Открытый урок на тему: "Производная функции, ее геометрический и физический смысл" (2 курс)

УТВЕРЖДАЮ:

Зам. директора по УМР

___________ /В.В. Горшков/

Технологическая карта урока

Ф.И.О. преподавателя: Заварзин Дмитрий Владимирович

Учебная дисциплина: Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия

Тема: Производная функции, ее геометрический и физический смысл

Цели урока:

Личностные: развитие навыков частично-поисковой познавательной деятельности обучающихся; воспитание аккуратности, точности, самостоятельности, привитие навыков групповой работы, сотрудничества.

Метапредметные: воспитание у обучающихся интереса к изучаемой теме и ценностного отношения к труду и полученным знаниям.

Предметные: понятие производной, скорость изменения функции в точке, а также применение производной к расчету скорости в задачах по физике.

Тип урока: комбинированный.

Межпредметная связь: математика (средняя скорость изменения функции) – физика (средняя скорость в момент времени).

Средства обучения: раздаточный материал (карточки с домашним заданием, карточки-памятки), презентация-ИКТ

Образовательные ресурсы:

1. Башмаков М.И. Математик. Задачник: учеб. пособие для образоват. учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 416 с.

2. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 7-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 256 с.

3. Башмаков М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2012. – 208 с.

4. Башмаков М.И. Математика. Книга для преподавателей: методическое пособие для НПО, СПО / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 224 с.

Интернет-ресурсы

Математика: учебно-методический журнал для учителей: Издательский дом 1 сентября. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://mat.1september.ru– Загл. с экрана.
Вся элементарная математика: Средняя математическая интернет-школа [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.bymath.net – Загл. с экрана.
Информационные, тренировочные и контрольные материалы: Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.fcior.edu.ru – Загл. с экрана.
Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.school-collection.edu.ru – Загл. с экрана.
Официальный информационный портал единого государственного экзамена. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.ege.edu.ru – Загл. с экрана.
Математический портал – образовательные онлайн сервисы по математике, физике, теории вероятности и другим предметам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.webmath.ru – Загл. с экрана.

Характеристика этапов урока:

Этап урока	Время мин	Цель	Содержание учебного материала	Методы и приемы работы	ФОУД	Деятельность педагога	Деятельность обучающихся
1. Организационный	2	Проверка явки и готовности обучающихся, их настрой на работу.	–	–	–	Приветствует обучающихся, проверяет их готовность к уроку	Приветствуют педагога, дежурный докладывает о явке обучающихся и готовности группы к уроку
2. Проверка домашнего задания	5	Подведение обучающихся к высказыванию, возникшей проблемы решения задач, заданных на дом.	Рассмотрение необходимости умения вычислять производную функции с различных сторон, при решении определенного класса задач.	Наблюдение, объяснение, проблемная ситуация.	Г	Побуждает к высказываниям своего мнения, организует диалог обучающихся друг с другом.	Вывод своих позиций.
3. Постановка целей занятия и мотивация целевого компонента	3	Подведение обучающихся к формулированию темы, целей урока, исходя из заданных задач на дом предыдущем уроке.	Обучающиеся формулируют тему и цели урока.	Наблюдение, объяснение.	Ф	Организует диалог с обучающимися, в ходе которого проверяет правильность формулировки темы и цели урока.	Формулируют тему и цели урока.
4. Изучение нового материала	15	Подведение обучающихся к изучению новой темы.	Разбор нового по карточкам-памяткам, розданным обучающимся на уроке, а также по презентации, представленной на экране.	Наблюдение, объяснение	Ф	Побуждает к высказываниям своего мнения по новому материалу.	Конспектируют основные положения нового материала.
4. Изучение нового материала	5	Интерактивная физразгрузка.	На экране изображена таблица с возможными вариантами расположения касательной к графику функции и соответствующего существования производной данной функции в данной точке.	Наблюдение, объяснение	Ф	Опрос обучающихся.	Высказывают свое мнение.
5. Закрепление нового материала	9	Проверка уровня знаний по теме.	Разбор решения задач предыдущего домашнего задания на карточках и представленных задач на презентации.	Фронтально- групповая работа.	Ф, Г	Организует работу с обучающимися, в ходе которого осуществляется закрепление знания по теме урока.	Решают задачи, заданные на дом на предыдущем уроке.
6. Рефлексия	2	Оценка уровня успешности изученной темы.	Самоанализ деятельности и ее результат.	Фронтальная работа.	Ф	Просит определить свое мнение о занятии.	Обучающиеся поднимают карточки с изображением математического символа, имеющего отношение к производной. Доказывают результативность урока.
7. Подведение итогов урока	3	Определение уровня достижения целей урока.	На экране вопросы для проверки уровня освоения обучающимися материала по изученной теме.	Интерактивный.	Ф	Задает вопросы, направленные на выявление достижения целей урока.	Отвечают на вопросы. Делают выводы о достижении целей урока. Подводят итоги деятельности.
8. Домашнее задание	1	Предлагает задачи для закрепления пройденной темы.	На экране представлено домашнее задание.	Самостоятельная работа.	И	Даёт комментарии к выполнению домашнего задания.	Записывают задание в тетради. Задают вопросы.

* ФОУД – форма организации учебной деятельности обучающихся (Ф – фронтальная, И – индивидуальная, П – парная, Г – групповая

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Группа «Математики».

Задача. Пусть дан график f(x).

Рассмотрим точку М₀ с абсциссой x₀.

Пусть ∆х – это изменение абсциссы от точкиx₀до х, т.е. ∆х = х– x_0, M₀М – секущая, M₀N – касательная.

Найдите:

а) угловой коэффициент секущей (это средняя скорость изменения функции);

б) угловой коэффициент касательной (подсказка: касательная – это предельное положение секущей).

Решение.

Группа «Физики».

Задача. Рассмотрим движение материальной точки М по прямой с выбранным на ней началом отсчета – точкой О. Расстояние от начала отсчета до точки М в каждый момент времени t обозначим буквой s. Тогда движение точки М будет описываться функцией: s = s (t), t[t₀; t].

Найдите:

а) среднюю скорость за отрезок [t₀; t];

б) скорость точки в момент времени t₀ (мгновенную скорость).

Решение.

Приложение 2

Карточка-памятка №1

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции: y= f (x):

Из рис. видно, что для любых двух точек A и B графика функции:

где - угол наклона секущей AB.

Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.

В этом и состоит геометрический смысл производной. Т.е. из геометрического смысла получается, что если существует производная в точке х₀, то можно провести касательную к графику функции в этой точке.

Приложение 2 (продолжение)

Карточка-памятка №1

Физический смысл производной

Скорость – это производная координаты по времени:

v(t) = s'(t) (7)

В этом и состоит физический смысл производной.

Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:

a = v’(t) (8)

Физический смысл производной – это скорость изменения расстояния: s'(t) = v(t).

Приложение 3

Карточка-памятка №2

Случаи существования производной или ее отсутствия

1	Если касательная к графику функции будет убывающей, то каким будет угол между этой прямой и осью Ох?	Угол будет тупым.
1	Каким будет угловой коэффициент k?	k
2	Если касательная к графику функции будет возрастающей, то каким будет угол между этой прямой и осью Ох?	Угол будет острым.
2	Каким будет угловой коэффициент k?	k 0
3	Если касательная к графику функции будет параллельна оси Ох или совпадать с ней, то каким будет угол между этой прямой и осью Ох?	Угла не будет, вернее α = 0º.
	Чему равен тангенс угла наклона такой касательной?	tg 0º = 0
	Чему равен угловой коэффициент k касательной, параллельной оси Ох?	Также не существует!
4	Если касательная к графику функции будет перпендикулярна оси Ох, то каким будет угол между этой прямой и осью Ох?
	Чему равен угол наклона вертикальной касательной?	α = 90º
	Чему равен тангенс угла наклона вертикальной касательной?	tg 90º не существует. Почему? Потому, что cos 90º = 0
	Чему равен угловой коэффициент k вертикальной касательной?	Также не существует!

Приложение 4

Математики.

Задача 1. Пусть дан график y = f(x).

Рассмотрим точку М₀ с абсциссой x₀.

Пусть ∆х – это изменение абсциссы от точки x₀до х, т.е. ∆х = х–x₀, M₀М – секущая, M₀N – касательная.

Найдите:

а) угловой коэффициент секущей (это средняя скорость изменения функции);

б) угловой коэффициент касательной (подсказка: касательная – это предельное положение секущей).

Решение: f(x) – заданная функция, ∆х = х – x₀– изменение абсциссы от точки x₀ до х:

v_ср =.

В нашем случае: k_сек =

При х→х₀(или ∆х → 0) будет f(x) → f(x₀), следовательно, M₀М → M₀N.

Тогда: k_кас = .

Ответ: k_сек = ; k_кас = .

Приложение 4 (продолжение)

Физики.

Задача 2. Рассмотрим движение материальной точки М по прямой с выбранным на ней началом отсчета – точкой О. Расстояние от начала отсчета до точки М в каждый момент времени t обозначим буквой s. Тогда движение точки М будет описываться функцией: s = s(t), t[t₀; t].

Найдите:

а) среднюю скорость за отрезок [t₀; t];

б) скорость точки в момент времени t₀ (мгновенную скорость).

Решение: За промежуток времени длительности t - t₀ между моментами времени t₀и t точка проходит путь равный: s(t) – s(t₀).

Среднюю скорость получают, разделив перемещение материальной точки s на изменение времени, в течение которого оно совершено.

Тогда: v_ср = ;

Чем меньше рассматриваемый промежуток времени, тем точнее можно охарактеризовать движение. А мгновенной скоростью называется предел средней скорости за промежуток времени от t₀до t при t→ t_0.

Тогда: