«Осень 2024»

«Решение линейных уравнений, систем уравнений и неравенств»

Разработка содержит практическую работу по теме "Решение линейных уравнений,систем уравнений и неравенств" для обучающихся СПО и НПО.Проводится при повторении основного материала.

Олимпиады: Математика 1 - 11 классы

Содержимое разработки

Практическая работа по теме: «Решение линейных уравнений, систем уравнений и неравенств»

Цель :

  1. Повторить знания обучающихся в теме: «Решение линейных уравнений, систем уравнений и неравенств».
  2. Закрепить умения и навыки решения линейных уравнений, систем уравнений и неравенств .

  3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности обучающихся.

Оборудование: рабочие тетради и тетради для практических работ, ручка, калькулятор.

Продолжительность: 1 час

Порядок выполнения:

  1. Ознакомиться с теоретическим материалом и решением примеров .

  2. Сделать краткий конспект теоретического материала в рабочих тетрадях (основные понятия, определения, формулы, примеры).

  3. В тетрадях для практических работ выполнить практическую работу .


Теоретические сведения:


Линейные уравнения.
Уравнение вида
 ax+ b=0, где a и b — некоторые постоянные, называется линейным уравнением.
Если a0, то линейное уравнение имеет единственный корень: x = .
Если a=0; b 0, то линейное уравнение решений не имеет.
Если a=0; b = 0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = -b, легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
При решении уравнений используются следующие свойства:
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получите уравнение, равносильные данному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Примеры решения уравнений

№ п/п

Пример

Решение

1

2x – 3 + 4(x – 1) = 5

Пос Последовательно раскроем скобки, приведём

подобные члены и найдём x:

2x – 3 + 4x – 4 = 5

2x + 4x = 5 + 4 + 3,
6x = 12

x = 2. Ответ: 2.

2

-8(11-2х)+40=3(5х-4)

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с х в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие х, в правую часть, получим:
16х-15х=88-40-12

х=36  Ответ: 36.

3

2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7

2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7

0x = – 6

Ответ:

4

2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1)+ 5

2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5
– 4x + 9 = 9 – 4x
-4x + 4x = 9 – 9
0x = 0 Ответ: Любое число.



Системы уравнений с двумя переменными
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что их нет.
При решении линейных систем используют метод подстановки и метод сложения.

Примеры решения систем уравнений


Пример

Решение



5

Для решения этой системы применим метод подстановки. Выразим из первого уравнения х и подставим это значение  во второе уравнение системы, получим :

Ответ: (2; 3).

6

Для решения этой системы применим метод сложения уравнений. 8х=16, х=2. Подставим значение х=2 в первое уравнение, получим 10-у=9, у=1.
Ответ: (2; 1).

7

Эта система равносильна одному уравнению 2х+у=5, т.к. второе уравнение получается из первого умножением на 3. Следовательно, ей удовлетворяет любая пара чисел (х; 5-2х). Система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: (х; 5-2х), х–любое.

8

Умножим первое уравнение на –2 и сложим

С со вторым уравнением, получим 0×х+0×у=-6. Этому у уравнению не удовлетворяет ни одна пара чисел. Сл Следовательно, эта система не имеет решений.
Ответ: система не имеет решений.



Линейные неравенства с одной переменной.

Линейным называется неравенство вида ax+b0 (соответственно ax+b 0, ax+b 0), где а и b – действительные числа, причем а0.
Неравенства решаются на основе следующих утверждений.
Теорема 1. Если какой-либо член неравенства с одной переменной перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 3. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.



Примеры решения неравенств


Пример

Решение

9

2(х-3)+5(1-х) 3(2х-5)

Раскрыв скобки, получим 2х-6+5-5х6х-15
-3х-1 6х-15

-9х -14

  Ответ: .

10

Освободимся от знаменателей, для чего умножим обе части неравенства на положительное число 6, оставив без изменения знак неравенства:

Далее последовательно получаем: 

Последнее неравенство верно при любом значении х, так как при любом значении переменной получается истинное

высказывание 0-55. Поэтому множеством его решений служит вся числовая прямая.
Ответ:


Система неравенств
Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему, если ставится задача найти множество общих решений заданных неравенств.
Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств.
Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих систему. Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой.

Пример решения систем неравенств


Пример

Решение

11

x

С помощью числовой прямой находим, что пересечением этих множеств служит интервал . Ответ: 











Варианты практической работы:

Вариант 1

Вариант 2

1.Решите уравнение

а)

б)

в)

г)

д)

2.Решите неравенство

а)

б)

3.Решите систему уравнений

а) методом сложения

б) методом подстановки

методом сложения

методом подстановки

4.Решите систему неравенств















Получите свидетельство о публикации сразу после загрузки работы



Получите бесплатно свидетельство о публикации сразу после добавления разработки


Серия олимпиад «Осень 2024»



Комплекты учителю



Качественные видеоуроки, тесты и практикумы для вашей удобной работы

Подробнее

Вебинары для учителей



Бесплатное участие и возможность получить свидетельство об участии в вебинаре.


Подробнее