Формула Бернулли
Беляева Т.Ю. ГБПОУ КК«АМТ» г. Армавир Преподаватель математики
- Один из основателей теории вероятностей и математического анализа
- Иностранный член Парижской Академии наук (1699) и Берлинской академии наук (1701)
- Старший брат Иоганна Бернулли ( самый знаменитый представитель семейства Бернулли )
Якоб Бернулли (1654 – 1705)
швейцарский математик
Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность того, что произойдет событие А, равна р , а следовательно, вероятность того, что оно не произойдет, равна q = 1 - p .
Требуется найти вероятность того, что при п последовательных испытаниях событие А произойдет ровно т раз.
Искомую вероятность обозначим р п ( т ) .
Схема Бернулли
Очевидно, что
р 1 (1) = p, р 1 (0) = q
р 1 (1) + р 1 (0) = p + q = 1
Схема Бернулли
- При двух испытаниях:
возможны 4 исхода:
Итак:
р 2 (2) = р 2 ; р 2 (1) = 2р·q; р 2 (0) = q 2
р 2 (2) + р 2 (1) + р 2 (0) = (p + q) 2 = 1
Схема Бернулли
- При трех испытаниях:
возможны 8 исходов:
Получаем:
р 3 (3) = р 3
р 3 (2) = 3р 2 ·q
р 3 (1) = 3pq 2
р 3 (0) = q 3
р 3 (3) + р 3 (2) + р 3 (1) + р 3 (0) = (p + q) 3 = 1
Схема Бернулли
Задача 1.
Монету бросают 8 раз. Какова вероятность, что 4 раза выпадет «герб»?
Задача 2.
В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращался в урну перед извлечением следующего шара. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет 2 белых.
Формулы для нахождения вероятность того, что в п испытаниях событие наступит :
а) менее т раз
р п (0) + … + р п (т-1)
б) более т раз
р п (т+1) + … + р п (п)
в) не более т раз
р п (0) + … + р п (т)
г) не менее т раз
р п (т) + … + р п (п)
Задача 3.
Вероятность изготовления на станке-автомате нестандартной детали равна 0,02. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых шести деталей окажутся более 4-х стандартных.
Событие А — « более 4-х стандартных деталей » (5 или 6) означает
« не более 1 –й бракованной детали » (0 или 1)
Пусть производится п независимых испытаний. При каждом таком испытании событие А может произойти или не произойти. Известна вероятность появления события А.
Требуется найти такое число μ (0, 1, …, n), для которого вероятность Р n (μ) будет наибольшей.
μ – наивероятнейшее число наступления события
Задача 4.
Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 31%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случае отбора партии из 75 изделий?
По условию: n = 75, p = 0,31, q = 1 - 0,31 = 0,69
Задача 5.
Задача 6.
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность промаха при одном выстреле для первого стрелка равна 0,2, а для второго – 0,4. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых не будет ни одного попадания в мишень, если стрелки произведут 25 залпов.
По условию: n = 25, p = 0,2·0,4 = 0,08, q = 0,92
