆ BC 1 C- прямоугольный, равнобедренный);

3. ВС=С C 1

4. CE BC 1 = DE BC 1 ;

5. т.е. DEC – линейный угол двугранного угла.

6. ECD=90°( по теореме о трех перпендикулярах);

7. tg DEC = DC/EC ; DC=1

8. Найдем EC = √2/2

Ответ: √2

Тренировочная задача

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1. Найдите косинус двугранного угла, образованного гранями ( SBC) и (SCD)

Рисунок

РЕШЕНИЕ

1 . (SCB)∩(SDC)=SC

2. Построим линейный угол двугранного угла.

3. Пусть K – середина ребра SC ;

4. Т.к. ∆BSC и ∆ DSC - равносторонние, то медианы BK и DK являются высотами соответствующих треугольников;

5. Т.к. BK SC и DK SC , то

DKB- линейный угол искомого

двугранного угла

6. DK=KB= (a²∙√3)/2 , где а=1, т.е.

DK=KB =√3/2

7. DB=√2 (диагонали квадрата)

8. Из ∆ DKB по теореме косинусов найдем угол.

cos ∠ DKB= ; cos ∠ DKB=

Ответ: (-1)/3

b a , AB а . AB – искомое расстояние. A Расстояние от точки до прямой , не содержащей эту точку, есть длина отрезка – перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой. b с B a A a a II b, А ϵ а, = АА 1 или АВ 1 – искомые расстояния b A 1 B 1" width="640"

A ϵ а; проводим с

а; через А прямую b II с; = b a ,

AB а .

AB – искомое расстояние.

Расстояние от точки до прямой , не содержащей эту точку, есть длина отрезка – перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

a II b, А ϵ а, = АА 1 или АВ 1 – искомые расстояния

A 1

B 1

Ключевая задача

В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки А до прямой BD 1 .

D 1

C 1

Рисунок

A 1

B 1

РЕШЕНИЕ 1

РЕШЕНИЕ 2

РЕШЕНИЕ 3

D 1

С1

A 1

B 1

1. Из точки А опустим перпендикуляр на прямую BD 1

2. AH – искомое расстояние

3. Рассмотрим ∆ ABD 1 – прямоугольный

( D1AB =90°)

4. Из ∆ ABD 1 : AB =1, AD1 =√2 (по т.Пифагора), BD1 =√3 ( как диагональ единичного куба)

5. Найдем AH используя способ площадей. Найдем площадь ∆ ABD 1 двумя способами:

6. S 1 =1/2∙AD 1 ∙AB

S 2 =1/2∙AH∙BD 1

7. S 1 = 1/2∙√2∙1=√2/2 ,

так как S 1  S 2 , то √2/2=1/2∙AH∙√3

8. Отсюда, AH = √ 6/3

Ответ: √6/3

1 СПОСОБ

D 1

C 1

A 1

B 1

BAH= AD1H 7. Из подобия треугольников следует и пропорциональность сторон: AD 1 /BD 1 = AH/AB 8 . AH =( AD 1 ∙AB )/ BD 1 9. А H = ( √ 2∙1)/√3= √2/√3=(√2∙√3)/(√3∙√3)=√6/3 Ответ: √6/3 2 СПОСОБ D 1 C 1 A 1 B 1 H D C H A B" width="640"

1. Из точки А опустим перпендикуляр на прямую BD 1

2. AH – искомое расстояние

3. Рассмотрим ∆ ABD 1 – прямоугольный

( D1AB =90°)

4. Из ∆ ABD 1 : AB =1, AD 1 =√2 (по т.Пифагора), BD 1 =√3 ( как диагональ единичного куба)

5. Рассмотрим ∆ BAD 1 и ∆ BHA .

6. ∆ BAD 1 ~ ∆ BHA по трем углам:

B – общий, BHA= BAD 1 =90°, =

BAH= AD1H

7. Из подобия треугольников следует и пропорциональность сторон: AD 1 /BD 1 = AH/AB

8 . AH =( AD 1 ∙AB )/ BD 1

9. А H = ( √ 2∙1)/√3= √2/√3=(√2∙√3)/(√3∙√3)=√6/3

Ответ: √6/3

2 СПОСОБ

D 1

C 1

A 1

B 1

AH=AB∙ sin ABD 1 = √6/3 Ответ: √6/3 3 СПОСОБ D 1 C 1 A 1 B 1 H D C A B" width="640"

1. Из точки А опустим перпендикуляр на прямую BD 1

2. AH – искомое расстояние

3. Рассмотрим ∆ ABD 1 – прямоугольный

( D 1 AB =90°)

4. Из ∆ ABD 1 : AB =1, AD 1 =√2 (по т.Пифагора), BD 1 =√3

(как диагональ единичного куба)

5. Из ∆ ABD 1 : sin ABD 1 = √6/3

6 . = AH=AB∙ sin ABD 1 = √6/3

Ответ: √6/3

3 СПОСОБ

D 1

C 1

A 1

B 1

Тренировочное задание

В правильной шестиугольной призме A…F 1 , все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от точки B до прямой AD 1 .

Рисунок

РЕШЕНИЕ

1. В ∆ AD 1 B : AB=1 , AD1=

( Из ∆ ADD 1 ; D=90 °)

2. AD 1 =

3. BD 1 = ;( Из ∆ BDD 1 ; D=90 °) , BD 1 =

4. ∆ ABD 1 – прямоугольный ( D 1 BA=90 °)

( По теореме о трех перпендикулярах BD AB)

5. Для нахождения расстояния от точки В до прямой AD1 : BH воспользуемся формулами площадей:

6. S ∆ ABD 1 =1/2∙AB∙BD 1

S ∆ ABD 1 =1/2∙1∙2=1

7. S ∆ ABD 1 =1/2∙AD1∙BH ,

где BH AD 1

8. BH=(2∙S ∆ ABD 1 )/ AD 1 ;

BH=(2∙1)/√5=2/√5=2√5/5

Ответ: 2√5/5

Расстояние от точки до плоскости , не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.

Из точки А проведены к плоскости α перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В – основание перпендикуляра, точка С – основание наклонной, ВС – проекция наклонной АС на плоскость α .

с АС; Аналогично доказывается и обратное утверждение." width="640"

Для решения задач такого типа приходится применять теорему о трех перпендикулярах:

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

A י

AB α ; AC – наклонная; с – прямая, проходящая через основание С наклонной, с Є α ; Проведем С A י II AB ; С A י α ; Через AB и A י С проведем β ; с СА י ; если

с СВ, то с β = с АС;

Аналогично доказывается и обратное утверждение.

Ключевая задача

В единичном кубе АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 найдите

расстояние от точки А до плоскости В D А 1

Рисунок

РЕШЕНИЕ 1

РЕШЕНИЕ 2

РЕШЕНИЕ 3

РЕШЕНИЕ 4

1 СПОСОБ

1. О – середина BD ,

2. Т . к. AC и BD –диагонали квадрата;

AC BD

3. Значит по теореме о трех перпендикулярах BD A 1 О

4. ( BDA 1 ) ∩ (АА 1 О)=А 1 О

По признаку BD (А A 1 О)

5. Искомый перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость ( BDA 1 ) является высота AH прямоугольного ∆ А A 1 О

6. АА 1 =1; АО=√2/2; А 1 О=

7. Найдем А H используя способ площадей.

Площадь ∆АА 1 О найдем двумя способами.

8. S ∆АА 1 О =(1/2)∙ АА 1 ∙ А O

S ∆АА 1 О =(1/2)∙1∙ ( √ 2/2)=√2/4

9. S ∆АА 1 О =(1/2)∙ А 1 О ∙ А H ,

А H=

Ответ: √3/3

AH=A О ∙sin A О H=√ 3 /3 Ответ: √ 3 /3 2 СПОСОБ H О" width="640"

1. О – середина BD ,

2. Тогда AC и BD –диагонали квадрата; AC BD

3. Значит по теореме о трех перпендикулярах BD A 1 О

4. ( BDA 1 ) ∩ (АА 1 О)=А 1 О

По признаку BD (А A 1 О)

5. Искомый перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость ( BDA 1 ) является высота AH прямоугольного

∆ А A 1 О

6. АА 1 =1; АО=√2/2; А 1 О=

7. Из ∆ A А 1 О: sin A ОА 1 =√6/3 ,

= AH=A О ∙sin A О H=√ 3 /3

Ответ: √ 3 /3

2 СПОСОБ

HA О = A А 1H 7. Из подобия треугольников следует и пропорциональность сторон: A А 1/ ОА 1= AH/A О 8 . AH =( A А 1∙A О)/А 1 О 9. А H = Ответ: √3/3 3 СПОСОБ H О" width="640"

1. О – середина BD ,

2. Тогда AC и BD –диагонали квадрата;

AC BD

3. Значит по теореме о трех перпендикулярах BD A 1 О

4. ( BDA 1 ) ∩ (АА 1 О)=А 1 О

По признаку BD (А A 1 О)

5. Искомый перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость ( BDA 1 ) является высота AH прямоугольного ∆ А A 1 О

6. АА 1 =1; АО=√2/2; А 1 О=

7. Рассмотрим ∆АОА 1 и ∆ H О A .

6. ∆АОА 1~ ∆ H О A по трем углам:

О – общий, О HA= О A А 1=90°, = HA О = A А 1H

7. Из подобия треугольников следует и пропорциональность сторон: A А 1/ ОА 1= AH/A О

8 . AH =( A А 1∙A О)/А 1 О

9. А H =

Ответ: √3/3

3 СПОСОБ

Рассмотрим пирамиду AA 1 BD и найдем объем двумя способами.

Пусть AH -искомый перпендикуляр

V=1/3∙S осн∙ H , где H -высота

1). V 1 =1/3∙S ∆А BD ∙AA 1 ; 2). V 2 =1/3∙S ∆ A 1 BD ∙AH ;

V 1 =1/3∙1/2 ∙ 1 =1/6

V 2 = , где а=√2

AH =

Ответ: √3/3

4 СПОСОБ

Тренировочная задача

В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние от точки А до плоскости ( BDC 1 ).

А 1

Рисунок

РЕШЕНИЕ

А 1

Воспользуемся формулами объемов для пирамиды C 1 BAD .

Пусть AH -искомое расстояние

V=1/3∙S осн∙ H , где H -высота

1). V 1 =1/3∙S ∆А BD∙ СС 1 ;

СС 1 =1; S ∆А BD =1/2∙1∙1=1/2

V 1 =1/3∙1/2 ∙ 1 =1/6

2). V 2 =1/3∙S ∆С 1 BD∙AH ;

S ∆С 1 BD = ( a² ∙√ 3 /4 ) , где а=√2

S ∆С 1 BD = (2∙√ 3 /4 )=√3/2

V 2 =1/3∙ √3/2 ∙AH =√3/6 ∙AH

Из 1) и 2)

1/6= √3/6 ∙AH

AH =(1/6)∙(6/√3)=1/√3=√3/3

Ответ: √3/3

А 1

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.

Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр и притом только один.

Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.

а י

а и b –скрещивающиеся прямые;

а II а י ; а י ∩ b=B ;

a י Є α , b Є α , a Є β , β II α ,

АВ – искомое расстояние

Ключевая задача

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми SA и BC .

Рисунок

РЕШЕНИЕ

расстояние между скрещивающимися прямыми SA и ВС равно расстоянию от прямой ВС до плоскости ( SAD ); 4. Пусть E и F соответственно середины ребер AD и BC . Тогда искомым перпендикуляром будет высота FH ∆ SEF . 5. В ∆ SEF : EF =АВ=1; SE=SF -высоты равнобедренных ∆ SAD и ∆ SBC соответственно, = SE=SF =√3/2 SO – высота четырехугольной пирамиды из прямоугольного ∆ SOF по теореме Пифагора: SO =√2/2. 6. Найдем FH используя способ площадей. Площадь ∆ SEF найдем двумя способами. 7. S ∆ SEF=(1/2)∙EF∙SO S ∆ SEF=(1/2)∙1∙ ( √ 2/2)=√2/4 8. S ∆ SEF=(1/2)∙SE∙HF , = HF=(√2/4)/((1/2)∙√3/2)=(√2/4)/(√3/4)= = √2/√3=√6/3 . Ответ: √6/3 S H D C E O F А B" width="640"

1. Прямые ВС и SA - скрещивающиеся

2. Прямая ВС ( SBC ); Прямая SA ( SAD );

3. ВС II ( SAD ) = расстояние между скрещивающимися прямыми SA и ВС равно расстоянию от прямой ВС до плоскости ( SAD );

4. Пусть E и F соответственно середины ребер AD и BC .

Тогда искомым перпендикуляром будет высота FH ∆ SEF .

5. В ∆ SEF : EF =АВ=1; SE=SF -высоты равнобедренных ∆ SAD и ∆ SBC соответственно, = SE=SF =√3/2

SO – высота четырехугольной пирамиды из прямоугольного ∆ SOF по теореме Пифагора: SO =√2/2.

6. Найдем FH используя способ площадей.

Площадь ∆ SEF найдем двумя способами.

7. S ∆ SEF=(1/2)∙EF∙SO

S ∆ SEF=(1/2)∙1∙ ( √ 2/2)=√2/4

8. S ∆ SEF=(1/2)∙SE∙HF ,

= HF=(√2/4)/((1/2)∙√3/2)=(√2/4)/(√3/4)=

= √2/√3=√6/3 .

Ответ: √6/3

Тренировочная задача

В правильной шестиугольной призме A…F 1 , все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми AA 1 и CF 1 .

Рисунок

РЕШЕНИЕ

Прямые АА 1 и СF 1 -скрещивающиеся

Расстояние между

прямыми АА 1 и СF 1 равно

расстоянию между

параллельными плоскостями (АВВ 1 А 1 ) и (FCC 1 F 1 ), в которых

лежат эти прямые.

A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 - правильный шестиугольник; A 1 B 1 II F 1 C 1 ; B 1 D 1 F 1 C 1 ; B 1 M ∩ F 1 C 1 =M

B 1 M – искомое расстояние

Из ∆ B 1 C 1 D 1 по теореме косинусов B 1 D 1 =√3,

B 1 M =1/2∙B 1 D 1 =√3/2

Ответ: √3/2

Решение геометрических задач ЕГЭ (2часть)

Содержимое разработки

Получите свидетельство о публикации сразу после загрузки работы

Серия олимпиад «Весна — лето 2024»

Комплекты учителю

Вебинары для учителей