Множества
Понятие множества
Рассмотрим высказывание
«Все учащиеся нашего класса имеют дома компьютер».
Истинно оно или ложно?
Понятие множества
Рассмотрим высказывание
Зададим каждому однокласснику вопрос
«У тебя дома есть компьютер?».
Понятие множества
Рассмотрим высказывание
Если все учащиеся класса ответят утвердительно, то высказывание истинно, если хотя бы один из учащихся ответит «нет», то и высказывание будет ложным. Для разных классов это высказывание будет иметь различные значения, потому что различными будут множества учащихся класса.
Понятие множества
Множества, в том числе и бесконечные, в неявной форме использовались в математике со времен Древней Греции.
До XIX в. считалось, что точного определения множества нет. Множеством называли любое скопление, объединение предметов.
В конце XIX в. немецкий математик Георг Кантор (1845—1918) определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством»
Понятие множества
Множество — совокупность каких-либо объектов, обладающих общим свойством. Эти объекты называют элементами множества .
Понятие множества
Можно говорить о множестве:
- учащихся 7 А класса,
- отметок в классном журнале,
- городов Беларуси,
- букв русского алфавита и т. д.
Понятие множества является одним из основных в математике.
Понятие множества
Множества, как правило, обозначают прописными латинскими буквами, а элементы множества — строчными.
Для обозначения принадлежности элемента множеству используют специальные знаки:
а ∈ М (элемент а принадлежит множеству М ),
а ∉ М (элемент а не принадлежит множеству М ).
Если множество M состоит из элементов a , b , c , то это записывают так: M = { a , b , c } .
Понятие множества
Чтобы задать множество, необходимо перечислить его элементы
пример
Пусть множество M — это множество любимых учебных предметов семиклассника Игоря, состоящее из следующих элементов: математика, информатика, английский язык.
Тогда можно записать:
М = {математика, информатика, английский язык} ;
информатика ∈ М ;
литература ∉ М.
Company Logo
Понятие множества
или назвать их общее свойство
пример
Пусть в множество M входят все учебные предметы, которые изучаются в 7-м классе. Перечислить все элементы данного множества можно, например, глядя на страницу школьного дневника.
Тогда можно записать:
информатика ∈ М ;
астрономия ∉ М .
Понятие подмножества
Рассмотрим множество учащихся какого-либо класса. В этом множестве можно выделить не только отдельного учащегося, но и некоторые группы учащихся.
Например, отличники, учащиеся, умеющие играть в теннис, изучающие французский язык и т. д. Каждая из таких групп образует подмножество — часть множества учащихся .
Понятие подмножества
Если множество А является подмножеством множества М , то это записывают так: А ⊂ М . Запись А ⊄ М обозначает, что множество А не является подмножеством множества М .
Подмножество может содержать все элементы множества, а может не содержать ни одного (пустое множество; обозначается знаком ∅ ).
Понятие подмножества
Некоторые элементы множества могут принадлежать одновременно разным подмножествам
пример
Пусть М = {Вера, Сергей, Вася, Вика, Лиза, Костя, Надя} — множество учащихся 7 Б класса, занимающихся в драмкружке. Из этого множества можно выделить следующие подмножества:
А = {Вера, Вика, Лиза, Надя} — множество девочек (красная граница).
В = {Сергей, Вася, Костя} — множество мальчиков (синяя граница).
С = {Вера, Вася, Вика} — множество детей, чьи имена начинаются на букву «В» (зеленая граница).
D = {Вера, Сергей, Вася, Вика, Лиза, Костя, Надя} — множество детей, в именах которых по 2 гласных звука (желтая граница).
E = ∅ — множество трехлетних детей.
Понятие подмножества
Для наглядной геометрической иллюстрации множеств и отношений между ними используют круги Эйлера . Каждое множество изображается кругом. Если какое-либо множество является подмножеством другого множества, то один круг изображается внутри другого.
Понятие подмножества
Например, если M — множество всех хищников, а A — множество всех львов ( A ⊂ M ) , то это обозначается таким образом:
Упражнения
Дополните каждое из множеств 1—2 элементами.
1) А = {математика, информатика, история, литература} ;
2) В = {яблоко, груша, апельсин, банан};
3) С = {клавиатура, монитор, мышь};
4) D = {карандаш, ручка, ластик, фломастер}.
Упражнения
Какие элементы могут входить в следующие множества?
1) Средства передвижения;
2) цвета радуги;
3) домашние животные;
4) четные числа.
Упражнения
Из множества геометрических фигур А = {круг, овал, квадрат, прямоугольник, треугольник, пятиугольник} выделите подмножества:
1) фигур, не имеющих углов;
2) фигур, являющихся четырехугольниками;
3) фигур, количество углов у которых больше трех.
Упражнения
Из множества геометрических фигур А = {круг, овал, квадрат, прямоугольник, треугольник, пятиугольник} выделите подмножества:
А
в
б
а
Замкнутая кривая
Многоугольник
Прямоугольник
Домашнее задание
§6
