«Весна — лето 2024»

Множества, их виды. Способы задания множеств

Презентация предназначена для преподавателей дисциплины "Элементы математической логики" и раскрывает такие понятия раздела "Основные понятия теории множеств", как множество и его элементы, мощность множества, подмножество; булеан множества. В презентации рассмотрены основные виды множеств и способы их задания.

Олимпиады: Математика 1 - 11 классы

Содержимое разработки

Множества, их виды.  Способы задания множеств Беляева Татьяна Юрьевна ГБПОУ КК «АМТ», г. Армавир Преподаватель математических дисциплин

Множества, их виды. Способы задания множеств

Беляева Татьяна Юрьевна

ГБПОУ КК «АМТ», г. Армавир

Преподаватель математических дисциплин

Основоположник  теории множеств  «Множество есть многое, мыслимое нами как единое целое»   Георг Кантор  (1845-1918) немецкий математик, основоположник теории множеств

Основоположник теории множеств

«Множество есть

многое, мыслимое

нами как единое

целое»

Георг Кантор

(1845-1918)

немецкий математик, основоположник теории множеств

1. Понятия множества  и его элементов Опр.  Множество – это совокупность каких-либо объектов, обладающих общим свойством.   Обозначение: А , В , С , … (возможно, с индексами) Опр.  Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами . Обозначение: а , в , с , … (возможно, с индексами) При этом говорят, что элемент принадлежит множеству, и пишут: а А .

1. Понятия множества и его элементов

Опр. Множество это совокупность каких-либо объектов, обладающих общим свойством.

  •  

Обозначение: А , В , С , … (возможно, с индексами)

Опр. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами .

Обозначение: а , в , с , … (возможно, с индексами)

При этом говорят, что элемент принадлежит множеству, и пишут: а А .

2. Виды множеств

2. Виды множеств

2. Виды множеств Опр. Число элементов множества называется мощностью этого множества.   Обозначение: | А | Опр. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым . Обозначение:   (!!) Очевидно, что .

2. Виды множеств

Опр. Число элементов множества называется мощностью этого множества.

  •  

Обозначение: | А |

Опр. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым .

Обозначение:

(!!) Очевидно, что

.

2. Виды множеств Опр. Два множества, имеющие одинаковую мощность, называются равномощными .  Напр.:  А –  множество цветов радуги  В – множество нот  .

2. Виды множеств

Опр. Два множества, имеющие одинаковую мощность, называются равномощными .

Напр.: А – множество цветов радуги

В – множество нот

.

2. Виды множеств Опр. Два множества называются равными , если они содержат одни и те же элементы. Обозначение:  А = В (!!)  Если А = В, то |А| = |В|  .

2. Виды множеств

Опр. Два множества называются равными , если они содержат одни и те же элементы.

Обозначение: А = В

(!!) Если А = В, то |А| = |В|

.

3. Способы задания множеств Этот способ используется только для конечных множеств. Напр.: M = {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье} .

3. Способы задания множеств

Этот способ используется только для конечных множеств.

Напр.: M = {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}

.

3. Способы задания множеств Порождающая процедура описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов, либо из других объектов. Этот способ используется для бесконечных множеств.  Напр.: а) M = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…}  m 1 = 1, m 2 = 1, m n+2 = m n + m n+1 – порождающая процедура  б) А = {2, 4, 6, 8, 10,…} a n = 2n – порождающая процедура .

3. Способы задания множеств

Порождающая процедура описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов, либо из других объектов.

Этот способ используется для бесконечных множеств.

Напр.: а) M = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…}

m 1 = 1, m 2 = 1, m n+2 = m n + m n+1 – порождающая процедура

б) А = {2, 4, 6, 8, 10,…}

a n = 2n – порождающая процедура

.

3. Способы задания множеств Характеристическое свойство – это такое свойство, что элементы множества им обладают, а все остальное на свете не обладает. Этот способ применим как к конечным, так и бесконечным множествам. Напр.: а) Герои романа Л. Н. Толстого «Война и мир»  б) М = { x| 0 ≤ x ≤ 1} – множество всех действительных чисел таких, что они заключены между 0 и 1 включительно. .

3. Способы задания множеств

Характеристическое свойство – это такое свойство, что элементы множества им обладают, а все остальное на свете не обладает.

Этот способ применим как к конечным, так и бесконечным множествам.

Напр.: а) Герои романа Л. Н. Толстого «Война и мир»

б) М = { x| 0 ≤ x ≤ 1} – множество всех действительных чисел таких, что они заключены между 0 и 1 включительно.

.

3. Способы задания множеств А

3. Способы задания множеств

А

4. Подмножества.  Универсальное множество Опр. Множество В называется подмножеством  множества  А, если всякий элемент множества В является элементом множества А. Обозначение: В ⊂ А  Напр.:  N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C    (!!) 1) Если А ⊂ В и В ⊂ А, то А = В.  2) Если А – некоторое множество, то Ø ⊂ А и А ⊂ А.

4. Подмножества. Универсальное множество

Опр. Множество В называется подмножеством множества А, если всякий элемент множества В является элементом множества А.

Обозначение: В ⊂ А

Напр.: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

 

(!!) 1) Если А ⊂ В и В ⊂ А, то А = В.

2) Если А – некоторое множество, то Ø ⊂ А и А ⊂ А.

4. Подмножества.  Универсальное множество Опр. Подмножества А и Ø множества А называются несобственными  подмножествами множества А . Любое другое подмножество называется собственным  подмножеством этого множества.  Напр.: А = {1; 2; 3} {1}, {2}, {3}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 3} – собственные подмножества

4. Подмножества. Универсальное множество

Опр. Подмножества А и Ø множества А называются несобственными подмножествами множества А . Любое другое подмножество называется собственным подмножеством этого множества.

Напр.: А = {1; 2; 3}

{1}, {2}, {3}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 3} – собственные подмножества

4. Подмножества.  Универсальное множество Опр. Множество всех подмножеств некоторого множества А называется его булеаном . Обозначение: В(А)  Напр.: А = {a; b} B(A) = { Ø; {a}; {b}; {a; b}}   (!!) |B(A)| = 2 |A| , т.е. множество, содержащее п элементов, имеет 2 п подмножеств.

4. Подмножества. Универсальное множество

Опр. Множество всех подмножеств некоторого множества А называется его булеаном .

Обозначение: В(А)

Напр.: А = {a; b}

B(A) = { Ø; {a}; {b}; {a; b}}

 

(!!) |B(A)| = 2 |A| , т.е. множество, содержащее п элементов, имеет 2 п подмножеств.

4. Подмножества.  Универсальное множество Опр. Воображаемое множество, содержащее в себе все другие множества, называется универсальным . Обозначение: U U А

4. Подмножества. Универсальное множество

Опр. Воображаемое множество, содержащее в себе все другие множества, называется универсальным .

Обозначение: U

U

А

Получите свидетельство о публикации сразу после загрузки работы



Получите бесплатно свидетельство о публикации сразу после добавления разработки


Серия олимпиад «Весна — лето 2024»



Комплекты учителю



Качественные видеоуроки, тесты и практикумы для вашей удобной работы

Подробнее

Вебинары для учителей



Бесплатное участие и возможность получить свидетельство об участии в вебинаре.


Подробнее