Производная
Содержание
- Понятие производной.
- Алгоритм нахождения производной.
- Примеры.
- Таблица производных.
- Физический смысл производной.
- Правила нахождения производных.
- Непрерывность функции.
- Геометрический смысл производной.
Производной функции у = f(x) , заданной на некотором интервале ( a; b) , в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
∆ f
f ′(x) = lim
∆ x
∆ x →0
Нахождение производной называют дифференцированием
у
∆ f
f ′(x) = lim
∆ x
∆ x →0
f(x 0 )
у = f(x)
∆ f
f(x 0 + ∆ х )
∆ х
х
0
х 0
х 0 + ∆ х
Алгоритм нахождения производной
- Зафиксировать значение х 0 , найти f(x 0 ) .
- Дать аргументу х 0 приращение ∆ х , перейти в новую точку х 0 + ∆ х , найти f(x 0 + ∆ х ) .
- Найти приращение функции: ∆ f = f(x 0 + ∆ х ) – f(x 0 ) .
- Составить отношение .
- Вычислить lim .
- Этот предел и есть f ′ (x 0 ) .
∆ f
∆ х
∆ f
∆ х
∆ x→0
1. Найти производную функции y = kx + b в точке х o
2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке х o
3. Найти производную функции y = x 2 в точке х o
4. Найти производную функции y = √x в точке х o
4. Найти производную функции y = √x в точке х o
5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o
5. Найти производную функции y = 1/x в точке х o
f (x)
f ′(x)
C
f (x)
0
kx + b
f ′(x)
√ x
k
x 2
x n
e x
2x
1/(2 √ x)
a x
nx n–1
e x
1/x
tg x
a x lna
– 1/x 2
sin x
ctg x
1/cos 2 x
cos x
cos x
– 1/sin 2 x
ln x
– sin x
1/x
log a x
1/(x lna)
Если при прямолинейном движении путь s , пройденный точкой, есть функция от времени t , т.е. s = s(t) , то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t) = s′(t) .
Производная выражает мгновенную скорость в момент времени t .
1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем
( u + v )′ = u′ + v′
2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С ∙ u(x) также имеет в этой точке производную, причем
(С u )′ = С∙ u′
3 . Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также имеет в этой точке производную, причем
( u ∙ v )′ = u′∙v + u∙v′
4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем
1
v(x)
v′
( )
′
1
= –
v
v 2
16
5 . Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0 , то функция также имеет в этой точке производную, причем
u(x)
v(x)
( )
u
u′v – uv′
′
=
v
v 2
17
( f ( g(x) ) ) ′ = f′ ( g(x) ) ∙g′(x)
Примеры:
1. ( ( 5 x – 3) 3 ) ′ = 3(5x – 3) 2 ∙(5x – 3) ′ =
= 3( 5 x – 3) 2 ∙ 5 = 15(5x – 3) 2
2 . ( sin(4x + 8) ) ′ = cos(4x + 8)∙(4x + 8) ′ =
= cos(4x + 8)∙4 = 4 cos(4x + 8)
Если функция имеет производную (дифференцируема) в точке х , то она непрерывна в этой точке.
