Сборник контрольных работ по математике

Сборник

контрольных работ по математике

1 курс

математического направления

Пояснительная записка

Сборник содержит полный набор контрольных работ по всему курсу алгебры и началам анализа и геометрии для 1 курса по направлению точны науки : в двух вариантах по каждой теме и итоговые контрольные работы.

Тематика и содержание работ охватывают требования действующих программ по математике для 1курсов направления точные науки с углубленным изучением математики.

Материалы сборника будут полезны учителям и учащимся и их можно использовать при организации тематического и обобщающего контроля, итогового повторения.

Сборник можно применять в школах с различными учебно-методическими планами. Учитель сможет выбирать задания из сборника, которые гармонично впишутся в его индивидуальный творческий процесс.

Содержание

№ п/п	тема контрольной работы	страница
	Алгебра
1	Функция и её свойства	2
2	Обратные тригонометрические функции	3
3	Способы решения тригонометрических уравнений	4
4	Решение тригонометрических неравенств и их систем;	5
5	Производная	6
6	Производная сложной функции	7
7	Производная тригонометрических функций	8
8	Признаки монотонности функции. Критические точки. Достаточные условия экстремума.	9
9	Применение производной	10
10	Итоговая контрольная работа	11
	Геометрия
1	Аксиомы стереометрии	12
2	Параллельность прямых и плоскостей	13
3	Перпендикулярность прямых и плоскостей	14
4	Координаты и векторы в пространстве	15
5	Итоговая контрольная работа	16

Алгебра и начала анализа

Контрольная работа по теме «Функция, её свойства»

Вариант 1

1. Найти область определения функции:

в)

1. Найти множество значений функции:

а) у = х³+ 5, б) у=х²-2х+10; в) у=2sin x – 4; г) y=cos²x+9;

д)

1. Найти наименьший период функции:

a) y= cos(2,5x+1); b) y=5tg(2+1,2x)

1. Проверьте функцию на чётность и нечётность:

а) у=х³-х²+1; б) y=sin⁴x – x

5. Найти функцию, обратную данной:

а) у=24х-6; б)

Вариант 2

1. Найти область определения функции:

в)

1. Найти множество значений функции:

а) у=-х²+5х-9 ; б) у= 6 cos x + 1; в) у= х-7; г) у= 5+ sin² x;

д)

1. Найти наименьший период функции:

a) y= cos(4,5x+2); b) y=3tg(5+1,6x)

1. Проверьте функцию на чётность и нечётность:

а) у=х⁴-х²; б) y=sin³x+x

1. Найти функцию, обратную данной:

а) у=44х-8; б)

Алгебра и начала анализа

Контрольная работа по теме «Обратные тригонометрические функции»

Вариант 1

1.Найти значение выражения: 1) arctg - arctg 1;

2) arccos(- ) + arcsin (-1);

3) 2 arcsin (- ) + arctg (-1) + arccos .

2. Сравните: 1) arcsin (- ) и arcсos (- );

2) arcсos (- ) и ) arctg .

3. Вычислите: 1) sin (arcsin ); 2) tg (arctg );

3) cos (2 arcsin ); 4) sin (2 arcсos ).

4. При каких значениях а имеет смысл выражения:

1) arcсos (2 + а);

2) arcsin ( 1- 3а).

Вариант 2

1.Найти значение выражения: 1) arcsin + arccos ;

2) arcсtg ( - ) + arctg (-1);

3) 4 arcsin + arcсtg (-1) + arcos(- ).

2. Сравните: 1) arcsin (- ) и arctg (-1) ;

2) arcсtg ( - ) и arctg ( - ).

3. Вычислите: 1) cos (arcсos ) 2)сtg (arcсtg );

3) sin (2 arcсos ) 4) cos (2 arcsin ).

4. При каких значениях а имеет смысл выражения:

1) arcsin (а - 4);

2) arcсos ( 6- 5а).

Алгебра и начала анализа

Контрольная работа по теме

«Способы решения тригонометрических уравнений»

Вариант1

1. Решить уравнения:

1. Решить уравнения методом сведения к квадратному:

1. Решить уравнения методом разложения на множители:

1. Реши однородные уравнения:

2. Решить уравнения путём введения дополнительного угла:

4 cos2x + 3 sin2x = 5.

Вариант 2

1. Решить уравнения:

1. Решить уравнения методом сведения к квадратному:

1. Решить уравнения методом разложения на множители:

1. Реши однородные уравнения:

2. Решить уравнения путём введения дополнительного угла:

Алгебра и начала анализа

Контрольная работа по теме

«Решение тригонометрических неравенств и их систем»

Вариант 1

1. Решить неравенства:

1. Решить систему неравенств:

2. Найти область определения функции: .

Вариант 2

1. Решить неравенства:

1. Решить систему неравенств:

2. Найти область определения функции:

Алгебра и начала анализа

Контрольная работа по теме «Производная»

Вариант 1

1. Найти тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции в точке (1;2) и определить вид угла между касательной и положительным направлением оси ОХ.

1. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

1. Материальная точка движется по закону (в метрах). Найти скорость и ускорение данной точки в момент времени t = 2 (секунды).

1. Найти угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой х= 1.

1. Составить уравнение касательной к графику функции у=х² +9 параллельной прямой у=-4х-3

Вариант 2

1. Найти тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции в точке (2;3) и определить вид угла между касательной и положительным направлением оси ОХ.

1. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

1. Материальная точка движется по закону ( в метрах). Найти скорость и ускорение данной точки в момент времени t = 3 (секунды).

1. Найти угол наклона касательной к графику функции в точке (2;-2).

1. Напишите уравнение касательной к графику функции у = х - 6 х, параллельной оси абсцисс.

Алгебра и начала анализа

Контрольная работа по теме «Производная сложной функции»

Вариант 1

1. Найти тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой (-3) .

1. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

1. Найти угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой х = 1.

Вариант 2

1. Найти тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой (-1)

1. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

1. Найти угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой х =1

Алгебра и начала анализа

Контрольная работа по теме

«Производная тригонометрических функций»

Вариант 1

1. Найти производные функции

1. y = sin x + 14

2. y = tg x – 23

3. y = cos (4x – 11)

4. y =3 sin x

1. Найти производную функции и вычислить её значение в указанной точке: f(x) = x . sin x , x = .

2. Найти точки, в которых производная данной функции равна нулю: f(x) = 2 sin x - x.

4.Написать уравнение касательной к графику функции у в точке с абсциссой х:

у = sin 2x; х = .

5.Решить неравенство у^| cosx+1

Вариант 2

1. Найти производные функции

1. y = cos x – 25

2. y = сtg x + 7

3. y = sin (3x + 17)

4. y =5 cos x

1. Найти производную функции и вычислить её значение в указанной точке: f(x) = cos (3x – ) , x = .

2. Найти точки, в которых производная данной функции равна нулю:

f(x) = 2 cos x + x.

4.Написать уравнение касательной к графику функции у в точке с абсциссой х

у = cos 2x; х = .

5.Решить неравенствo: у^| y=2sinx-1

Алгебра и начала анализа

Контрольная работа по теме

«Признаки монотонности функции. Критические точки. Достаточные условия экстремума».

Вариант 1

1. Найти промежутки возрастания и убывания функции у = 25-х².

1. Найти критические точки функции f(x) = 2 cos x - x.

1. Найдите точки экстремума функции у = х⁴-х³-5х²+10.

1. Вычислите экстремумы функции у = 2х³ – 6х² -18х +7.

1. Докажите, что функция у = убывает на всей области определения.

Вариант 2

1. Найти промежутки возрастания и убывания функции у = 15- 2х – х².

1. Найти критические точки функции f(x) = 2 sin x - x.

1. Найдите точки экстремума функции у = 2х³-3х²-12х-5.

1. Вычислите экстремумы функции у = 3х⁴-24х²+11

1. Докажите , что функция у = возрастает на всей области определения

Алгебра и начала анализа

Контрольная работа по теме «Наибольшее и наименьшее значения функции»

Вариант 1

1А Дана функция f(x) = x³ – 3x² + 4.

Найдите:

а) промежутки ее возрастания и убывания;

б) ее точки максимума и минимума;

в) ее наибольшее и наименьшее значение на промежутке .

2В Число 72 представить в виде суммы трёх положительных слагаемых таким образом, чтобы два из них были пропорциональны числам 1 и 3, а произведение всех слагаемых было наибольшим.

3С Найти наибольшее и наименьшее значения функции у=1-cosx на промежутке

Вариант 2

1А Дана функция f(x) = 8x² – x⁴.

Найдите:

а) промежутки ее возрастания и убывания;

б) ее точки максимума и минимума;

в) ее наибольшее и наименьшее значение на промежутке .

2 B Число 48 представить в виде суммы трёх положительных слагаемых таким образом, чтобы два из них были равны между собой, а произведение всех слагаемых было наибольшим.

3С Найти наибольшее и наименьшее значения функции у=1+sinx на промежутке

Алгебра и начала анализа

Итоговая контрольная работа (2 часа)

Вариант 1

1. Найти область определения функции .

1. Решите уравнение: 6sin²x + 5 cos x – 5 = 0

1. Решите неравенство:

1. Напишите уравнение касательной к графику функции у = х²-6х, проведённой через точку (2;-8)

1. Найдите промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции у=3х-4х³

1. Периметр прямоугольника равен 38см. Каковы должны быть длина и ширина прямоугольника, чтобы площадь прямоугольника была наименьшей?

Вариант 2

1. Найти область определения функции .

1. Решите уравнение: -3 cos ²x + 5 sin x + 5 = 0

1. Решите неравенство:

1. Напишите уравнение касательной к графику функции у =- х²+5х, проведённой через точку (1;4)

1. Найдите промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции

у = 12х - х³

1. Периметр прямоугольника равен 44 см. Каковы должны быть длина и ширина прямоугольника, чтобы площадь прямоугольника была наименьшей?

Контрольная работа по геометрии « Аксиомы стереометрии»

В ариант 1

1.Пользуясь данным рисунком, назовите:

а) четыре точки, лежащие в плоскости SAB,

б) плоскость, в которой лежит прямая КМ;

в) прямую, по которой пересекаются плоскости SAC и CAB.

2.Пользуясь данным рисунком, назовите:

а) плоскость, содержащую прямую DE,

б) прямую, по которой пересекаются плоскости AEF и SBC,

в) плоскость, которую пересекает прямая SB;

3.По рисунку назовите:

а) точки пересечения прямой DK с плоскостью АВС,

б) точки, лежащие в плоскостях ADB и DBC;

в) прямую, по которой пересекаются плоскости АВD и CDА,

Вариант 2

1.Пользуясь данным рисунком, назовите:

а) четыре точки, лежащие в плоскости ABC;

б) плоскость, в которой лежит прямая MN,

в) прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC;

2.Пользуясь данным рисунком, назовите:

а)плоскость, содержащую прямую EF;

б) прямую, по которой пересекаются плоскости BDE и SAC;

в) плоскость, которую пересекает прямая AC.

3. По рисунку назовите:

а) точки пересечения прямой СЕ с плоскостью ADВ;

б) прямую, по которой пересекаются плоскости АВС и DCB,

в) прямую, по которой пересекаются плоскости РDC и АВС.

геометрия

Контрольная работа по теме «Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей.»

Вариант 1.

1.Плоскость, параллельная основанию треугольника АВС пересекает сторону АВ и ВС в точках К и М АС=36см, АК=14см, ВК=4см.

Найти КМ.

2.Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через точку В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В₁ и С₁

Найдите длину отрезка ВВ₁ , если СС₁ = 8,1 см, АВ : АС = 11:9.

3. Даны две параллельные плоскости. Прямая а пересекает эти плоскости в точках А₁ и А₂, а параллельная ей прямая в в точках В₁ и В₂ соответственно. Чему равна длина отрезка В₁В₂, если А₁А₂=3,5 м?

Вариант 2

1.Плоскость, параллельная основанию треугольника АВС пересекает сторону АВ и ВС в точках Р и Д. РД=8см, АВ=32см, АР=12см.

Найти АС.

2.Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через точку В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В₁ и С₁

Найдите длину отрезка ВВ₁ , если АВ = 12 см, АС: СС₁ = 3:4.

3.Даны две параллельные плоскости. Через точки М и К, принадлежащие одной из этих плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках М₁ и К₁. Чему равна длина отрезка М₁К₁, если

МК = 8,8 см?

геометрия

Контрольная работа по теме « Перпендикулярность прямых и плоскостей»

Вариант 1

1.Прямые RS и PQ перпендикулярны к одной плоскости и пересекают её в точках

S и Q.

Найдите длину отрезка PR , если RS = 9 см, PQ= 15 см, SQ = 8 см.

2.В правильной четырехугольной пирамиде построить:

а) угол между боковым ребром МС и плоскостью основания;

б) линейный угол двугранного угла между боговой гранью ДМС и основанием.

3. Точка Д находится на расстоянии 10 см от вершин равностороннего треугольника со стороной 8_{ } см.

Найдите

1) расстояние от точки Д до плоскости треугольника

2) расстояние от точки Д до сторон треугольника

Вариант 2

1.У отрезка МН нет общих точек с данной плоскостью. На эту плоскость опущены перпендикулярные прямые МР и НО, которые пересекают её в точках Р и О.

Найдите длину отрезка МН , если МР =12 см, РО = 5 см, НО = 24 см.

2. В правильной четырехугольной пирамиде построить:

а) угол между боковым ребром МА и плоскостью основания;

б) линейный угол двугранного угла между боговой гранью ВМС и основанием.

3. Точка Д находится на расстоянии 12 см от вершин равностороннего треугольника со стороной 6_{ } см.

Найдите

1)расстояние от точки Д до плоскости треугольника

2) расстояние от точки Д до сторон треугольника

геометрия

Контрольная работа по теме «Декартовы координаты в пространстве»

1 вариант.

1.Найдите координаты проекций точки А(1,-3,5) на:

а) плоскость ху; б)плоскость уz; в)плоскость хz; г)ось х; д) ось у; е)ось z.

2.Докажите, что четырехугольник АВСД с вершинами А(3,5,4), В(5,0,2), С(1,1,-2), Д(-1,6,0) является ромбом.

3.Даны три вершины А(2,1,3), С(-2,1,5), Д(-1,2,1) параллелограмма АВСД. Найдите координаты четвертой вершины В.

4.Даны вершины треугольника А(7,1,-5), В(4,-3,-4), С(1,3,-2). Докажите, что он равнобедренный.

2 вариант.

1.Найдите координаты проекций точки А(-1,3,5) на:

а) плоскость ху; б)плоскость уz; в)плоскость хz; г)ось х; д) ось у; е)ось z.

2.Докажите, что четырехугольник АВСД с вершинами А(2,1,2), В(4,-4,0), С(0,-3,-4), Д(-2,2,-2) является ромбом.

3.Даны три вершины А(1,-2,7), В(2,3,5), Д(-1,3,6) ромба АВСД. Найдите координаты четвертой вершины С.

4.Даны вершины треугольника А(-2,0,1), В(8,-4,9), С(-1,2,3). Вычислите длину медианы, проведенной из вершины С.

геометрия

Контрольная работа по теме « Координаты и векторы в пространстве»

Вариант 1

1. Дано: А (-3; 4; 1), В (5; -2; -3).

Найти:

а) длину вектора АВ;

б) координаты вектора  ;

в) координаты середины отрезка АВ;

д) косинус угла между векторами   и  , где точка О(0;0)- начало координат.

2. Дано:   = 2, | | = 5.

Найдите скалярное произведение векторов   и  , если угол между векторами   и   равен 120º.

3. Вычислите скалярное произведение векторов   и  ,

если  {1; 2; 3},

• {-1; -2; -3}.

4.Дано: А(0; 4; 0), В(2; 0; 0), С(4; 0; 4), D(2; 4; 4).

Доказать: АВСD - ромб.

Вариант 2

1. Дано: А (-1; -5; 1), В(-1; 2; 3)

Найти:

а) длину вектора АВ;

б) координаты вектора  ;

в) координаты середины отрезка АВ;

д) косинус угла между векторами   и  ; где точка О(0;0)- начало координат.

2. Дано:   = 4, | | = 6.

Найдите скалярное произведение векторов   и  , если угол между векторами   и   равен 60º.

3. Вычислите скалярное произведение векторов   и  ,

если  {-3; 2; -8)},

• {1; -2; 3}.

4.Дано: А(0; 1; 2), В( ; 1; 2), С( ; 2; 1), D(0; 2; 1).

Доказать: АВСD - квадрат.

геометрия Итоговая контрольная работа.

Вариант 1

1. Вычислите скалярное произведение векторов   и  , если  {1; 2; 3}, {-1; -2; -3}.

2. Через точки P и Q прямой РQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её соответственно в точках P₁ и Q₁.

Найдите P₁Q₁, если PQ = 15 cм; PP₁ = 21,5 cм; QQ₁ = 33,5 cм.

3.Через вершины А и В ромба АВСD проведены параллельные прямые AA₁ и BB₁, не лежащие в плоскости ромба. Известно, что BB₁ ⊥ BC, BB₁ ⊥ AB. Найдите A₁A, если A₁C = 13 см, BD = 16 см, AB = 10 см.

4. Построить сечение тетраэдра, проходящее через данные точки.

Вариант 2

1.Дано: А (-1; -2; 2), В(-1; 0; 4), С(3; -2; -2). Найти угол между векторами АС и АВ

2.Отрезок МН пересекает плоскость α в точке К. Из концов отрезка проведены прямые МЕ и НР, перпендикулярные к плоскости α. НР = 4 см; МЕ = 12 см; НК = 5 см. Найдите отрезок РЕ.
3.Через вершины А и В прямоугольника АВСD проведены параллельные прямые AA₁ и BB₁, не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что AA₁ ⊥ AB, AA₁⊥ AD. Найдите B₁B, если B₁D = 25 см, AB = 12 см, AD = 16 см.

4. Построить сечение тетраэдра, проходящее через данные точки

17