Основные методы решения тригонометрических уравнений

№

Простейшие тригонометрические уравнения

Частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений

Простейшие тригонометрические уравнения с модулями

Метод введения новой переменной. Этим методом решаются тригонометрические уравнения, содержащие одну и ту же функцию одного и того же аргумента

Решить уравнение 2 sin²3х - 3 cos3х – 3 = 0.

Уравнение можно свести к алгебраическому относительно , воспользовавшись формулой sin² 3х = 1 – cos² 3х и приняв t:

2(1–cos²3х)-3cos3х–3=0, 2(1 – t²) – 3t – 3 = 0 ,

2t² + 3t + 1 = 0, откуда находим t₁ = -1, t₂ = - .
= -1,3х = ,;

,

Метод разложения на множители. При применении этого метода
необходимо пользоваться правилом: произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю

Решить уравнение = 0.

Так как в уравнение входит функция , то для корней уравнения выполняется условия: ≠ 0,

Если произведение двух множителей равно нулю, то либо первый множитель равен нулю, либо второй. Поэтому для каждого х имеем два уравнения:

1-. Корни этого уравнения – посторонние (если = 0, то не существует). 3 tg² х – 1 = 0 ,tg² х = ,

.

Метод решения однородных уравнений.

Однородное
тригонометрическое уравнение первой степени: asinx+bcosx=0, решается делением обеих частей уравнения на cosx≠0 или sinx≠0.
Однородное тригонометрическое уравнение второй степени:
asin²x+bsinxcosx+ccos²x=0, решается делением обеих частей уравнения на cos²х≠0 или sin²x≠0.

1)Решить уравнение .
Данное уравнение является однородным уравнением первой степени. Разделим обе части уравнения на , получим равносильное уравнение ,

2) Решить уравнение 2 sin²х + sinх cos х- cos² х = 0.

Данное уравнение является однородным второго порядка. Разделим обе части уравнения на cos² х.

2tg² x + tg x – 1 = 0. введем , тогда

2 y² + y – 1 = 0, y₁= -1, y₂= .

Функционально-графический метод (основан на применении свойств функций)

Данное уравнение рационально решать функционально-графическим методом. Построим графики данных функций .

Ответ: х=0

Метод введения вспомогательного угла решаются уравнения вида asinx+bcosx=c, авс≠0.

Решить уравнение

1. Вынесем за скобку =2, получим:

Разделим обе части уравнения на 2:

Пусть угол   такой, что ,   .

Перепишем уравнение:

Мы получили формулу косинуса  суммы

,

Метод оценки значений левой и правой частей уравнения

1)Решить уравнение

Следовательно,

, х=0.

2)Решить уравнение

Так как то левая часть не превосходит 3 и равна 3, если

Для нахождения значений х, удовлетворяющим обоим уравнениям, решим одно из них, а затем среди найденных значений отберем те, которые удовлетворяют другому.

Понятно, что лишь для четных n будет sin5x=1,