Памятка. Методы решения логарифмических уравнений

№

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

ПРИМЕРЫ

По определению логарифма

Уравнения вида выражение, содержащее неизвестное число, а число .
Для решения таких уравнений надо:

1) воспользоваться  определением логарифма: ;
2) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
Если

_{Решить уравнение .}

_{x-15=24, x-15=16, x=15+16, x=31.}

Потенцирование

Уравнения первой степени относительно логарифма, при решении которых используются свойства логарифмов.

Для решения таких уравнений надо:

1) используя свойства логарифмов, преобразовать уравнение;
2) решить полученное уравнение;
3) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
).

Введение новой переменной

Уравнение второй и выше  степени относительно логарифма.

Для решения таких уравнений надо:

1. сделать замену переменной;

2.  решить полученное уравнение;

3. сделать обратную замену;

4. решить полученное уравнение;

5. сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).

Произведем обратную замену.

Найденные корни принадлежат ОДЗ.

Логарифмирование обеих частей уравнения

Уравнения, содержащие неизвестное в основании и в показателе степени.

Для решения таких уравнений надо:

1. прологарифмировать уравнение;

2. решить полученное уравнение;

3. сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им
   корни (решения).

Решить уравнение .

Поскольку нет возможности выразить обе части уравнения через степени с одинаковым основанием, то логарифмируем по основанию 10 (в уравнении есть десятичный логарифм, да и для числа 100 это основание удобно). Логарифмы равных положительных чисел (фактически одного и того же числа, выраженного по-разному) равны, поэтому логарифм левой части равен логарифму правой части: lg,

x=0,1

x=100.

Легко убедиться, что корни не посторонние.

Приведение к одному основанию

Решите уравнение: .

Решение: ОДЗ: х0. Перейдем к основанию 3.

 или ;

Ответ: 9.

Функционально-графический метод

Решить графически уравнение:

 = 3 – x.

Можно построить графики функций

и

Есть способ, позволяющий не строить графики. Он заключается в следующем: если одна из

функций у = f(x) возрастает, а другая

 y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х. Если корень имеется, то его можно угадать. В нашем случае функция  

возрастает при х0, а функция y = 3 – x убывает при всех значениях х, в том числе и при х0, значит, уравнение имеет не более одного корня. Заметим, что при

х = 2 уравнение обращается в верное равенство.

Ответ: 2