![Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника В А С Составила учитель математики МОУ СОШ №1 Базакина А.В.](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_0.jpg)
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
В
А
С
Составила учитель математики
МОУ СОШ №1 Базакина А.В.
![─ Научиться решать прямоугольные треугольники, используя определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса острого угла](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_1.jpg)
─ Научиться решать прямоугольные треугольники, используя определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса острого угла
![Ход урока: Вопросы для учащихся: Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются стороны треугольника? А в с С а В Разбираем новые понятия:](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_2.jpg)
Ход урока:
Вопросы для учащихся:
- Какой треугольник называется прямоугольным?
- Как называются стороны треугольника?
А
в с
С а В
Разбираем новые понятия:
- Прилежащий угол
- Противолежащий угол
- Прилежащий катет
- Противолежащий катет
![Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника В АВ – гипотенуза ВС – катет, противолежащий углу А АС – катет, прилежащий углу А С А](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_3.jpg)
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
В
АВ – гипотенуза
ВС – катет, противолежащий углу А
АС – катет, прилежащий углу А
С
А
![Синус , косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. В С А](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_4.jpg)
Синус , косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
В
С
А
![Синус , косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. В С А](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_5.jpg)
Синус , косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
В
С
А
![Синус , косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. В С А](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_6.jpg)
Синус , косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
В
С
А
![Тригонометрические тождества Основное тригонометрическое тождество: 2) Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_7.jpg)
Тригонометрические тождества
- Основное тригонометрическое тождество:
2) Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
![Значения синуса, косинуса и тангенса угла 30 ° . Так как катет, лежащий против угла 30 ° , равен половине гипотенузы, то Но Значит, Из основного тригонометрического тождества получаем По 2-му тождеству находим Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС: ﮮ А=30 ° , ﮮ В=60 ° В 60 ° 30 ° А С](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_8.jpg)
Значения синуса, косинуса и тангенса угла 30 ° .
Так как катет, лежащий против угла 30 ° , равен половине гипотенузы, то
Но
Значит,
Из основного тригонометрического тождества получаем
По 2-му тождеству находим
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС:
ﮮ А=30 ° , ﮮ В=60 °
В
60 °
30 °
А
С
![Значения синуса, косинуса и тангенса угла 60 ° . Так как катет, лежащий против угла 30 ° , равен половине гипотенузы, то Или Значит, Из основного тригонометрического тождества получаем По 2-му тождеству находим Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС: ﮮ А=30 ° , ﮮ В=60 ° В 60 ° 30 ° А С](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_9.jpg)
Значения синуса, косинуса и тангенса угла 60 ° .
Так как катет, лежащий против угла 30 ° , равен половине гипотенузы, то
Или
Значит,
Из основного тригонометрического тождества получаем
По 2-му тождеству находим
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС:
ﮮ А=30 ° , ﮮ В=60 °
В
60 °
30 °
А
С
![Значения синуса, косинуса и тангенса угла 45 ° . По теореме Пифагора АВ 2 = АС 2 + ВС 2 = 2 АС 2 = 2 ВС 2 , откуда Следовательно, Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АВС: АС=ВС, ﮮ А=45 ° , ﮮ В=45 ° В 45 ° 45 ° А С](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_10.jpg)
Значения синуса, косинуса и тангенса угла 45 ° .
По теореме Пифагора
АВ 2 = АС 2 + ВС 2 = 2 АС 2 = 2 ВС 2 ,
откуда
Следовательно,
Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АВС: АС=ВС,
ﮮ А=45 ° , ﮮ В=45 °
В
45 °
45 °
А
С
![Задание: Найти sinB , cosB , tgB. А № 1 с в а С В N № 2 Записать: sin M= cos M= tg M= K M](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_11.jpg)
Задание:
Найти sinB , cosB , tgB.
А
№ 1
с
в
а
С
В
N
№ 2
Записать:
sin M=
cos M=
tg M=
K
M
![Прямоугольный треугольник имеет широкое применение в повседневной жизни – многие геометрические и практические задачи сводятся к вычислению элементов прямоугольного треугольника, другими словами к решению прямоугольного треугольника. Треугольник определяется двумя элементами. В прямоугольном треугольнике один из углов прямой, то такой треугольник определяется двумя элементами. ЗАДАНИЕ: Опишите возможные случаи задания прямоугольного треугольника по двум элементам.](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_12.jpg)
Прямоугольный треугольник имеет широкое применение в повседневной жизни – многие геометрические и практические задачи сводятся к вычислению элементов прямоугольного треугольника, другими словами к решению прямоугольного треугольника. Треугольник определяется двумя элементами. В прямоугольном треугольнике один из углов прямой, то такой треугольник определяется двумя элементами.
ЗАДАНИЕ:
Опишите возможные случаи задания прямоугольного треугольника по двум элементам.
![Решение прямоугольных треугольников. 1.По двум катетам. 2.По катету и гипотенузе. 3.По гипотенузе и острому углу. 4.По катету и противолежащему углу 5.По катету и прилежащему острому углу](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_13.jpg)
Решение прямоугольных треугольников.
1.По двум катетам.
2.По катету и гипотенузе.
3.По гипотенузе и острому углу.
4.По катету и противолежащему углу
5.По катету и прилежащему острому углу
![По двум катетам По катету и гипотенузе По гипотенузе и острому углу По катету и противолежащему углу По катету и прилежащему острому углу А А А А А В С С С С С В В В В УголВ=90º-уголА Угол В=90º-угол А УголА=90º-уголВ УголВ=90º-уголА УголВ=90º-уголА](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_14.jpg)
По двум катетам
По катету и гипотенузе
По гипотенузе и острому углу
По катету и противолежащему углу
По катету и прилежащему острому углу
А
А
А
А
А
В
С
С
С
С
С
В
В
В
В
УголВ=90º-уголА
Угол В=90º-угол А
УголА=90º-уголВ
УголВ=90º-уголА
УголВ=90º-уголА
![Надо найти ошибку Дано: треугольник АВС, С=90º, а, А А Найти: в, с, с в 1. ┐ а В С 2. 3.](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_15.jpg)
Надо найти ошибку
Дано: треугольник АВС,
С=90º, а,
А
А
Найти: в, с,
с
в
1.
┐
а
В
С
2.
3.
![По катету противолежащему углу . Дано: Треугольник АВС, в, В Найти А, с, а. А Решение: 1...= с 2…= в 3…= ┐ В С а](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_16.jpg)
По катету противолежащему углу .
Дано:
Треугольник АВС, в,
В
Найти
А, с, а.
А
Решение:
1...=
с
2…=
в
3…=
┐
В
С
а
![Для чего нам нужна данная тема? ─ С помощью линейки мы можем вычислить углы прямоугольного треугольника. ─ Построить прямоугольный треугольник. ─ Решить прямоугольный треугольник](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_17.jpg)
Для чего нам нужна данная тема?
─ С помощью линейки мы можем вычислить углы прямоугольного треугольника.
─ Построить прямоугольный треугольник.
─ Решить прямоугольный треугольник
![Тест I «Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника» Установите, истины или ложны следующие высказывания М С 2) 1) N В А АС- катет, прилежащий к А S S MN катет, противолежащий к 3) Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. 4) Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему. 5) Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета с гипотенузой. A K 7) 6) 5 4 B M A C 3](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_18.jpg)
Тест I
«Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника»
Установите, истины или ложны следующие высказывания
М
С
2)
1)
N
В
А
АС- катет, прилежащий к
А
S
S
MN катет, противолежащий к
3) Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
4) Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
5) Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета с гипотенузой.
A
K
7)
6)
5
4
B
M
A
C
3
![Основные тождества sin α + cos α = 1 tg α= ctg α∙tg α=1 ct g α= 1+ctg 2 α= ctg α= 1+tg 2 α=](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_19.jpg)
Основные тождества
sin α + cos α = 1
tg α=
ctg α∙tg α=1
ct g α=
1+ctg 2 α=
ctg α=
1+tg 2 α=
![](http://fsd.intolimp.org/html/2018/05/14/i_5af9d89b93652/img_phpvQ0RJY_sootnoshenie-mezhdu-ugl-i-storon_20.jpg)