Логические операции И и ИЛИ
7 класс
Логика высказываний позволяет строить составные высказывания . Они создаются из нескольких простых высказываний путем соединения их друг с другом с помощью логических операций НЕ , И , ИЛИ и др.
Логическая операция И
Определение истинности или ложности составного высказывания зависит от того, являются ли истинными или ложными простые высказывания, входящие в его состав, а также от той логической операции, которая их связывает.
Логическая операция И
Составное высказывание А И В , образованное в результате объединения двух простых высказываний А и B логической операцией И , истинно тогда и только тогда, когда А и В одновременно истинны.
Логическая операция И
Пример 1:
Проанализируем высказывание «Число 456 трехзначное и четное».
Данное высказывание является составным, поскольку оно содержит два простых высказывания:
«Число 456 трехзначное» (высказывание А ) и «Число 456 четное» (высказывание В ).
Высказывания А и В соединены вместе логической операцией И , в результате получено составное высказывание
А И B. Высказывание А истинно, высказывание В истинно. Поэтому высказывание А И B истинно: ( А И B ) = 1.
Логическая операция И
Пример 2:
Высказывание А : «Геракл — герой древнегреческой мифологии». Истинно , А = 1.
Высказывание В : «Геракл — сын бога Зевса». Истинно , B = 1.
Высказывание А И В : «Геракл — герой древнегреческой мифологии И сын бога Зевса». Истинно , ( А И В ) = 1.
Логическая операция И
Операцию И называют логическим умножением . Равенства 1 · 1 = 1, 1 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 0 · 0 = 0, верные для обычного умножения, верны и для логического умножения.
Представим таблицу истинности для логической операции И :
Логическая операция И
Представим таблицу истинности для логической операции И :
Логическая операция И
Если хотя бы одно из простых высказываний, связанных операцией И , будет ложным, то и составное высказывание будет ложным.
Для записи логической операции И используют следующие обозначения: A И B , A AND B , A · B , A * B , A ∧ B , A & B .
Логическая операция Или
Составное высказывание А ИЛИ В , образованное в результате объединения двух простых высказываний А и B логической операцией ИЛИ , ложно тогда и только тогда, когда А и В одновременно ложны
Логическая операция Или
Пример 3:
Проанализируем высказывание «Семиклассники изучают философию или астрономию» .
Данное составное высказывание образовано из двух простых высказываний: «Семиклассники изучают философию» (высказывание А ), «Семиклассники изучают астрономию» (высказывание В ), которые связаны логической операцией ИЛИ . В результате получилось составное высказывание А ИЛИ B. Высказывание А ложно, высказывание В ложно. Поэтому высказывание А ИЛИ B ложно: ( А ИЛИ B ) = 0.
Логическая операция Или
Пример 4:
Высказывание А : «Франциск Скорина — белорусский первопечатник». Истинно, А = 1.
Высказывание В : «Стефан Баторий — турецкий султан». Ложно, B = 0.
Логическая операция Или
Пример 4:
Высказывание «Франциск Скорина — белорусский первопечатник, ИЛИ Стефан Баторий — турецкий султан» будет истинным , ( А ИЛИ В ) = 1.
Логическая операция Или
Операцию И называют логическим умножением . Равенства 1 · 1 = 1, 1 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 0 · 0 = 0, верные для обычного умножения, верны и для логического умножения.
Логическая операция Или
Таблица истинности для логической операции ИЛИ имеет следующий вид:
А
В
1
0
1
А ИЛИ В
1
1
1
1
0
0
0
1
0
Логическая операция Или
Операцию ИЛИ называют логическим сложением . Равенства 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 0, верные для обычного сложения, верны и для логического сложения.
Для записи логической операции ИЛИ можно использовать следующие выражения: A ИЛИ B , A OR B , A + B , A ∨ B , A | B .
Логическая операция Или
Если в логическом выражении присутствует несколько логических операций, то важно определить порядок их выполнения.
Наивысшим приоритетом обладает операция НЕ . Логическая операция И , т. е. логическое умножение, выполняется раньше операции ИЛИ — логического сложения
Логическая операция Или
Для изменения порядка выполнения логических операций используют скобки: в этом случае сначала выполняются операции в скобках, а затем — все остальные.
Логические операции И и ИЛИ подчиняются переместительному закону:
A И B = B И A ;
A ИЛИ B = B ИЛИ A .
Логическая операция Или
- Чтобы определить значение составного логического выражения, иногда достаточно знать значение только одного простого высказывания.
- Так, если в составном высказывании с операцией И значение хотя бы одного простого высказывания является ложным, то и значение составного высказывания будет ложным.
- Если в составном высказывании с операцией ИЛИ значение хотя бы одного простого будет истинным, то и значение составного высказывания будет истинным
Логическая операция Или
Пример 5:
Высказывание А :
«Прогноз погоды обещает дожди».
«Сейчас на улице идет дождь».
Высказывание В :
Высказывание А И B будет ложным, если мы увидели, что на улице нет дождя (независимо от того, что обещал прогноз погоды).
Логическая операция Или
Пример 5:
Высказывание А :
«Прогноз погоды обещает дожди».
«Сейчас на улице идет дождь».
Высказывание В :
Высказывание А ИЛИ B будет истинным, если прогноз погоды обещал дождь (независимо от того, какую погоду мы наблюдаем сейчас).
Упражнения
Определите, истинными или ложными являются нижеприведенные составные высказывания.
- Мяч круглый, ИЛИ Земля плоская. Кролики — домашние животные, И баобаб растет в Беловежской пуще. Клавиатура — устройство ввода информации, ИЛИ винчестер — устройство вывода информации. М. Ю. Лермонтов написал стихотворение «Парус», И И. А. Крылов написал басню «Квартет». Сосна — хвойное дерево, И кедр — не хвойное дерево. Процессор — устройство обработки информации в компьютере, ИЛИ наушники — не устройство ввода информации. Континенты и острова — это большие участки суши.
- Мяч круглый, ИЛИ Земля плоская.
- Кролики — домашние животные, И баобаб растет в Беловежской пуще.
- Клавиатура — устройство ввода информации, ИЛИ винчестер — устройство вывода информации.
- М. Ю. Лермонтов написал стихотворение «Парус», И И. А. Крылов написал басню «Квартет».
- Сосна — хвойное дерево, И кедр — не хвойное дерево.
- Процессор — устройство обработки информации в компьютере, ИЛИ наушники — не устройство ввода информации.
- Континенты и острова — это большие участки суши.
Домашнее задание
§ 5
