![Производная](http://fsd.intolimp.org/html/2017/03/13/i_58c63685ca15d/img_phpKfbRH6_proizvodnaya_0.jpg)
Производная
![Содержание](http://fsd.intolimp.org/html/2017/03/13/i_58c63685ca15d/img_phpKfbRH6_proizvodnaya_1.jpg)
Содержание
- Понятие производной.
- Алгоритм нахождения производной.
- Примеры.
- Таблица производных.
- Физический смысл производной.
- Правила нахождения производных.
- Непрерывность функции.
- Геометрический смысл производной.
![Производной функции у = f(x) , заданной на некотором интервале ( a; b) , в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. ∆ f f ′(x) = lim ∆ x ∆ x →0 Нахождение производной называют дифференцированием](http://fsd.intolimp.org/html/2017/03/13/i_58c63685ca15d/img_phpKfbRH6_proizvodnaya_2.jpg)
Производной функции у = f(x) , заданной на некотором интервале ( a; b) , в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
∆ f
f ′(x) = lim
∆ x
∆ x →0
Нахождение производной называют дифференцированием
![у ∆ f f ′(x) = lim ∆ x ∆ x →0 f(x 0 ) у = f(x) ∆ f f(x 0 + ∆ х ) ∆ х х 0 х 0 х 0 + ∆ х](http://fsd.intolimp.org/html/2017/03/13/i_58c63685ca15d/img_phpKfbRH6_proizvodnaya_3.jpg)
у
∆ f
f ′(x) = lim
∆ x
∆ x →0
f(x 0 )
у = f(x)
∆ f
f(x 0 + ∆ х )
∆ х
х
0
х 0
х 0 + ∆ х
![Алгоритм нахождения производной Зафиксировать значение х 0 , найти f(x 0 ) . Дать аргументу х 0 приращение ∆ х , перейти в новую точку х 0 + ∆ х , найти f(x 0 + ∆ х ) . Найти приращение функции: ∆ f = f(x 0 + ∆ х ) – f(x 0 ) . Составить отношение . Вычислить lim . Этот предел и есть f ′ (x 0 ) . ∆ f ∆ х ∆ f ∆ х ∆ x→0](http://fsd.intolimp.org/html/2017/03/13/i_58c63685ca15d/img_phpKfbRH6_proizvodnaya_4.jpg)
Алгоритм нахождения производной
- Зафиксировать значение х 0 , найти f(x 0 ) .
- Дать аргументу х 0 приращение ∆ х , перейти в новую точку х 0 + ∆ х , найти f(x 0 + ∆ х ) .
- Найти приращение функции: ∆ f = f(x 0 + ∆ х ) – f(x 0 ) .
- Составить отношение .
- Вычислить lim .
- Этот предел и есть f ′ (x 0 ) .
∆ f
∆ х
∆ f
∆ х
∆ x→0
![1. Найти производную функции y = kx + b в точке х o](http://fsd.intolimp.org/html/2017/03/13/i_58c63685ca15d/img_phpKfbRH6_proizvodnaya_5.jpg)
1. Найти производную функции y = kx + b в точке х o
![2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке х o](http://fsd.intolimp.org/html/2017/03/13/i_58c63685ca15d/img_phpKfbRH6_proizvodnaya_6.jpg)
2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке х o
![3. Найти производную функции y = x 2 в точке х o](http://fsd.intolimp.org/html/2017/03/13/i_58c63685ca15d/img_phpKfbRH6_proizvodnaya_7.jpg)
3. Найти производную функции y = x 2 в точке х o
![4. Найти производную функции y = √x в точке х o](http://fsd.intolimp.org/html/2017/03/13/i_58c63685ca15d/img_phpKfbRH6_proizvodnaya_8.jpg)
4. Найти производную функции y = √x в точке х o
![4. Найти производную функции y = √x в точке х o](http://fsd.intolimp.org/html/2017/03/13/i_58c63685ca15d/img_phpKfbRH6_proizvodnaya_9.jpg)
4. Найти производную функции y = √x в точке х o
![5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o](http://fsd.intolimp.org/html/2017/03/13/i_58c63685ca15d/img_phpKfbRH6_proizvodnaya_10.jpg)
5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o
![5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o](http://fsd.intolimp.org/html/2017/03/13/i_58c63685ca15d/img_phpKfbRH6_proizvodnaya_11.jpg)
5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o
![f (x) f ′(x) C f (x) 0 kx + b f ′(x) √ x k x 2 x n e x 2x 1/(2 √ x) a x nx n–1 e x 1/x tg x a x lna – 1/x 2 sin x ctg x 1/cos 2 x cos x cos x – 1/sin 2 x ln x – sin x 1/x log a x 1/(x lna)](http://fsd.intolimp.org/html/2017/03/13/i_58c63685ca15d/img_phpKfbRH6_proizvodnaya_12.jpg)
f (x)
f ′(x)
C
f (x)
0
kx + b
f ′(x)
√ x
k
x 2
x n
e x
2x
1/(2 √ x)
a x
nx n–1
e x
1/x
tg x
a x lna
– 1/x 2
sin x
ctg x
1/cos 2 x
cos x
cos x
– 1/sin 2 x
ln x
– sin x
1/x
log a x
1/(x lna)
![Если при прямолинейном движении путь s , пройденный точкой, есть функция от времени t , т.е. s = s(t) , то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t) = s′(t) . Производная выражает мгновенную скорость в момент времени t .](http://fsd.intolimp.org/html/2017/03/13/i_58c63685ca15d/img_phpKfbRH6_proizvodnaya_13.jpg)
Если при прямолинейном движении путь s , пройденный точкой, есть функция от времени t , т.е. s = s(t) , то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t) = s′(t) .
Производная выражает мгновенную скорость в момент времени t .
![1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем ( u + v )′ = u′ + v′ 2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С ∙ u(x) также имеет в этой точке производную, причем (С u )′ = С∙ u′](http://fsd.intolimp.org/html/2017/03/13/i_58c63685ca15d/img_phpKfbRH6_proizvodnaya_14.jpg)
1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем
( u + v )′ = u′ + v′
2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С ∙ u(x) также имеет в этой точке производную, причем
(С u )′ = С∙ u′
![3 . Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также имеет в этой точке производную, причем ( u ∙ v )′ = u′∙v + u∙v′ 4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем 1 v(x) v′ ( ) ′ 1 = – v v 2 16](http://fsd.intolimp.org/html/2017/03/13/i_58c63685ca15d/img_phpKfbRH6_proizvodnaya_15.jpg)
3 . Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также имеет в этой точке производную, причем
( u ∙ v )′ = u′∙v + u∙v′
4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем
1
v(x)
v′
( )
′
1
= –
v
v 2
16
![5 . Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем u(x) v(x) ( ) u u′v – uv′ ′ = v v 2 17](http://fsd.intolimp.org/html/2017/03/13/i_58c63685ca15d/img_phpKfbRH6_proizvodnaya_16.jpg)
5 . Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем
u(x)
v(x)
( )
u
u′v – uv′
′
=
v
v 2
17
![( f ( g(x) ) ) ′ = f′ ( g(x) ) ∙g′(x) Примеры: 1. ( ( 5 x – 3) 3 ) ′ = 3(5x – 3) 2 ∙(5x – 3) ′ = = 3( 5 x – 3) 2 ∙ 5 = 15(5x – 3) 2 2 . ( sin(4x + 8) ) ′ = cos(4x + 8)∙(4x + 8) ′ = = cos(4x + 8)∙4 = 4 cos(4x + 8)](http://fsd.intolimp.org/html/2017/03/13/i_58c63685ca15d/img_phpKfbRH6_proizvodnaya_17.jpg)
( f ( g(x) ) ) ′ = f′ ( g(x) ) ∙g′(x)
Примеры:
1. ( ( 5 x – 3) 3 ) ′ = 3(5x – 3) 2 ∙(5x – 3) ′ =
= 3( 5 x – 3) 2 ∙ 5 = 15(5x – 3) 2
2 . ( sin(4x + 8) ) ′ = cos(4x + 8)∙(4x + 8) ′ =
= cos(4x + 8)∙4 = 4 cos(4x + 8)
![Если функция имеет производную (дифференцируема) в точке х , то она непрерывна в этой точке.](http://fsd.intolimp.org/html/2017/03/13/i_58c63685ca15d/img_phpKfbRH6_proizvodnaya_18.jpg)
Если функция имеет производную (дифференцируема) в точке х , то она непрерывна в этой точке.