![Формула Бернулли Беляева Т.Ю. ГБПОУ КК«АМТ» г. Армавир Преподаватель математики](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2dddada1d/img_phpkEn5JW_formula-Bernulli_0.jpg)
Формула Бернулли
Беляева Т.Ю. ГБПОУ КК«АМТ» г. Армавир Преподаватель математики
![Один из основателей теории вероятностей и математического анализа Иностранный член Парижской Академии наук (1699) и Берлинской академии наук (1701)](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2dddada1d/img_phpkEn5JW_formula-Bernulli_1.jpg)
- Один из основателей теории вероятностей и математического анализа
- Иностранный член Парижской Академии наук (1699) и Берлинской академии наук (1701)
- Старший брат Иоганна Бернулли ( самый знаменитый представитель семейства Бернулли )
Якоб Бернулли (1654 – 1705)
швейцарский математик
![Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность того, что произойдет событие А, равна р , а следовательно, вероятность того, что оно не произойдет, равна q = 1 - p . Требуется найти вероятность того, что при п последовательных испытаниях событие А произойдет ровно т раз. Искомую вероятность обозначим р п ( т ) .](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2dddada1d/img_phpkEn5JW_formula-Bernulli_2.jpg)
Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность того, что произойдет событие А, равна р , а следовательно, вероятность того, что оно не произойдет, равна q = 1 - p .
Требуется найти вероятность того, что при п последовательных испытаниях событие А произойдет ровно т раз.
Искомую вероятность обозначим р п ( т ) .
![Схема Бернулли Очевидно, что р 1 (1) = p, р 1 (0) = q р 1 (1) + р 1 (0) = p + q = 1](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2dddada1d/img_phpkEn5JW_formula-Bernulli_3.jpg)
Схема Бернулли
Очевидно, что
р 1 (1) = p, р 1 (0) = q
р 1 (1) + р 1 (0) = p + q = 1
![Схема Бернулли При двух испытаниях: возможны 4 исхода: Итак: р 2 (2) = р 2 ; р 2 (1) = 2р·q; р 2 (0) = q 2 р 2 (2) + р 2 (1) + р 2 (0) = (p + q) 2 = 1](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2dddada1d/img_phpkEn5JW_formula-Bernulli_4.jpg)
Схема Бернулли
- При двух испытаниях:
возможны 4 исхода:
Итак:
р 2 (2) = р 2 ; р 2 (1) = 2р·q; р 2 (0) = q 2
р 2 (2) + р 2 (1) + р 2 (0) = (p + q) 2 = 1
![Схема Бернулли При трех испытаниях: возможны 8 исходов: Получаем: р 3 (3) = р 3 р 3 (2) = 3р 2 ·q р 3 (1) = 3pq 2 р 3 (0) = q 3 р 3 (3) + р 3 (2) + р 3 (1) + р 3 (0) = (p + q) 3 = 1](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2dddada1d/img_phpkEn5JW_formula-Bernulli_5.jpg)
Схема Бернулли
- При трех испытаниях:
возможны 8 исходов:
Получаем:
р 3 (3) = р 3
р 3 (2) = 3р 2 ·q
р 3 (1) = 3pq 2
р 3 (0) = q 3
р 3 (3) + р 3 (2) + р 3 (1) + р 3 (0) = (p + q) 3 = 1
![Схема Бернулли](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2dddada1d/img_phpkEn5JW_formula-Bernulli_6.jpg)
Схема Бернулли
![Задача 1. Монету бросают 8 раз. Какова вероятность, что 4 раза выпадет «герб»?](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2dddada1d/img_phpkEn5JW_formula-Bernulli_7.jpg)
Задача 1.
Монету бросают 8 раз. Какова вероятность, что 4 раза выпадет «герб»?
![Задача 2. В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращался в урну перед извлечением следующего шара. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет 2 белых.](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2dddada1d/img_phpkEn5JW_formula-Bernulli_8.jpg)
Задача 2.
В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращался в урну перед извлечением следующего шара. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет 2 белых.
![Формулы для нахождения вероятность того, что в п испытаниях событие наступит : а) менее т раз р п (0) + … + р п (т-1) б) более т раз р п (т+1) + … + р п (п) в) не более т раз р п (0) + … + р п (т) г) не менее т раз р п (т) + … + р п (п)](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2dddada1d/img_phpkEn5JW_formula-Bernulli_9.jpg)
Формулы для нахождения вероятность того, что в п испытаниях событие наступит :
а) менее т раз
р п (0) + … + р п (т-1)
б) более т раз
р п (т+1) + … + р п (п)
в) не более т раз
р п (0) + … + р п (т)
г) не менее т раз
р п (т) + … + р п (п)
![Задача 3. Вероятность изготовления на станке-автомате нестандартной детали равна 0,02. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых шести деталей окажутся более 4-х стандартных. Событие А — « более 4-х стандартных деталей » (5 или 6) означает « не более 1 –й бракованной детали » (0 или 1)](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2dddada1d/img_phpkEn5JW_formula-Bernulli_10.jpg)
Задача 3.
Вероятность изготовления на станке-автомате нестандартной детали равна 0,02. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых шести деталей окажутся более 4-х стандартных.
Событие А — « более 4-х стандартных деталей » (5 или 6) означает
« не более 1 –й бракованной детали » (0 или 1)
![Пусть производится п независимых испытаний. При каждом таком испытании событие А может произойти или не произойти. Известна вероятность появления события А. Требуется найти такое число μ (0, 1, …, n), для которого вероятность Р n (μ) будет наибольшей.](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2dddada1d/img_phpkEn5JW_formula-Bernulli_11.jpg)
Пусть производится п независимых испытаний. При каждом таком испытании событие А может произойти или не произойти. Известна вероятность появления события А.
Требуется найти такое число μ (0, 1, …, n), для которого вероятность Р n (μ) будет наибольшей.
![μ – наивероятнейшее число наступления события](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2dddada1d/img_phpkEn5JW_formula-Bernulli_12.jpg)
μ – наивероятнейшее число наступления события
![Задача 4. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 31%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случае отбора партии из 75 изделий? По условию: n = 75, p = 0,31, q = 1 - 0,31 = 0,69](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2dddada1d/img_phpkEn5JW_formula-Bernulli_13.jpg)
Задача 4.
Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 31%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случае отбора партии из 75 изделий?
По условию: n = 75, p = 0,31, q = 1 - 0,31 = 0,69
![Задача 5.](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2dddada1d/img_phpkEn5JW_formula-Bernulli_14.jpg)
Задача 5.
![Задача 6. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность промаха при одном выстреле для первого стрелка равна 0,2, а для второго – 0,4. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых не будет ни одного попадания в мишень, если стрелки произведут 25 залпов. По условию: n = 25, p = 0,2·0,4 = 0,08, q = 0,92](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2dddada1d/img_phpkEn5JW_formula-Bernulli_15.jpg)
Задача 6.
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность промаха при одном выстреле для первого стрелка равна 0,2, а для второго – 0,4. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых не будет ни одного попадания в мишень, если стрелки произведут 25 залпов.
По условию: n = 25, p = 0,2·0,4 = 0,08, q = 0,92