Комплексные числа
Беляева Т.Ю.
ГБПОУ КК «АМТ» г. Армавира
Преподаватель математики
1. Понятие мнимой единицы
х² = – 1
x = i – мнимая единица
i – квадратный корень из (– 1)
(!!) Введение мнимой единицы сделало возможным извлекать корни из отрицательных чисел
2. Степени мнимой единицы
i ¹ = i
i ² = -1
i ³ = i² ∙ i = -1∙ i = - i
i = i³∙ i = - i ∙ i = - i² = -(- 1) = 1
i = i
… .
2. Степени мнимой единицы
Если показатель степени делится на 4 , то значение степени равно 1
Если при делении показателя степени на 4 в остатке получается 1 , то значение степени равно i
Если в остатке 2 , то -1
Если в остатке 3 , то - i
2. Степени мнимой единицы
1) i³³ = ?
Т.к. 33 = 4 ∙ 8 + 1 , то
i³³ = i
2) i²³¹= ?
Т.к. 2315 = 4 ∙ 578 + 3 , то
i²³¹= - i
Комплексные числа
z = a + bi
а – действительная часть
bi – мнимая часть
b – коэффициент при мнимой части
Если b = 0 , то z = a – действительное число
Если а = 0 , то z = bi – чисто мнимое число
Комплексные числа
z = a + bi
a - bi – сопряженное число
- a - bi – противоположное число
z
2 - 3i
ž
-z
2 + 3i
5i
- 2 + 3i
- 7
- 5i
- 5i
- 7
7
Геометрическое изображение комплексных чисел
Любое комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой Z(a; b) координатной плоскости или радиус-вектором этой точки
b Z
O a х
у
Модуль комплексного числа
Длина вектора, соответствующего комплексному числу z = a + bi , называется модулем этого числа
b Z
O a х
у
Модуль комплексного числа
│ z │= │a + bi│= √a² + b²
b Z
O a х
у
Действия над комплексными числами
Правило 1. Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел в алгебраической форме производится по правилам соответствующих действий над многочленами
Действия над комплексными числами
ПР. z 1 = 2 – 3i и z 2 = – 3 – 4i
1) z 1 + z 2 =
(2 – 3i) + (– 3 – 4i) = 2 – 3i – 3 – 4i = (2 – 3) + (– 3i – 4i) = – 1 – 7i
2) z 1 – z 2 =
(2 – 3i) – (– 3 – 4i) = 2 – 3i + 3 + 4i = (2 + 3) + (– 3i + 4i) = 5 + i
3) z 1 · z 2 =
(2 – 3i) · (– 3 – 4i) = – 6 – 8i + 9i + 12 i² = (– 6 – 12) + (– 8i + 9i) = – 18 + i
Действия над комплексными числами
Правило 2. Чтобы разделить одно комплексное число на другое, нужно делимое и делитель умножить на комплексное число, сопряженное делителю
Действия над комплексными числами
ПР. z 1 = 2 – 3i и z 2 = – 3 – 4i
4) z 1 / z 2 =
