Подготовка к ОГЭ
«РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ»
Учитель математики
Гусева Светлана Геннадьевна
МБОУ СОШ №18 имени В.Я.Алексеева
Задачи на проценты
Решение задач на проценты сводится к основным трем действиям с процентами:
- нахождение процентов от числа;
- нахождение числа по его процентам;
- нахождение процентного отношения чисел.
1) Покрасив 2 метра забора, Том Сойер «уступил» это занятие другому мальчику, который покрасил 30% неокрашенной части забора. После этого Том трижды «уступал»свое право красить забор другим мальчикам. Первый и второй из них покрасили соответственно 1/5 и 1/6 всего забора, а третий - 85% оставшейся неокрашенной части забора. Какова длина забора, если последний оставшийся метр Том красил сам?
РЕШЕНИЕ:
Пусть х-длина всего забора, тогда 0,3(х-2) – длина части забора, которую покрасил мальчик, красивший сразу за Томом, а из следующих трех мальчиков первый и второй покрасили ⅕∙х и ⅙∙х метров. Пусть у – длина части забора, оставшейся неокрашенной после этого. Из условия следует, что 1 метр (который в конце красил Том) составляет 100% - 85% = 15% от у.
То есть 0,15у=1, у=100/15=20/3. Так как сумма всех покрашенных частей равна длине всего забора, получаем уравнение:
2+ 0,3(х-2) + ⅕∙х + ⅙∙х +у=х
2+0,3х-0,6+11/30∙х+20/3=х
20/30∙х+1,4+20/3=х
х=24,2(м)
Ответ : длина забора 24,2 метра
2) Находясь в гостях у Кролика, Винни-Пух за первые три часа съел 40% всего запаса меда Кролика. Пятачок и Кролик вместе за это же время съели 300 граммов меда. За следующие три часа Винни-Пух съел 2/3 оставшегося меда, а Пятачок и Кролик съели 100 граммов меда на двоих, после чего у Кролика осталось 1,6 кг меда. Сколько меда было у Кролика до визита Винни-Пуха?
РЕШЕНИЕ:
Пусть первоначально у кролика было х кг меда. Винни-Пух за первые 3 часа съел 0,4х кг, а Пятачок и кролик съели 300г меда. У кролика осталось х-0,4х-0,3=0,6х-0,3(кг).
За следующие 3 часа Винни-Пух съел 2/3(0,6х-0,3)=0,4х-0,2(кг),
а Пятачок и кролик – 100г. У кролика осталось
0,6х-0,3-0,4х+0,2-0,1=0,2х-0,2(кг)
Зная, что осталось 1,6 кг, составим уравнение:
0,2х-0,2=1,6
х=9(кг)
Ответ: первоначально у кролика было 9 кг меда.
Задачи на «движение»
Действие движения характеризуется тремя компонентами: пройденный путь, скорость и время.
Известно соотношение между ними:
Путь = скорость • время
3) Две черепахи выползают навстречу друг другу из своих нор. Если бы первая ползла на 40 м/ч быстрее, то они бы встретились на полпути, если бы вторая ползла на 50 м/ч быстрее, она бы проползла в два раза большее расстояние до встречи, чем первая. Найдите скорости черепах.
РЕШЕНИЕ:
Пусть скорость движения первой черепахи х м/ч, а второй –
у м/ч. Если бы первая ползла на 40 м/ч быстрее, то через t₁ часов они бы встретились на полпути. Получаем:
(х+40)∙t₁=у∙t₁ или х+40=у
Если бы вторая ползла на 50м/ч быстрее, то она проползла бы до встречи за t₂ часов в два раза большее расстояние, чем первая. Получаем 2хt₂=(у+50)∙t₂ или 2х=у+50
х+40=у, х=90,
2х=у+50; у=130. Ответ: скорость первой
черепахи – 90 м/ч, а скорость второй – 130 м/ч
4) Петя вышел из школы и пошел домой со скоростью 4,5 км/ч. Через 20 минут по той же дороге из школы выехал Вася на велосипеде со скоростью 12 км/ч. На каком расстоянии от школы Вася догонит Петю?
РЕШЕНИЕ:
Пусть t часов – время, которое будет находиться в пути Петя до того момента, когда его догонит Вася. Тогда Вася до того как догонит Петю,будет находиться в пути (t-1/3) часа. (20 мин=1/3ч).
Всего Петя пройдет 4,5t км, а Вася пройдет 12(t-1/3)км.
Составим и решим уравнение:
4,5t=12(t-1/3)
t=8/15. Следовательно, Вася догонит Петю на расстоянии 4,5∙8/15=0,3∙8=2,4 км от школы.
Ответ: Вася догонит Петю на расстоянии 2,4 км от школы.
Задачи на «концентрацию», на «смеси и сплавы»
В задачах этого типа обычно присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составлять уравнение:
- Концентрация (доля чистого вещества в смеси);
- Количество чистого вещества в смеси (или сплаве);
- Масса смеси (сплава).
Соотношение между этими величинами следующее:
Масса смеси • концентрация = количество чистого вещества
0 10х²+200х-10х²-50х=3(х+5)(х+20) 150х=3(х+5)(х+20) 50х=(х+5)(х+20) х²+25х-50х+100=0 х²-25х+100=0 х₁=5, х₂=20. Оба числа удовлетворяют условию х 0. Ответ : первоначальная масса сплава могла быть либо 10 кг, либо 25 кг." width="640"
5) Сплав меди с цинком, содержащий 5 кг цинка, сплавлен с 15 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось по сравнению с первоначальным на 30%. Какой могла быть первоначальная масса сплава?
РЕШЕНИЕ:
Пусть х кг – масса меди в сплаве,
тогда (х+5)кг – первоначальная масса сплава;
( х/(х+5) ) ∙100% - процентное содержание меди в первоначальном сплаве; (х+5+15)кг – масса нового сплава;
( х/(х+5+15) ) ∙100% - процентное содержание меди в новом сплаве.
По условию содержание меди понизилось на 30%. Составим и решим уравнение:
( х/(х+5) ) ∙100- ( х/(х+5+15) ) ∙100=30, х 0
10х²+200х-10х²-50х=3(х+5)(х+20)
150х=3(х+5)(х+20)
50х=(х+5)(х+20)
х²+25х-50х+100=0
х²-25х+100=0
х₁=5, х₂=20. Оба числа удовлетворяют условию х 0.
Ответ : первоначальная масса сплава могла быть либо 10 кг, либо 25 кг.
6) Смешали 30%-ный и 50%-ный растворы азотной кислоты и получили 45%-ный раствор. Найдите отношение массы 30%-го раствора к массе 50%-го раствора.
РЕШЕНИЕ:
Пусть х г – масса первого раствора, у г – масса второго раствора, тогда 0,3х г – масса кислоты в первом растворе, 0,5у г – масса кислоты во втором растворе,
(0,3х+0,5у) г – масса кислоты в смеси, что по условию задачи составляет 45% массы раствора. Составим уравнение:
0,3х+0,5у=0,45(х+у)
0,5у-0,45у=0,45х-0,3х
0,05у=0,15х
у=3х
х:у=1:3
Ответ : отношение массы 30%-го раствора к массе 50%-го раствора как 1:3
7) В куске сплава меди и цинка количество меди увеличили на 40%, а количество цинка уменьшили на 40%. В результате общая масса куска сплава увеличилась на 20%. Определите процентное содержание меди и цинка в первоначальном куске сплава.
РЕШЕНИЕ:
Пусть х г меди и у г цинка находятся в первоначальном куске сплава, тогда (х+у) г – масса сплава. После увеличения количества меди на 40% масса меди в новом сплаве составила 1,4х г, а после уменьшения количества цинка в новом сплаве масса цинка составила 0,6у г;
(1,4х+0,6у) г – масса нового сплава. По условию масса куска сплава увеличилась на 20%, значит, составила 1,2(х+у) г.
Получаем уравнение: 1,2(х+у)= 1,4х+0,6у
0,6у=0,2х; 3у=х
Отсюда следует, что х:у=3:1
Ответ : в первоначальном куске сплава было 75% меди и 25% цинка.
Задачи «на работу»
Работу характеризуют три компонента действия:
- Время работы,
- Объем работы,
- Производительность
(количество произведенной работы в единицу времени).
Существует следующее соотношение между этими компонентами:
Объем работы = время работы • производительность.
0), вторая машинистка – за у часов (у0), 1/х – производительность первой машинистки, а 1/у – производительность второй. По условию задачи, работая вместе, они могут перепечатать рукопись за 6 часов; 6(1/х+ 1/у)=1. Если машинистки будут работать вместе 5 часов, то они напечатают 5(1/х+ 1/у) часть работы, а если вторая машинистка будет работать 3 часа, она напечатает 3/у часть работы. По условию задачи работа при этом будет завершена 5(1/х+ 1/у)+3/у=1. Учитывая, что х0, у0, составим и решим систему уравнений: 6(1/х+ 1/у)=1, х=9, 5(1/х+ 1/у)+3/у=1; у=18. Ответ : первая машинистка может перепечатать рукопись за 9 часов, а вторая – за 18 часов." width="640"
8) Две машинистки вместе могут перепечатать рукопись за 6 часов. После 5 часов совместной работы вторая машинистка продолжила работу самостоятельно и завершила ее за 3 часа. За какое время каждая машинистка смогла бы перепечатать рукопись?
РЕШЕНИЕ:
Примем объем работы за 1. Пусть первая машинистка сможет перепечатать рукопись за х часов (х0), вторая машинистка – за у часов (у0), 1/х – производительность первой машинистки, а 1/у – производительность второй. По условию задачи, работая вместе, они могут перепечатать рукопись за 6 часов; 6(1/х+ 1/у)=1. Если машинистки будут работать вместе 5 часов, то они напечатают 5(1/х+ 1/у) часть работы, а если вторая машинистка будет работать 3 часа, она напечатает 3/у часть работы. По условию задачи работа при этом будет завершена 5(1/х+ 1/у)+3/у=1. Учитывая, что х0, у0, составим и решим систему уравнений:
6(1/х+ 1/у)=1, х=9,
5(1/х+ 1/у)+3/у=1; у=18.
Ответ : первая машинистка может перепечатать рукопись за 9 часов,
а вторая – за 18 часов.
0), тогда второй рабочий наклеит обои за (х+5)часов. Всю работу примем за 1, тогда 1/х – производительность первого рабочего, 1/(х+5) – производительность второго. Так как, работая вместе, они наклеят обои за 6 ч, то их совместная производительность равна 1/6. Таким образом, имеем 1/х + 1/(х+5) = 1/6 х²-7х-30=0 х₁=10, х₂=-3 не удовлетворяет условию х0, т.е. х=10. Таким образом, первый рабочий может выполнить работу за 10 ч, а второй – за 15 ч. Ответ : первый рабочий может выполнить работу за 10 ч, а второй – за 15 ч." width="640"
9) Двое рабочих, работая вместе, могут оклеить комнату обоями за 6 часов. За сколько часов может оклеить комнату каждый из них в отдельности, если первый это сделает на 5 часов быстрее второго?
РЕШЕНИЕ:
Пусть первый рабочий может наклеить обои в комнате за х часов (х0), тогда второй рабочий наклеит обои за (х+5)часов. Всю работу примем за 1, тогда 1/х – производительность первого рабочего, 1/(х+5) – производительность второго. Так как, работая вместе, они наклеят обои за 6 ч, то их совместная производительность равна 1/6. Таким образом, имеем
1/х + 1/(х+5) = 1/6
х²-7х-30=0
х₁=10, х₂=-3 не удовлетворяет условию х0, т.е. х=10.
Таким образом, первый рабочий может выполнить работу за 10 ч,
а второй – за 15 ч.
Ответ : первый рабочий может выполнить работу за 10 ч,
а второй – за 15 ч.
Спасибо за внимание!
