«Весна — лето 2024»

Презентация "Формула Бернулли"

В презентации разобрана схема Бернулли, приводящая к формуле, носящей его имя, а также формула, позволяющая находить наивероятнейшее число наступления события.

Олимпиады: Математика 1 - 11 классы

Содержимое разработки

Формула Бернулли Беляева Т.Ю.  ГБПОУ КК«АМТ» г. Армавир  Преподаватель математики

Формула Бернулли

Беляева Т.Ю. ГБПОУ КК«АМТ» г. Армавир Преподаватель математики

Один из основателей теории вероятностей и математического анализа Иностранный член Парижской Академии наук (1699) и Берлинской академии наук (1701)
  • Один из основателей теории вероятностей и математического анализа
  • Иностранный член Парижской Академии наук (1699) и Берлинской академии наук (1701)

- Старший брат Иоганна Бернулли ( самый знаменитый представитель  семейства Бернулли )

Якоб Бернулли (1654 – 1705)

швейцарский математик

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность того, что произойдет событие А, равна р , а следовательно, вероятность того, что оно не произойдет, равна q = 1 - p . Требуется найти вероятность того, что при п последовательных испытаниях событие А произойдет ровно т раз. Искомую вероятность обозначим р п ( т ) .

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность того, что произойдет событие А, равна р , а следовательно, вероятность того, что оно не произойдет, равна q = 1 - p .

Требуется найти вероятность того, что при п последовательных испытаниях событие А произойдет ровно т раз.

Искомую вероятность обозначим р п ( т ) .

Схема Бернулли Очевидно, что р 1 (1) = p, р 1 (0) = q р 1 (1) + р 1 (0) = p + q = 1

Схема Бернулли

Очевидно, что

р 1 (1) = p, р 1 (0) = q

р 1 (1) + р 1 (0) = p + q = 1

Схема Бернулли При двух испытаниях: возможны 4 исхода: Итак: р 2 (2) = р 2 ; р 2 (1) = 2р·q; р 2 (0) = q 2 р 2 (2) + р 2 (1) + р 2 (0) = (p + q) 2 = 1

Схема Бернулли

  • При двух испытаниях:

возможны 4 исхода:

Итак:

р 2 (2) = р 2 ; р 2 (1) = 2р·q; р 2 (0) = q 2

р 2 (2) + р 2 (1) + р 2 (0) = (p + q) 2 = 1

Схема Бернулли При трех испытаниях: возможны 8 исходов: Получаем: р 3 (3) = р 3 р 3 (2) = 3р 2 ·q р 3 (1) = 3pq 2 р 3 (0) = q 3 р 3 (3) + р 3 (2) + р 3 (1) + р 3 (0) = (p + q) 3 = 1

Схема Бернулли

  • При трех испытаниях:

возможны 8 исходов:

Получаем:

р 3 (3) = р 3

р 3 (2) = 3р 2 ·q

р 3 (1) = 3pq 2

р 3 (0) = q 3

р 3 (3) + р 3 (2) + р 3 (1) + р 3 (0) = (p + q) 3 = 1

Схема Бернулли

Схема Бернулли

Задача 1. Монету бросают 8 раз. Какова вероятность, что 4 раза выпадет «герб»?

Задача 1.

Монету бросают 8 раз. Какова вероятность, что 4 раза выпадет «герб»?

Задача 2. В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращался в урну перед извлечением следующего шара. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет 2 белых.

Задача 2.

В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращался в урну перед извлечением следующего шара. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет 2 белых.

Формулы для нахождения вероятность того, что в  п  испытаниях событие наступит : а) менее т раз  р п (0) + … + р п (т-1) б) более т раз  р п (т+1) + … + р п (п) в) не более т раз  р п (0) + … + р п (т) г) не менее т раз р п (т) + … + р п (п)

Формулы для нахождения вероятность того, что в п испытаниях событие наступит :

а) менее т раз

р п (0) + … + р п (т-1)

б) более т раз

р п (т+1) + … + р п (п)

в) не более т раз

р п (0) + … + р п (т)

г) не менее т раз

р п (т) + … + р п (п)

Задача 3. Вероятность изготовления на станке-автомате нестандартной детали равна 0,02. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых шести деталей окажутся более 4-х стандартных. Событие А — « более 4-х стандартных деталей »  (5 или 6) означает « не более 1 –й бракованной детали » (0 или 1)

Задача 3.

Вероятность изготовления на станке-автомате нестандартной детали равна 0,02. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых шести деталей окажутся более 4-х стандартных.

Событие А « более 4-х стандартных деталей » (5 или 6) означает

« не более 1 –й бракованной детали » (0 или 1)

Пусть производится п независимых испытаний. При каждом таком испытании событие А может произойти или не произойти. Известна вероятность появления события А.  Требуется найти такое число μ (0, 1, …, n), для которого вероятность Р n (μ) будет наибольшей.

Пусть производится п независимых испытаний. При каждом таком испытании событие А может произойти или не произойти. Известна вероятность появления события А.

Требуется найти такое число μ (0, 1, …, n), для которого вероятность Р n (μ) будет наибольшей.

μ – наивероятнейшее число наступления события

μ – наивероятнейшее число наступления события

Задача 4. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 31%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случае отбора партии из 75 изделий? По условию: n = 75, p = 0,31, q = 1 - 0,31 = 0,69

Задача 4.

Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 31%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случае отбора партии из 75 изделий?

По условию: n = 75, p = 0,31, q = 1 - 0,31 = 0,69

Задача 5.

Задача 5.

Задача 6. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность промаха при одном выстреле для первого стрелка равна 0,2, а для второго – 0,4. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых не будет ни одного попадания в мишень, если стрелки произведут 25 залпов. По условию: n = 25, p = 0,2·0,4 = 0,08, q = 0,92

Задача 6.

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность промаха при одном выстреле для первого стрелка равна 0,2, а для второго – 0,4. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых не будет ни одного попадания в мишень, если стрелки произведут 25 залпов.

По условию: n = 25, p = 0,2·0,4 = 0,08, q = 0,92

Получите свидетельство о публикации сразу после загрузки работы



Получите бесплатно свидетельство о публикации сразу после добавления разработки


Серия олимпиад «Весна — лето 2024»



Комплекты учителю



Качественные видеоуроки, тесты и практикумы для вашей удобной работы

Подробнее

Вебинары для учителей



Бесплатное участие и возможность получить свидетельство об участии в вебинаре.


Подробнее