Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
В
А
С
Составила учитель математики
МОУ СОШ №1 Базакина А.В.
─ Научиться решать прямоугольные треугольники, используя определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса острого угла
Ход урока:
Вопросы для учащихся:
- Какой треугольник называется прямоугольным?
- Как называются стороны треугольника?
А
в с
С а В
Разбираем новые понятия:
- Прилежащий угол
- Противолежащий угол
- Прилежащий катет
- Противолежащий катет
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
В
АВ – гипотенуза
ВС – катет, противолежащий углу А
АС – катет, прилежащий углу А
С
А
Синус , косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
В
С
А
Синус , косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
В
С
А
Синус , косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
В
С
А
Тригонометрические тождества
- Основное тригонометрическое тождество:
2) Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
Значения синуса, косинуса и тангенса угла 30 ° .
Так как катет, лежащий против угла 30 ° , равен половине гипотенузы, то
Но
Значит,
Из основного тригонометрического тождества получаем
По 2-му тождеству находим
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС:
ﮮ А=30 ° , ﮮ В=60 °
В
60 °
30 °
А
С
Значения синуса, косинуса и тангенса угла 60 ° .
Так как катет, лежащий против угла 30 ° , равен половине гипотенузы, то
Или
Значит,
Из основного тригонометрического тождества получаем
По 2-му тождеству находим
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС:
ﮮ А=30 ° , ﮮ В=60 °
В
60 °
30 °
А
С
Значения синуса, косинуса и тангенса угла 45 ° .
По теореме Пифагора
АВ 2 = АС 2 + ВС 2 = 2 АС 2 = 2 ВС 2 ,
откуда
Следовательно,
Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АВС: АС=ВС,
ﮮ А=45 ° , ﮮ В=45 °
В
45 °
45 °
А
С
Задание:
Найти sinB , cosB , tgB.
А
№ 1
с
в
а
С
В
N
№ 2
Записать:
sin M=
cos M=
tg M=
K
M
Прямоугольный треугольник имеет широкое применение в повседневной жизни – многие геометрические и практические задачи сводятся к вычислению элементов прямоугольного треугольника, другими словами к решению прямоугольного треугольника. Треугольник определяется двумя элементами. В прямоугольном треугольнике один из углов прямой, то такой треугольник определяется двумя элементами.
ЗАДАНИЕ:
Опишите возможные случаи задания прямоугольного треугольника по двум элементам.
Решение прямоугольных треугольников.
1.По двум катетам.
2.По катету и гипотенузе.
3.По гипотенузе и острому углу.
4.По катету и противолежащему углу
5.По катету и прилежащему острому углу
По двум катетам
По катету и гипотенузе
По гипотенузе и острому углу
По катету и противолежащему углу
По катету и прилежащему острому углу
А
А
А
А
А
В
С
С
С
С
С
В
В
В
В
УголВ=90º-уголА
Угол В=90º-угол А
УголА=90º-уголВ
УголВ=90º-уголА
УголВ=90º-уголА
Надо найти ошибку
Дано: треугольник АВС,
С=90º, а,
А
А
Найти: в, с,
с
в
1.
┐
а
В
С
2.
3.
По катету противолежащему углу .
Дано:
Треугольник АВС, в,
В
Найти
А, с, а.
А
Решение:
1...=
с
2…=
в
3…=
┐
В
С
а
Для чего нам нужна данная тема?
─ С помощью линейки мы можем вычислить углы прямоугольного треугольника.
─ Построить прямоугольный треугольник.
─ Решить прямоугольный треугольник
Тест I
«Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника»
Установите, истины или ложны следующие высказывания
М
С
2)
1)
N
В
А
АС- катет, прилежащий к
А
S
S
MN катет, противолежащий к
3) Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
4) Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
5) Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета с гипотенузой.
A
K
7)
6)
5
4
B
M
A
C
3
Основные тождества
sin α + cos α = 1
tg α=
ctg α∙tg α=1
ct g α=
1+ctg 2 α=
ctg α=
1+tg 2 α=
