Монотонность. Экстремумы. Выпуклость – вогнутость. Асимптоты.

ПрактическАЯ РАБОТА№ 5

Тема: Монотонность. Экстремумы. Выпуклость – вогнутость. Асимптоты.

Цели:

• повторить правила нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции с помощью производной

• научиться решать примеры на нахождение промежутков монотонности и экстремумов функций

• изучить правило нахождения промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба с помощью второй производной

• научиться решать примеры на нахождение промежутков выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.

• научиться находить асимптоты графика функции

Оснащение занятия: конспект лекций.

Критерии оценок

оценка «5» ставится за верное выполнение всех заданий работы

оценка «4» ставится за выполнение задания 1 и верное решение любых шести примеров из задания 2.

оценка «3» ставится за выполнение задания 1 и верное решение любых четырех примеров из задания 2.

Порядок выполнения работы

Задание 1.

- Ознакомиться с лекциями № 6,7

- Пользуясь лекциями, ответить на вопросы и ответы записать в тетрадь:

1.Какая функция называется возрастающей (убывающей)?

2. Каким образом монотонность связана с производной?

3. Выпишите в тетрадь правило для отыскания промежутков монотонности.

4.Что такое точки экстремума и экстремумы функции?

5. Как с помощью производной находят экстремумы функции? Записать в тетрадь правило отыскания экстремумов функции.

6.Какая кривая называется выпуклой (вогнутой) на промежутке?

7. Как с помощью производной можно найти промежутки выпуклости – вогнутости функции?

8. Какая точка называется точкой перегиба функции?

9. Выпишите в тетрадь правило для отыскания промежутков выпуклости – вогнутости функции и точек перегиба.

10.Какие виды асимптот вы знаете?

11. Как находятся разные виды асимптот?

12. Выписать в тетрадь рассмотренные в лекциях примеры по нахождению промежутков выпуклости, вогнутости функции, точек перегиба и асимптот.

Задание 2.

Решить примеры для самостоятельного решения

Лекция 6.

Тема «Промежутки монотонности и экстремумы функции»

Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными. Если функция не является монотонной, то область её определения можно разбить на конечное число промежутков монотонности (которые иногда чередуются с промежутками постоянства функции).

Монотонность функции y = f(x) характеризуется знаком её первой производной f '(x), а именно, если в некотором промежуткеf '(x)

f '(x), то функция возрастает (убывает) в этом промежутке. Следовательно, отыскание промежутков монотонности функции y = f(x)сводится к нахождению промежутков знакопостоянства её первой производнойf '(x).

Отсюда получаем правило для нахождения промежутков монотонности функцииy = f(x).

1. Найти нули и точки разрыва f '(x).

2. Определить знак f '(x) в промежутках, на которые полученные в п. 1 точки делят область определения функцииf(x); промежутки, в которых f '(x ), являются промежутками возрастания функции, а промежутки, в которых

f '(x). При этом если на двух соседних промежутках, граничная точка которых является нулем производной f '(x), знак f '(x) одинаков, то они составляют единый промежуток монотонности.

Пример.

1. Найти промежутки монотонности функции y =

Решение. Данная функция определена на всей числовой оси. Дифференцируя, получим: y' =4- - 4х + 1 = 4х(( =

(. Точек разрыва производная y' не имеет, а в нуль она обращается в трех точках: х = -1, х = , х = 1. Этими точками область определения разбивается на четыре промежутка (-

(1; +, в каждом из которыхy' сохраняет постоянный знак.

Определим знаки производной в этих промежутках, используя метод интервалов. Тогда получим, что в промежутках (-выполняется неравенство y', а в промежутках и (1; + - неравенство y'. Следовательно, в промежутках (- функция убывает, а в промежутках и (1; + - возрастает.

Точка х = х₀ называется точкой максимума (минимума) функции

y = f(x), если существует такая окрестность точки х₀, что для всех х(х х₀) из этой окрестности выполняется неравенство f(x)f(x₀) (соответственноf(x)f(x₀)

Точки максимума и минимума функции называются точками её экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) – максимумом (минимумом) или экстремумом функции.

Точками экстремума могут служить только критические точки I рода,

т. е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых первая производная f '(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Точками экстремума являются лишь те из критических точек, при переходе через которые первая производнаяf '(x) меняет знак, а именно, если при переходе через критическую точку х = х₀ в положительном направленииf '(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то

х = х₀ есть точка максимума (минимума).

Отсюда получаем правило отыскания экстремумов функции y = f(x).

1. Найти нули и точки разрыва f '(x).

2. Определить знакf '(x) в промежутках, на которые полученные в п. 1 точки делят область определения функцииf(x).

3. Из этих точек выделить те, в которых функцияf(x) определена и по разные стороны от каждой из которых производная f '(x) имеет разные знаки – это и есть экстремальные точки. При этом экстремальная точка х = х₀ является точкой максимума, если при движении по осиОх в положительном направлении она отделяет промежуток, в котором f '(x) , от пf '(x), и точкой минимума в противном случае.

Заметим, что точки, в которых производная обращается в нуль, иногда проще исследовать на экстремум, выяснив знак второй производной f ''(x₀): точках = х₀, в которой f ''(x₀) = 0, а f ''(x)существует и отлична от нуля, является экстремальной, а именно точкой максимума, если f ''(x₀) 0, и точкой минимума, если f ''(x₀) 0.

Пример.

1. Найти экстремумы функции y = 6х⁴ – 8х³ – 3х² + 6х

Решение. Здесь D(y) = R. Дифференцируя данную функцию, находим

y' = 24х³ – 24х² – 6х + 6 = 6(4х³ – 4х² – х + 1) = 6[4x²(x – 1) – (x – 1)] =

6(4x² – 1)(x – 1) = 6(2x – 1)(2x + 1)(x – 1).

Производная обращается в нуль при х = , х = , х = 1. Эти три точки разбивают всю числовую ось на четыре промежутка (-,(, , (, (1, +), внутри которых y' сохраняет определенный знак. Найдем знак производной в каждом из указанных промежутков: на (-,имеем y'; на (, имеемy'; на ((1, +) имеем y'

Отсюда следует, что точки х = , х = , х = 1 являются экстремальными, так как при переходе через каждую из них производная меняет знак. При этом в точках х = х = 1 происходит смена знаков с минуса на плюс, т. е. это – точки минимума; при переходе через точку х = знак производной меняется с плюса на минус, значит, это – точка максимума.

Экстремумы функции найдем, вычислив её значения в экстремальных точках: y_min = y( = - , y_max = y( = y_min = y(1 = 1.

Примеры для самостоятельного решения.

Найдите промежутки монотонности следующих функций:

1. у = х⁴ - 32х + 40

2. у = lnx -

Исследовать функцию на экстремумы:

3. у(х) = 3х⁴ – 4х³

4.у(х) =