- Что есть больше всего на свете? – Пространство.
- Что быстрее всего? – Ум.
- Что мудрее всего? – Время .
- Что приятнее всего? – Достичь желаемого.
Фалес Милетский .
Пропорциональные отрезки
АВ
С D
А 1 В 1
C 1 D 1
Отрезки АВ и С D пропорциональны отрезкам А 1 В 1 и С 1 D 1 ,
если
=
Пример
1,5
3
1
2
Отрезки АВ и С D пропорциональны отрезкам А 1 В 1 и С 1 D 1 ,
=
Понятие пропорциональности вводится и для большего числа отрезков.
Отрезки
АВ, С D и EF пропорциональны отрезкам А 1 В 1 , С 1 D 1 и E 1 F 1 ,
если
E 1 F 1
EF
C 1 D 1
А 1 В 1
С D
АВ
=
=
В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными.
Подобными являются любые два круга, два квадрата.
Назвать подобные треугольники. По какому признаку они подобны?
А
D
N
Т
М
20
18
10
6
22
L
K
O
С
Q
30
Е
В
9
18
10
S
R
P
11
F
Пусть у двух треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 углы соответственно равны
В
В 1
А
С
С 1
А 1
В этом случае стороны АВ и А 1 В 1 , ВС и В 1 С 1 , СА и С 1 А 1 называются сходственными.
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника соответственно пропорциональны сходственным сторонам другого.
В
В 1
А
С
А 1
С 1
Число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.
= k
ABC
A 1 B 1 C 1
В 1
В
А
С
С 1
А 1
12
ABC
ORV
Дано:
Найти все углы треугольников
В
O
V
8 0 0
3 1 0
69
69 0
3 1 0
А
С
8 0 0
R
13
Найти неизвестные стороны и углы подобных треугольников.
ABC
А 1 В 1 С 1
Дано:
В
В 1
70 0
70 0
4
10
43 0
6
43 0
67 0
15
А
С
12
67 0
А 1
С 1
18
14
NMF
ABC
Доказать:
Верно
В
N
32
F
81 0
60 0
39 0
4
6
24
16
60 0
39 0
А
С
8
81 0
М
15
- Чему равно отношение площадей треугольников, имеющих равные углы?
Треугольники с равными углами
Треугольники с равными углами
Признак подобия треугольников по двум углам
- Докажите, что треугольники подобны и укажите их сходственные стороны
Признак подобия треугольников по двум углам
- Докажите, что треугольники подобны и укажите их сходственные стороны
1 задача
Подобны ли треугольники?
Е
B
3,5
4
Верно
=
7
40 0
8
40 0
4см
3,5см
FEK A ВС
по 2 признаку
8см
7 см
К
F
С.М. Саврасова, Г.А. Ястребинецкий «Упражнения по планиметрии на готовых чертежах»
С
A
23
Подобны ли треугольники?
2 задача
B
5
5
Верно
=
10
10
M
40 0
40 0
10 см
KML ABC
по 2 признаку
5см
10 см
5 см
7 0 0
C
С.М. Саврасова, Г.А. Ястребинецкий «Упражнения по планиметрии на готовых чертежах»
L
K
A
24
Реши задачу
1.
Являются ли треугольники подобными ?
R
T
N
S
D
F
Реши задачу
2.
Являются ли треугольники подобными ?
В
Р
М
68 0
А
С
22 0
К
Реши задачу
3.
Являются ли треугольники подобными ?
А
В
М
Е
С
Реши задачу
4 .
Назови подобные треугольники и сходственные стороны в них :
FN RS
N
F
A
R
S
Реши задачу
5.
Назови подобные треугольники и сходственные стороны в них :
D
HZ CK
H
Z
K
C
Реши задачу
6 .
Назови подобные треугольники и сходственные стороны в них :
L
N
V
Q
F
FLNQ – трапеция .
Реши задачу
7 .
Е
6
К
В
5
С
?
3
А
Реши задачу
8 .
x
7
5
14
Реши задачу
9 .
Х
М
12
?
12
4
Р
О
Н
Реши задачу
10 .
3
АО
В
2
СО
С
9
О
?
А
У
Реши задачу
11 .
В
АВ СУ
С
2,5
?
1,4
О
10
У
А
Блиц-опрос
Найдите: х, у, z.
ABC
А 1 В 1 С 1
Дано:
В
В 1
7 см
6 см
12 см
у
14 см
х
С.М. Саврасова, Г.А. Ястребинецкий «Упражнения по планиметрии на готовых чертежах»
А
С
8 см
С 1
z
16 см
А 1
36
Блиц-опрос
А 1 В 1 С 1
ABC
Найдите: х, у, z.
Дано:
В
В 1
10,5 см
у
9 см
х
18 см
21 см
С.М. Саврасова, Г.А. Ястребинецкий «Упражнения по планиметрии на готовых чертежах»
А
С
z
12 см
С 1
24 см
А 1
37
Блиц-опрос
Найдите: х, у .
ABC
А 1 В 1 С 1
Дано:
В
В 1
6 см
7 см
21 см
х
18 см
А
С
8 см
С.М. Саврасова, Г.А. Ястребинецкий «Упражнения по планиметрии на готовых чертежах»
С 1
А 1
у
24 см
38
Блиц-опрос
ABC
Найдите: х, у .
А 1 В 1 С 1
Дано:
В 1
В
6 см
х
12 см
у
7 см
14 см
А
8 см
С.М. Саврасова, Г.А. Ястребинецкий «Упражнения по планиметрии на готовых чертежах»
А 1
С
16 см
С 1
39
Блиц-опрос
ABC
Найдите: х, у .
А 1 В 1 С 1
Дано:
В 1
В
6 см
х
12 см
7 см
14 см
С.М. Саврасова, Г.А. Ястребинецкий «Упражнения по планиметрии на готовых чертежах»
А
8 см
С
А 1
у
16 см
С 1
40
Блиц-опрос
ABC
А 1 В 1 С 1
Дано:
Найдите: х, у ,z.
В
В 1
6 см
7 см
y
35 см
х
30 см
А
С
8 см
С 1
z
А 1
40 см
41
№ 551 (а)
- СЕ F = AED ( вертикальные),
С FE = EAD ( накрестлежащие при параллельных прямых),
I пр.
АЕ D F ЕС
опр.
?
В
С
F
7
4
?
Е
10
8
D
А
Ответ: FC = 3 ,5 см,
F Е = 5 см.
№ 551(б)
На стороне С D параллелограмма
ABCD отмечена точка Е. Прямые АЕ и ВС пересекаются в точке F .
Найдите D Е и ЕС , если АВ = 8 см, AD= 5 см, CF=2 см
Решение задач
Найдите высоту ели АВ если:
Высота колышка ab = 10 м
Тень ели ВС =45м
Тень шеста bc= 15м
Решение:
АВС ~ abc (объясните почему)
АВ ВС
ab bc
AB 45
10 15
AB= 30м
Ответ:
Высота ели AB= 30м
=
=
Найдите высоту скалы АА1, если расстояние от скалы до шеста А1В1=20м
Длина шеста ВВ1= 2м
Расстояние от шеста до точки наблюдения С В1С= 4м
Решение:
Ответ: Высота скалы равна 12м
А
А1
В
2
20
В1
С
4
Пример задачи № 17 из модуля «Реальная математика» ГИА по математике Сосна высотой 2 м отбрасывает тень длиной 3 м. Найдите рост человека (в метрах), стоящего около сосны, если длина его тени равна 0,4 м
Пример задачи № 17 из модуля «Реальная математика» ГИА по математике
На сколько метров поднимется прикреплённый к колодезному журавлю конец верёвки, если человек опустил короткий конец журавля на 80 см? Плечи журавля составляют 2 м и
6 м.
- Подумайте и скажите, какие величины необходимо знать для нахождения высоты ели?
- Составьте пропорцию для её нахождения;
- Решите задачу.
Чтобы найти ширину реки АВ необходимо поставить колышек С на продолжение АВ, вдоль берега отмерить на прямой CF перпендикулярной АС, расстояние одно в несколько раз меньше другого. Например : отмеряют FE в четыре раза меньше ЕС. По направлению F G , перпендикулярному к FD отыскивают точку Н из которой точка Е перекрывает точку А . Треугольники АСЕ и EFH подобны (объясните почему). Из подобия треугольников следует пропорция AC:FH=CE:EF=4:1 .
Значит, измерив FH, можно узнать искомую ширину реки.
Дано:
CE:EF=4:1 FH=6 м , BC=4 м
Найти: АВ.
Ответ: 20 м .
Решение задачи на конкретном примере
- Измерим высоту ели с помощью полученных знаний о подобных треугольниках. Для этого сделаем следующее: выйдем на местность, выберем объект измерения, в нашем случае ель, на некотором расстоянии от неё установим шест, в нашем случае Ксюшу = D , и сфотографируем. Затем измерим расстояние от объекта до шеста. Но для измерения нам необходимо знать не только эту величину. Нам так же потребуется знать расстояние от Ксении до пересечения гипотенузы с землёй.
- Дано:
- Дано:
СС1- 8м, расстояние от ели до Ксюши(шеста)
АС-1,5м, рост Ксюши
ВС- 1 м, расстояние от Ксюши до точки пересечения гипотенузы с землёй.
- СС1- 8м, расстояние от ели до Ксюши(шеста) АС-1,5м, рост Ксюши ВС- 1 м, расстояние от Ксюши до точки пересечения гипотенузы с землёй.
- Найти:
- Найти:
А1С1- высота ели.
- А1С1- высота ели.
- Решение:
- Решение:
А1С1=
А1
?
А
С1
С
В
АС*ВС₁ 1,5*9
13,5
=
=
ВС 1
Ответ: высота ели = 13,5м
