Конспект урока на тему " Арифметическая и геометрическая прогрессия"

9 класс

Арифметическая и геометрическая прогрессии

(открытый урок)

9 класс

Тема урока: Арифметическая и геометрическая прогрессии

Цель урока: 1) систематизировать знания учащихся по данной теме, ознакомление с историческим материалом, применение формул при решении более трудных задач;

2) развивать умение различать виды прогрессий, применять теоретический материал в задачах, логически мыслить;

3) воспитывать аккуратность оформления задач, правильное чтения формул.

Ход урока

1. Организационная часть (1 мин.)

2. Исторический материал

Учитель: Закончился 20- ый век.

Куда стремится человек?

Изучен космос и моря,

Строенье звезд и вся земля.

Но математиков зовет

Известный лозунг

«Прогрессио – движение вперед».

Сценка: Царь: Я, индусский царь Шерам, научился играть в шахматы и восхищен ее остроумием и разнообразием в ней положений. Слуги, позовите изобретателя Сету. Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал. Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

Сета: Повелитель, прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

Царь: Простое пшеничное зерно?

Сета: Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью – 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, и так до 64-й клетки.

(Царь Шерам рассмеялся).

Учитель: Ребята, давайте подумаем. Стоит ли царю смеяться?

Запишем последовательность: 1,2,4,8,16,.. Найти S₆₄ ?

Вопрос: Какая последовательность? (геометрическая прогрессия)

b₁=1 q=2 n=64

S₆₄=

- Как велико это число?

Учитель: Если бы эдесь были ученые – математики, то сказали бы.

Архимед: (математик и физик, нашедший и выведший формулу суммы квадратов) – царю удалось бы засеять пшеницей площадь все Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыни, и Арктику с Антарктидой и при среднем урожае он убрал бы его за 5 лет.

Гаусс: (нашел сумму все натуральных чисел от 1 до100 еще в начальной школе) – математика – это точная наука.

(записать) 18 446 744 073 709 551 615

18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615.

Магницкий Леонтий Филиппович: (создатель первого учебника «Арифметика», изданный 200 лет тому назад и по нему учились полвека дети.) - S₆₄ ≈18,5*10¹⁸

Учитель: В учебнике было много задач по теме «Прогрессия». Многие из них сам Магницкий мог решать их с трудом, т. к. еще не нашел всех формул.

1. Опрос

- У вас на столе лежат листочки. Вы должны будете заполнить их формулами, проверим ваши теоретические знания по теме «Прогрессия». Я буду читать вопрос вы заполнять.

1) обозначение прогрессии; словесное определение

2) определение (рекурсивная формула);

3) формула n – го члена прогрессии;

4) возрастает;

5) убывает;

6) сумма n – первых членов прогрессии

7) характеристические свойства.

Теперь поменяться листами и проверить. Оценки поставить в зачетную книжку.

	Прогрессия
	Арифметическая аn	Геометрическая bn
1
2	an=a1+an-1+d	bn=bn-1*q, b≠0, q≠0
3	an=a1+(n-1)d	bn=b1*qn-1
4	d1	q1
5	d	0
6	Sn= Sn=	Sn= Sn=
7	an=	bn=

Учитель: Зная эти формулы можно решить очень много интересных задач. Поэтому сейчас каждая группа получит задание. Если вы решите, то узнаете любое изречение Гаусса.

Каждая группа получает задание. Задания распределить по уровням (распределяют консультанты). Проверяют консультанты.

Задание I

а	е	и	к	м	т	а	м	т	а
-221	-1	1885	187,5	-45	10	15	-31	210	-0,1

1. Найдите 17-й член арифметической прогрессии: 19, 15, …

2. Найдите S₁₇ этой прогрессии

3. Найдите S₁₀ этой прогрессии

4. (b_n): b₁=-16, q= . Найдите b₅

5. Найдите S₅ этой прогрессии.

6. (а_n): а₃=11, а₅=19. Найдите а₄

7. Найдите S₁₀ этой прогрессии.

8. (а_n): а₁=-45,6, а₁₅=2. Найдите S₅₀

9. (b_n): b₇=0,012, q=0,2.Найдите b₁

10. (а_n): а₂₀=1,7, а₃₇=0. Найдите d.

Ответы:

м	а	т	е	м	а	т	и	к	а
-45	-221	10	-1	-31	15	210	1885	187,5	-0,1
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Задание II

ц	а	а	и	к	н	р	у	ц	а
48	345	55	-1	6,8	12	-45	0	-62	765

1. (а_n): а₃=-18, d=3. Найдите а₂₃ арифметической прогрессии.

2. Найдите сумму первых 23 членов этой прогрессии.

3. Найдите S₁₀ этой прогрессии.

4. (b_n): b₁=-32, q= . Найдите b₆.

5. Найдите S₅ этой прогрессии.

6. Найдите S₁₀ арифметической прогрессии:

7. (b_n): b₂=6, b₄=24. Найдите b₃ геометрической прогрессии.

8. Найдите S₈ этой прогрессии.

9. Найдите а₁₀₀ арифметической прогрессии, если а₁₀=270, d=-3.

10. (а_n): d=-0,4 а₁₂=2,4. Найдите а₁.

Ответы:

ц	а	р	и	ц	а	н	а	у	к
48	345	-45	-1	-62	55	12	765	0	6,8
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Задание III

а	е	и	к	м	а	т	р	и	Ф
83	20	250	726	52( )	-34	18	900	486	108

1. (а_n): а₁=7, d=4. Найдите а₂₀.

2. Найдите сумму первых 20 членов этой прогрессии.

3. Найдите сумму первых 10 членов этой прогрессии.

4. (b_n): b₁=4, q= . Найдите b₇.

5. Найдите S₆ этой геометрической прогрессии.

6. (а_n): а₁=-35, d=5, а_n=60. Найдите n.

7. (b_n): b₃=54, b₅=6. Найдите b₄.

8. Найдите b₁ этой прогрессии.

9. Найдите S₆ этой прогрессии.

10. (а_n): а₁,-26,5;-19;-11,5,... Найдите а₁ арифметической прогрессии.

Ответы:

а	р	и	ф	м	е	т	и	к	А
83	900	250	108	52( )	20	18	486	726	-34
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Задание IV

а	ц	р	а	ц	и
525	14	425	5	1210	162

1. (а_n): а₁=56, d=-3. Найдите а₁₅ арифметической прогрессии.

2. Найдите S₁₅ этой прогрессии.

3. Найдите S₁₀ этой же прогрессии.

4. (b_n): b₁=2, q=3. Найдите b₅.

5. Найдите S₅ этой прогрессии.

6. (b_n): b₁=80, b_n=5, q=0,5. Найдите n.

Ответы:

ц	а	р	и	ц	а
14	525	425	162	1210	5
1	2	3	4	5	6

Задание V

и	а	е	и	к	м	м	а	т	т
33	30	5		256	26	93	162	10	0,3

1. (а_n): а₁=-8, d=2. Найдите а₁₈ арифметической прогрессии.

2. Найти сумму первых 18-и членов этой прогрессии.

3. Найдите S₁₀ этой прогрессии.

4. Если b₁=3, q=3, b_n=96. Найдите n этой прогрессии.

5. Найдите S₅ этой прогрессии.

6. (b_n): b₆=100, b₈=9.Найдите b₇.

7. Найдите q этой прогрессии.

8. (а_n): а₁=8, а_n=104, d=3. Найдите n.

9. (b_n): b₁=0,5, q=2, n=10.Найдите b₁₀.

10. (а_n): а₁=5, а₁₀₀=509. Найдите d.

Ответы:

м	а	т	е	м	а	т	и	к	и
26	162	10	5	93	30	0,3	33	256
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

В это время у доски решают слабые ученики.

I карточка

1) (а_n): а₁=3, d=5. Найдите а₅.

(a_n=a₁+(n-1)d)

2) (b_n): b₁=2, q=3.Найдите b₆.

3) Вычисли:

S₅=

II карточка

1) (а_n): а₁=5, d=3. Найдите а₄.

2) (b_n): b₁=4, q=2.Найдите b₅.

(b_n=b₁*q^n-1)

3) Вычисли:

S₃=

Ответы:

1	2	3
23	486	55,5

Ответы:

1	2	3
14	164	58,1

Д/З №413, 414, 415, 416.

Дополнительные задачи: 1) Банкдает своим вкладчикам 15% годовых. Чему станет равен вклад 1000 р. через 2 года? (1322,5 р.)

2) Снижение себестоимости производства товара ровно 5% в год. Первоначальная стоимость товара равна 10000 р. Чему станет равной его себестоимость через 2 года.(9025 р.)

3) При каких значениях числа 1+x, x²+4,2x+9,9x является четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии?

Задание I

а	е	и	к	м	т	а	м	т	а
-221	-1	1885	187,5	-45	10	15	-31	210	-0,1

1. Найдите 17-й член арифметической прогрессии: 19, 15, …

2. Найдите S₁₇ этой прогрессии

3. Найдите S₁₀ этой прогрессии

4. (b_n): b₁=-16, q= . Найдите b₅

5. Найдите S₅ этой прогрессии.

6. (а_n): а₃=11, а₅=19. Найдите а₄

7. Найдите S₁₀ этой прогрессии.

8. (а_n): а₁=-45,6, а₁₅=2. Найдите S₅₀

9. (b_n): b₇=0,012, q=0,2.Найдите b₁

10. (а_n): а₂₀=1,7, а₃₇=0. Найдите d.

Задание II

ц	а	а	и	к	н	р	у	ц	а
48	345	55	-1	6,8	12	-45	0	-62	765

1. (а_n): а₃=-18, d=3. Найдите а₂₃ арифметической прогрессии.

2. Найдите сумму первых 23 членов этой прогрессии.

3. Найдите S₁₀ этой прогрессии.

4. (b_n): b₁=-32, q= . Найдите b₆.

5. Найдите S₅ этой прогрессии.

6. Найдите S₁₀ арифметической прогрессии:

7. (b_n): b₂=6, b₄=24. Найдите b₃ геометрической прогрессии.

8. Найдите S₈ этой прогрессии.

9. Найдите а₁₀₀ арифметической прогрессии, если а₁₀=270, d=-3.

10. (а_n): d=-0,4 а₁₂=2,4. Найдите а₁.

Задание III

а	е	и	к	м	а	т	р	и	Ф
83	20	250	726	52( )	-34	18	900	486	108

1. (а_n): а₁=7, d=4. Найдите а₂₀.

2. Найдите сумму первых 20 членов этой прогрессии.

3. Найдите сумму первых 10 членов этой прогрессии.

4. (b_n): b₁=4, q= . Найдите b₇.

5. Найдите S₆ этой геометрической прогрессии.

6. (а_n): а₁=-35, d=5, а_n=60. Найдите n.

7. (b_n): b₃=54, b₅=6. Найдите b₄.

8. Найдите b₁ этой прогрессии.

9. Найдите S₆ этой прогрессии.

10. (а_n): а₁,-26,5;-19;-11,5,... Найдите а₁ арифметической прогрессии.

Задание IV

а	ц	р	а	ц	и
525	14	425	5	1210	162

1. (а_n): а₁=56, d=-3. Найдите а₁₅ арифметической прогрессии.

2. Найдите S₁₅ этой прогрессии.

3. Найдите S₁₀ этой же прогрессии.

4. (b_n): b₁=2, q=3. Найдите b₅.

5. Найдите S₅ этой прогрессии.

6. (b_n): b₁=80, b_n=5, q=0,5. Найдите n.

Задание V

и	а	е	и	к	м	м	а	т	т
33	30	5		256	26	93	162	10	0,3

1. (а_n): а₁=-8, d=2. Найдите а₁₈ арифметической прогрессии.

2. Найти сумму первых 18-и членов этой прогрессии.

3. Найдите S₁₀ этой прогрессии.

4. Если b₁=3, q=3, b_n=96. Найдите n этой прогрессии.

5. Найдите S₅ этой прогрессии.

6. (b_n): b₆=100, b₈=9.Найдите b₇.

7. Найдите q этой прогрессии.

8. (а_n): а₁=8, а_n=104, d=3. Найдите n.

9. (b_n): b₁=0,5, q=2, n=10.Найдите b₁₀.

10. (а_n): а₁=5, а₁₀₀=509. Найдите d.