Устная работа 1. Выразите с помощью интеграла площади фигур, изображенных на рисунках:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
2. Вычислите интегралы:
1).
2).
3).
4).
Найдите площадь фигуры:
II B
III B
I B
Ответы:
1)10,5
2)1
3)64
4)1
5)1/3; ln2 ;√2
6) 2/3
Немного истории
«Интеграл» придумал Якоб Бернулли (1690г.)
«восстанавливать» от латинского integro
«целый» от латинского integer
«Примитивная функция»,
от латинского
primitivus – начальный,
ввел
Жозеф Луи Лагранж
(1797г.)
Интеграл в древности
Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпания Евдокса ( примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известен.
Архимед
Этот метод был подхвачен и развит Архимедом , и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга.
Евдокс Книдский
Исаак Ньютон (1643-1727)
Наиболее полное изложение дифференциального и интегрального исчислений содержится в
«Методе флюксий...»
(1670–1671, опубликовано в 1736).
Переменные величины - флюенты(первообразная или неопределенный интеграл)
Скорость изменения флюент – флюксии (производная)
Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716)
- впервые использован Лейбницем в конце
XVII века
Символ образовался из буквы
S — сокращения слова
summa (сумма)
Формулы для вычисления площадей фигур, заштрихованных на рисунках
1)
3)
2)
4)
5)
6)
Алгоритм вычисления площади плоской фигуры :
- По условию задачи сделать схематический чертеж.
- Представить искомую функцию, как сумму или разность площадей криволинейных трапеций, выбрать соответствующую формулу.
- Найти пределы интегрирования (а и b) из условия задачи или чертежа , если они не заданы.
- Вычислить площадь каждой криволинейной трапеции и площадь искомой фигуры.
Задача 1:
Задача 2:
Задача 3:
Задача 3:
Решаем:
№ 26 (2)
№ 29(2)
№ 30(2)
Решаем:
№ 26 (2)
№ 29(2)
№ 30(2)
З А Д А Ч А
Перед зданием школы решено разбить клумбу. Но по форме клумба не должна быть круглой, квадратной или прямоугольной. Она должна содержать в себе прямые и кривые линии. Пусть она будет плоской фигурой, ограниченной линиями
Y = 4/X + 2; X = 4; Y = 6.
Необходимо ещё подсчитать сколько денег можно получить за вскапывание этой клумбы, если за каждый м 2 выплачивается 50 руб.?
Вычислим площадь полученной фигуры по формуле:
где f(x)= 6 , а g(x)=4/x +2
Так как за каждый квадратный метр выплачивается 50 рублей, то заработок составит:
6,4 * 50 = 320 (рублей).
Домашнее задание:
№ 26 (1)
№ 27 (1)
№ 29(1)
№ 30(1)
Итоги урока
