Мастер класс разработка

Определение

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;

2. Имеют ровно один корень;

3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Пусть дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0.

Тогда дискриминант — это просто число, D = b² − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D 

2. Если D = 0, есть ровно один корень;

3. Если D  0, корней будет два.

Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. 3x² − 8x + 12 = 0;

2. 5x² + 3x - 7 = 0;

3. 9x² − 6x + 1 = 0.

Решение

1 уравнение. D = (−8)² − 4 · 3 · 12 = 64 − 144 = -80

Дискриминант отрицательный, корней нет.

.2 уравнение: D = 3² + 4 · 5 · 7 = 9 +140 = 149.

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня

3 уравнение: D = (−6)² − 4 · 9 · 1 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Ответ. 1) 2 корня; 2) нет корней; 3) один корень.

Определение

Неполным квадратным уравнением называется уравнение вида:

ax² = 0.  ax² +bх= 0.  ax² +с = 0.

Пример:

1. x² + 9x = 0;

2. x² − 16 = 0

3. 4x² = 0;

Уравнение вида ax² = 0 имеет один корень равный нулю (х=0)

Уравнение вида ax² +с = 0 имеет два корня, если с – отрицательное число (положительный и отрицательный)

Уравнение вида ax² +bх= 0.  имеет два корня один из которых равный нулю (х=0 и х=*) Сколько корней имеет уравнение:

1. x² − 7x = 0;

2. 5x² - 30 = 0;

3. 4x²  = 0.

Решение:

1 уравнение имеет два корня, один равен 0

2 уравнение имеет два корня: положительный и отрицательный.

3 уравнение имеет один корень, равный 0

Теорема Виета.

Приведенное квадратное уравнение – уравнение вида

x² + bx + c = 0. a=1

Если уравнение имеет действительные корни x₁ и x₂,то верны следующие утверждения:

1. x₁ + x₂ = −b. Другими словами, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при переменной x, взятому с противоположным знаком;

1. x₁ · x₂ = c. Произведение корней квадратного уравнения равно свободному коэффициенту.

Например: x² − 4x + 6 = 0;

Найдите чему равна сумма и произведение корней

1. .x² − 4x + 6 = 0;

2. x² − 8x − 4 = 0;

3. x² + 5x + 2 = 0;

Ответ

В 1 уравнении: сумма корней равна 4, произведение 6

В 2 уравнении: сумма корней равна 8, произведение -4

В 3 уравнении: сумма корней равна -5, произведение 2

Приложение №1

Имя______________________________________________

1. КАРТОЧКИ подписать вид уравнения (полное, неполное, приведенное)

1. 2х² = 0,

2. 5х²-50х=0,

3. х²-4х-32=0,

4. х²+12х+32=0,

5. 3х²+11х-26=0,

6. 5х²-40=0,

7. х²-11х-24=0,

8. 4х²-12х-40=0,

9.2х²-13х-24=0

2.КАРТОЧКИ для работы в парах (выписать из 1 карточки приведенные квадратные уравнения, найти сумму и произведение корней)

Приведенные квадратные уравнения, а=1	х 1 + х 2	х1* х 2