Множества, их виды. Способы задания множеств
Беляева Татьяна Юрьевна
ГБПОУ КК «АМТ», г. Армавир
Преподаватель математических дисциплин
Основоположник теории множеств
«Множество есть
многое, мыслимое
нами как единое
целое»
Георг Кантор
(1845-1918)
немецкий математик, основоположник теории множеств
1. Понятия множества и его элементов
Опр. Множество – это совокупность каких-либо объектов, обладающих общим свойством.
Обозначение: А , В , С , … (возможно, с индексами)
Опр. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами .
Обозначение: а , в , с , … (возможно, с индексами)
При этом говорят, что элемент принадлежит множеству, и пишут: а А .
2. Виды множеств
2. Виды множеств
Опр. Число элементов множества называется мощностью этого множества.
Обозначение: | А |
Опр. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым .
Обозначение:
(!!) Очевидно, что
.
2. Виды множеств
Опр. Два множества, имеющие одинаковую мощность, называются равномощными .
Напр.: А – множество цветов радуги
В – множество нот
.
2. Виды множеств
Опр. Два множества называются равными , если они содержат одни и те же элементы.
Обозначение: А = В
(!!) Если А = В, то |А| = |В|
.
3. Способы задания множеств
Этот способ используется только для конечных множеств.
Напр.: M = {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}
.
3. Способы задания множеств
Порождающая процедура описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов, либо из других объектов.
Этот способ используется для бесконечных множеств.
Напр.: а) M = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…}
m 1 = 1, m 2 = 1, m n+2 = m n + m n+1 – порождающая процедура
б) А = {2, 4, 6, 8, 10,…}
a n = 2n – порождающая процедура
.
3. Способы задания множеств
Характеристическое свойство – это такое свойство, что элементы множества им обладают, а все остальное на свете не обладает.
Этот способ применим как к конечным, так и бесконечным множествам.
Напр.: а) Герои романа Л. Н. Толстого «Война и мир»
б) М = { x| 0 ≤ x ≤ 1} – множество всех действительных чисел таких, что они заключены между 0 и 1 включительно.
.
3. Способы задания множеств
А
4. Подмножества. Универсальное множество
Опр. Множество В называется подмножеством множества А, если всякий элемент множества В является элементом множества А.
Обозначение: В ⊂ А
Напр.: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
(!!) 1) Если А ⊂ В и В ⊂ А, то А = В.
2) Если А – некоторое множество, то Ø ⊂ А и А ⊂ А.
4. Подмножества. Универсальное множество
Опр. Подмножества А и Ø множества А называются несобственными подмножествами множества А . Любое другое подмножество называется собственным подмножеством этого множества.
Напр.: А = {1; 2; 3}
{1}, {2}, {3}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 3} – собственные подмножества
4. Подмножества. Универсальное множество
Опр. Множество всех подмножеств некоторого множества А называется его булеаном .
Обозначение: В(А)
Напр.: А = {a; b}
B(A) = { Ø; {a}; {b}; {a; b}}
(!!) |B(A)| = 2 |A| , т.е. множество, содержащее п элементов, имеет 2 п подмножеств.
4. Подмножества. Универсальное множество
Опр. Воображаемое множество, содержащее в себе все другие множества, называется универсальным .
Обозначение: U
U
А
