Решение уравнений и неравенств методом минимакса (метод оценки)

10

«Открытый урок»

Валеева Вера Фёдоровна

,

Учитель математики МКОУ Черская средняя школа

Нижнеколымского района Республики Саха (Якутия)

Адрес: 678830 РС(Якутия)

Нижнеколымский район,

п. Черский,

ул. Дзержинского 2 кв 11.

Валеевой Вере Федоровне.

Тезисы.

В данной работе представлен один из способов решения нестандартных уравнений (метод оценки или метод мини-макса), являющихся необходимым условием для подготовки учеников средней школы к успешной сдаче ЕГЭ.

Математика. Подготовка к ЕГЭ

Решение уравнений и неравенств методом оценки.

Главный вопрос, на который надо ответить при решении уравнения: когда, при каком значении X, это равенство будет истинным? Поиски правильного ответа на этот вопрос при решении сложных уравнений требуют применения нестандартных приёмов. Одним из таких нестандартных методов решения уравнений является метод оценки, или метод мини-макса, или метод сравнения множеств значений.

Указания к применению метода оценки таковы:

1) Часто внешним признаком, побуждающим использовать метод мини-макса, является наличие в одном уравнении функций различной породы: алгебраических, тригонометрических, показательных, логарифмических и т.п., что затрудняет или делает невозможным использование стандартных методов.

2) Оценка одной из частей уравнения может быть сделана, исходя из очевидных соображений, или диктуется непосредственным видом этой части; тогда следует получать противоположную оценку для другой части уравнения, используя базовые неравенства.

Эта оценка позволяет определить единственное значение, при котором истинное равенство обеих частей уравнения возможно, выбрать наиболее простую часть уравнения приравнять её найденному числу и решить стандартным способом.

1. Найти значение х, при котором 3sin . (ЕГЭ-2009)

Найду область значений каждой части неравенства.

1) - квадратичная, ветви вверх, вершина (1,5; 3)

2) Sin x т.е. и неравенство следует рассматривать как уравнение 3sin . Решаем то, что проще.

x

x , D=0, x=1,5.

Можно выделить полный квадрат x т.е. вершина (1,5 3) и х=1.5.

Ответ: х=1,5.

2. Найти значение х, при котором 4cos . (ЕГЭ-2009).

Найду область значений каждой части неравенства.

1) Cos x [-1; 1] 4cos [-4; 4].

2) x -3x+ т.е. вершина (1,5; 4), ветви вверх и

х -3х+ . Данное неравенство выполнимо, если каждая часть равна 4.

Решу уравнение х -3х+ =4 (х-1,5) +4=4 х=1,5.

Ответ: х=1,5.

3.Решить уравнение:

2

Найду область значений каждой части уравнения

1) cos x [-1; 1] .

2) log

3) Система верна, если каждое выражение равно 2.

Решу уравнение: 2+log

log

log (4x +4x+1)=0

4x +4x+1= 4x +4x= 0 4x(x+1)=0 x=0 x=-1

Проверка: x=0 2

2+ log

x=-1 2

Ответ: х=0.

4. Решить уравнение:

1+

1) log

2) cos x

3) т.е. уравнение может быть решено, если каждая часть равна 1. Решу уравнение:

1+

9x -39x+43=4 =1

3x -13x+14=0 D=169-168=1 x =2 x =2 .

Проверка: x=2 .

x=2

Ответ: х=2.

5. Решить уравнение:

Cos

1. Cos x

2. log

3. 

т.е. уравнение может быть решено, если каждая часть равна 0. Решу уравнение:

x +5x+7=1 x +5x+6=0 x =-3 x =-2 (т. Виета)

Проверка: x=-3 cos

x=-2

Ответ: х=-2.

6. Решить уравнение:

1)

2) cos x

3)

т.е. уравнение может быть решено, если каждая часть равна 0. Решу уравнение:

4x -5x+3=1 2x -3x+1=0 D=9-8=1 x = x =1.

Проверка: x=

x=1

Ответ: х=1.

7. Решить уравнение:

1) cos

2) log

3)

т.е. уравнение может быть решено, если каждая часть равна 1. Решу уравнение:

1+log

log

log

x -5x+6=0 x =2 x =3 (т. Виета)

Проверка: x=2

x=3

Ответ: х=3.

8. Решить уравнение:

cos

1) cos x

2) log

3) т.е. уравнение может быть решено, если каждая часть равна 1. Решу уравнение:

1+log

log

log

x +x+1=1 x(x+1)=0 x x .

Проверка: x=-1 cos

x=0 cos

Ответ: х=0.

9. Решить уравнение:

cos

1)

2)

3) Равенство возможно, если каждая часть равна 1.

Решу уравнение: 1+

log

x x -5x+6=0 x =2 x =3 (т. Виета)

Проверка: x=2 cos ((2-3)

x=3 cos .

Ответ: х=3.

10. Решить уравнение:

1)

2) cos x

3) Равенство возможно, если каждая часть равна 1.

Решу уравнение:

log

log (x -3x+3)=0

x -3x+3=1 x x =1 x =2 (т. Виета)

Проверка: x=1 cos

x=2 cos

Ответ: х=2.

11. Решить уравнение:

3+log

1. log

2. cos x

3. 

Равенство верно, если каждая часть равна 3. Решу уравнение:

x x(x-1)=0 x =0 x =1.

Проверка: x=0

x=1 3

Ответ: х=1.

12.Решить уравнение:

1)

2)

3) Каждая часть уравнения должна быть равна 2.

Решу уравнение: 2+ =2

x +x-2=0 (т. Виета)

Проверка: x=-2 не существует.

x=1

Ответ: x=1.

13.Решить уравнение:

1)

2) arcsin(-x)

3) Каждая часть уравнения должна быть равна

Решу уравнение:

x x x

Проверка: x=0

x=-1

Ответ: x=-1.

14.Решить уравнение:

1. arcos(x-1)

2. 

3. Равенство верно, если каждая часть равна 3.

Решу уравнение: 3+

x

Проверка: x=-2 не существует

x=0

Ответ: x=0.

15.Решить уравнение:

1)

2)

3) Уравнение верно, если каждая часть равна 2.

Решу уравнение: =2

(т. Виета)

Проверка: x=-1

x=2

Ответ: x=2.

16.Решить уравнение:

1. arcsin x

2. 

3. Уравнение имеет решение, если каждая часть равна .

Решу уравнение:

D=49-24=25

Проверка: x= не существует

x=3

Ответ: x=3.

17.Решить уравнение:

.

1)

2)

3) Уравнение может быть решено, если каждая часть равна .

Решу уравнение:

(т. Виета)

Проверка: x=5 не существует

x=1

Ответ: x=1.

18. Решить уравнение:

1)

2)

3) Уравнение можно решить, если каждая часть равна 1.

Решу уравнение:

+3x+2=0 (т. Виета)

Проверка: x=-1 не существует

x=-2

Ответ: x=-2.