Ломаная. Выпуклые многоугольники. Правильные многоугольники.
Ломаная
Опр. Ломаная А 1 А 2 …А n – фигура, состоящая из
точек А 1 , А 2 , …,А n и
соединяющих их отрезков А 1 А 2 , А 2 А 3 , …,А n-1 А n .
Точки А 1 , А 2 , …,А n – вершины ломаной ;
отрезки А 1 А 2 , А 2 А 3 , …,А n-1 А n – звенья .
Ломаная
Простая
Есть самопересечение
Свойство длины ломаной
Длина ломаной l=A 1 A 2 +A 2 A 3 +A 3 A 4 +A 4 A 5
Свойство длины ломаной l A 1 A 5
Длина ломаной
Меньше
длины отрезка, соединяющего ее концы.
Равна
длине отрезков, соединяющего ее концы.
Не меньше
длины отрезка, соединяющего ее концы.
№ 1. АВС D – ломаная, АВ = 3 см, ВС = 4 см, CD = 2 см.
Может ли длина отрезка А D быть равной
а) 10 см;
б) 7 см;
в) 9 см?
№ 2. Найти длину ломаной А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А 6 , где
А 1 , А 2 , А 3 , А 4 вершины квадрата со стороной 2 см,
А 5 – точка пересечения диагоналей,
А 6 – середина А 1 А 4 .
Выпуклые многоугольники
Опр. Ломаная, концы которой совпадают, называется замкнутой .
Опр. Многоугольник – это простая замкнутая ломаная, у которой соседние звенья не лежат на одной прямой.
Вершины ломаной – вершины многоугольника ;
звенья ломаной – стороны многоугольника .
Опр. Диагонали многоугольника – отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
Опр. Многоугольник с n -вершинами – n -угольник.
Опр. Плоский многоугольник (многоугольная область) – часть плоскости, ограниченная многоугольником.
Выпуклые многоугольники
Замкнутая ломаная
Незамкнутая ломаная
Простая замкнутая ломаная (многоугольник)
Простая замкнутая ломаная (не многоугольник)
Выпуклые многоугольники
Плоский многоугольник
Простая замкнутая ломаная (многоугольник)
Выпуклый многоугольник
Невыпуклый многоугольник
Выпуклые многоугольники
(n–3) диагонали
(n– 2 ) треугольника
Заполни таблицу
Из одной вершины n- угольника проводятся все диагонали. Сколько образуется треугольников,
если n =4; n= 5; n= 6;
n − произвольное натуральное число, больше 2?
n
n = 4
кол-во диагоналей
кол-во треугольников
n = 5
n = 6
n - уг.
Сумма углов выпуклого n– угольника
180 о
360 о
180 о ( n–2 )
Задача
№ 1. Вычислить сумму углов выпуклого
а) пятиугольника;
б) десятиугольника.
№ 2 . Найти сумму углов
а) шестиугольника;
б) семиугольника;
в) одиннадцатиугольника.
Муха ползёт по многоугольной рамке из точки А, поворачивая в каждой вершине вправо. Чему равна сумма углов её поворотов, когда она снова попадёт в вершину А?
Решение:
А
Задача
Углы выпуклого четырёхугольника пропорциональны числам 1, 2, 3 и 4. Найти эти углы.
Задача
Сколько сторон имеет n -угольник, если сумма его внутренних углов равна
а) 1260˚;
б) 1980˚?
Задача
Существует ли многоугольник, сумма углов которого равна
а) 1080˚;
б) 2160˚?
Внешний угол выпуклого n– угольника при данной вершине
Чему равна сумма внешних углов выпуклого n-
угольника, взятых по одному при каждой
вершине?
Решение:
- Сумма внешнего и внутреннего углов при одной вершине
180˚ ;
2) Сумма всех внешних и внутренних углов
180˚∙ n ;
3) Сумма внутренних углов n- угольника
180˚∙( n – 2) ;
4) Сумма внешних углов n- угольника
180˚∙ n – 180˚∙( n – 2) = 180˚∙ n – 180˚∙ n + 180˚∙ 2 = 360˚.
Вопрос
Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если все его внешние углы тупые?
Правильные многоугольники
Окружность, описанная около многоугольника
Окружность, вписанная в многоугольник
Проверь себя
Выпишите вершины и звенья ломаной, изображенной на рисунке.
Выберите
- простые ломаные :
- замкнутые :
- с самопересечениями :
Выберите
- Выпуклые многоугольники,
- Невыпуклые многоугольники
- Правильные многоугольники.
Какие из перечисленных многоугольников являются правильными? Выбрать и поставить знак «+» или «–»
- равнобедренный треугольник;
- квадрат;
- ромб;
- прямоугольник;
- равносторонний треугольник;
- параллелограмм;
- равнобокая трапеция;
- правильный прямоугольник.
Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников
Построение правильного шестиугольника
Практическое задание
1 вариант
2 вариант
N=12
N=10
N=20
N=15
