«Весна — лето 2024»

"Перпендикулярность прямой и плоскости"

Материал рассчитан на отработки навыков применения теоретических знаний к решению типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Олимпиады: Математика 1 - 11 классы

Содержимое разработки

"Перпендикулярность прямой и плоскости"

Закончить предложение:   1 Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если…  2 Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если…  3 Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они…  4 Если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она… 5 Если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они… 

Закончить предложение:

1

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если… 

2

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если… 

3

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они… 

4

Если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она…

5

Если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они… 

Дан параллелепипед

Дан параллелепипед

ЗАДАЧА № 1: Дано : ∆  ABC  - прямоугольный;  AM  ⊥  AC ; M ∉ ( ABC )  Доказать :  AC  ⊥ ( AMB )   Доказательство : Т.к.  AC  ⊥  AB  и  AC  ⊥  AM , а  AM  ⋂  AB , т.е.  АМ  и  АВ  лежат в плоскости ( АМВ ), то  AC  ⊥ ( AMB ) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.  Ч.т.д.

ЗАДАЧА № 1:

Дано : ∆  ABC  - прямоугольный; 

AM  ⊥  AC ; M ∉ ( ABC ) ДоказатьAC  ⊥ ( AMB )

Доказательство : Т.к.  AC  ⊥  AB  и  AC  ⊥  AM , а  AM  ⋂  AB , т.е.  АМ  и  АВ  лежат в плоскости ( АМВ ), то  AC  ⊥ ( AMB ) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Ч.т.д.

ЗАДАЧА № 2: Дано :  ВМDC  - прямоугольник, M ∉ ( ABC ),  MB  ⊥  AB  Доказать :  CD  ⊥ ( ABC )   Доказательство :  MB  ⊥  BC , т.к.  ВМDC  – прямоугольник,  MB  ⊥  AB  по условию,  BC  ⋂  AB , т.е.  ВС  и  АВ  лежат в плоскости ( АВС ) ⇒  MB  ⊥  (ABC)  по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.  СD  ∥  МВ  по свойству сторон прямоугольника ⇒  CD  ⊥  (ABC)  по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).  Ч.т.д.

ЗАДАЧА № 2:

ДаноВМDC  - прямоугольник, M ∉ ( ABC ),  MB  ⊥  AB ДоказатьCD  ⊥ ( ABC )

ДоказательствоMB  ⊥  BC , т.к.  ВМDC  – прямоугольник,  MB  ⊥  AB  по условию,  BC  ⋂  AB , т.е.  ВС  и  АВ  лежат в плоскости ( АВС ) ⇒  MB  ⊥  (ABC)  по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.  СD  ∥  МВ  по свойству сторон прямоугольника ⇒  CD  ⊥  (ABC)  по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости). Ч.т.д.

Задача № 3 Дано :  АВСD  – параллелограмм,   M  ∉( ABC ),   МВ  =  МD ,   МА  =  МС  Доказать :  MO  ⊥ ( ABC )   Доказательство :  1) Т.к.  О  – точка пересечения диагоналей параллелограмма, то  АО  =  СО  и  ВО  =  DO . ∆  BMD  - равнобедренный, т. к.  ВМ  =  МD  по условию, значит  МО  - медиана и высота, т.е.  MO  ⊥  BD .  2) Аналогично доказывается в ∆  AMC :  MO  ⊥  AC .  3) Итак,  MO  ⊥  BD  и  MO  ⊥  AC . а  ВD  и  АС  – пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости ( АВС ) ⇒  MO  ⊥ ( ABC ) по признаку перпендикулярности прямой и  плоскости.  Ч.т.д.

Задача № 3

ДаноАВСD  – параллелограмм, 

M  ∉( ABC ),   МВ  =  МD ,   МА  =  МС ДоказатьMO  ⊥ ( ABC )

Доказательство : 1) Т.к.  О  – точка пересечения диагоналей параллелограмма, то  АО  =  СО  и  ВО  =  DO . ∆  BMD  - равнобедренный, т. к.  ВМ  =  МD  по условию, значит  МО  - медиана и высота, т.е.  MO  ⊥  BD . 2) Аналогично доказывается в ∆  AMCMO  ⊥  AC . 3) Итак,  MO  ⊥  BD  и  MO  ⊥  AC . а  ВD  и  АС  – пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости ( АВС ) ⇒  MO  ⊥ ( ABC ) по признаку перпендикулярности прямой и

плоскости. Ч.т.д.

В прямоугольном параллелепипеде  ABCDA 1 B 1 C 1 D 1   АВ  = 9 см;  ВС  = 8 см;  ВD  = 17 см. Найдите площадь  BDD 1 B 1 .   Отрезок  МН  пересекает плоскость α в точке  К . Из концов отрезка проведены прямые  МЕ  и  НР , перпендикулярные к плоскости α.  НР  = 4 см;  МЕ  = 12 см;  НК  = 5 см. Найдите отрезок  РЕ .

В прямоугольном параллелепипеде  ABCDA 1 B 1 C 1 D 1   АВ  = 9 см;  ВС  = 8 см;  ВD  = 17 см. Найдите площадь  BDD 1 B 1 .

Отрезок  МН  пересекает плоскость α в точке  К . Из концов отрезка проведены прямые  МЕ  и  НР , перпендикулярные к плоскости α.  НР  = 4 см;  МЕ  = 12 см;  НК  = 5 см. Найдите отрезок  РЕ .

Самостоятельная работа   Вариант I Вариант II Через вершины  А  и  В  прямоугольника  АВСD  проведены параллельные прямые  AA 1  и  BB 1 , не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что  AA 1  ⊥  AB ,  AA 1 ⊥  AD . Найдите  B 1 B , если  B 1 D  = 25 см,  AB  = 12 см,  AD  = 16 см. Через вершины  А  и  В  ромба  АВСD  проведены параллельные прямые  AA 1  и  BB 1 , не лежащие в плоскости ромба. Известно, что  BB 1  ⊥  BC ,  BB 1  ⊥ AB . Найдите  A 1 A , если  A 1 C  = 13 см,  BD  = 16 см,  AB = 10 см.

Самостоятельная работа  

Вариант I

Вариант II

Через вершины  А  и  В  прямоугольника  АВСD  проведены параллельные прямые  AA 1  и  BB 1 , не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что  AA 1  ⊥  ABAA 1 ⊥  AD . Найдите  B 1 B , если  B 1 D  = 25 см,  AB  = 12 см,  AD  = 16 см.

Через вершины  А  и  В  ромба  АВСD  проведены параллельные прямые  AA 1  и  BB 1 , не лежащие в плоскости ромба. Известно, что  BB 1  ⊥  BCBB 1  ⊥ AB . Найдите  A 1 A , если  A 1 C  = 13 см,  BD  = 16 см,  AB = 10 см.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

  • Стр. № 34-38 §1 п.15-18 (выучить).
  • № 125,130.

Получите свидетельство о публикации сразу после загрузки работы



Получите бесплатно свидетельство о публикации сразу после добавления разработки


Серия олимпиад «Весна — лето 2024»



Комплекты учителю



Качественные видеоуроки, тесты и практикумы для вашей удобной работы

Подробнее

Вебинары для учителей



Бесплатное участие и возможность получить свидетельство об участии в вебинаре.


Подробнее