Решение задач с помощью систем уравнений второй степени 9 класс

Провела: Ибрагимова П. И.

– учитель математики

г. Кизилюрт – 2013г.

Тема: «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени»

Цели урока:

1. Обучение составлению системы уравнений по условию задачи.

2. Развитие способности к содержательному обобщению и рефлексии.

3. Повышение интереса к решению текстовых задач.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: проектор, интерактивная доска.

Ход урока

I. Устный счет (8 мин)

Является ли решением уравнения х+2у=5 пара чисел: а) (0;1) б) (3;-1) в) (-1;3)

1. Является ли решением системы уравнений ,

пара чисел: а) х=1, у=6 б)х=3, у=2

2. Решите систему уравнений: 

3. Определите степень уравнения:

• А) х-у-1,2=0

• Б) 

• В) 

• Г) 

II. Изучение нового материала (10 мин)

При решении задач можно вводить две переменные и составлять систему уравнений.

Решить задачу двумя способами: «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого».

Решение:

1 способ- с помощью одной переменной.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен х см, а второй катет – х+7 см. Используя теорему Пифагора, составим уравнение:

х²+(х+7)²=13²

х²+х²+14х+49-169=0

2х²+14х-120=0

х²+7х-60=0

Д=49-4х1х(-60)=289

х₁=-12, х₂=5

корень х=-12 не удовлетворяет условию х0.

Один катет равен 5 см, второй 12 см

2 способ- с помощью введения двух переменных.

Пусть первый катет х см, второй катет у см (х0, у0)

,

,

,

2у²+14у-120=0

у²+7у-60=0

у1=5, у2=-12 (не удовл. условию)

если у=5, то х=7+5=12

один катет равен 5 см, второй катет 12 см

Ответ: 12 см, 5 см

III. Закрепление нового материала (10 мин)

Решение задач:

1. Прямоугольный газон обнесён изгородью, длина которой 30 м. Площадь газона 56 м². Найдите длины сторон газона?

Решение: пусть х м –длина газона, у-ширина газона.

,

,

у²-15у+56=0

у₁=7, у₂=8

х₁=8, х₂=7

Ответ: 7 см, 8 см

2. Двое рабочих совместно могут выполнить заданную работу за 12 дней. Если первый рабочий сделает половину работы, а затем второй – вторую половину, то вся работа будет закончена за 25 дней нужно каждому из рабочих в отдельности для выполнения работы?

Решение: пусть для выполнения всей работы первому рабочему потребуется х дней, а второму у дней, тогда за 1 день первый выполняет 1/х часть, а второй 1/у часть всей работы. Работая совместно, всю работу они выполняют за 12 дней.

Таким образом 12(1/х+1/у)=1.

Пусть теперь работа выполняется рабочими поочередно. Тогда для выполнения половины всей работы первому потребуется 1/2:1/х=х/2 дней, а второму 1/2: 1/у=у/2 дней.

,

,

,

,

,

х=20 или х=30

у=50-х

Одному рабочему для выполнения всей работы требуется 20 дней, а другому 30 дней.

Ответ: 20 дней, 30 дней

Решаем по учебнику: №455, №457 (15 мин)

IV. Итог урока.

Домашнее задание: №456, №458, №460 (2 мин)

"Решение задач с помощью

систем уравнений второй

степени"

9 класс

Цели урока:

1) Обучение составлению системы уравнений по условию задачи.

2)Развитие способности к содержательному обобщению и рефлексии.

3)Повышение интереса к решению текстовых задач.

Устный счёт

1) Является ли решением уравнения x+2y=5 пара чисел:

А) (0;1) Б) (3;-1) В) (-1;3)

2) Является ли решением системы уравнений

3x- 4y=1;

2x+y=8,

пара чисел:

А) x=1, y=6 Б) x=3, y=2

x – y = 2,

x + y = 4.

3) Решите систему уравнений:

4) Определите степень уравнения:

А) x – y – 1,2 = 0

Б) x 2 – y 2 + 2x = 0

В) x (1 – y 2 ) = 4

Г) (x 2 – 2y 2 ) 2 = 5y

Изучение нового

материала

При решении задач можно вводить две переменные и составлять систему уравнений.

Задача№1

Решить задачу двумя способами:

«Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13см. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7см больше другого.»

Решение:

1 способ – с помощью одной переменной:

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен x см, а второй катет – (x + 7) см

0. Один катет равен 5 см, второй 12 см ." width="640"

Используя теорему Пифагора, составим уравнение:

x 2 + (x + 7) 2 =13 2 ;

X 2 + x 2 + 14x + 49 – 169 = 0;

2x 2 + 14x – 120 = 0;

X 2 + 7x – 60 = 0;

Д = 49 – 4*1*(-60) = 289

x 1 = -12

X 2 = 5

Корень x = - 12 не удовлетворяет условию x0.

Один катет равен 5 см, второй 12 см .

0, y0) x – y = 7; x = 7 + y; X 2 + y 2 = 13 2 ; (7 + y) 2 + y 2 = 169; y 1 = 5, 2y 2 + 14y – 120 = 0 y 2 +7y – 60 = 0 y 2 = -12 (не удовл.условию) Если y = 5, то x = 7 + 5 = 12 Один катет равен 5см , второй катет 12 см Ответ: 5см,12 см." width="640"

2 способ – с помощью введения двух переменных:

Пусть первый катет x см, второй катет y см (x0, y0)

x – y = 7;

x = 7 + y;

X 2 + y 2 = 13 2 ;

(7 + y) 2 + y 2 = 169;

y 1 = 5,

2y 2 + 14y – 120 = 0

y 2 +7y – 60 = 0

y 2 = -12 (не удовл.условию)

Если y = 5, то x = 7 + 5 = 12

Один катет равен 5см , второй катет 12 см

Ответ: 5см,12 см.

Задача №2

Прямоугольный газон обнесён изгородью, длина которой 30 м. Площадь газона 56 м 2 .Найдите длины сторон газона.

Решение:

Пусть x м – длина газона,

y м – ширина газона.

x = 15 – y,

(15 – y) * y = 56;

2(x + y) = 30,

x * y = 56;

y 2 – 15y + 56 = 0

y 1 = 7

x 1 = 8

y 2 = 8

x 2 = 7

Ответ: 7 м, 8 м

Задача №3

2 . Двое рабочих совместно могут выполнить заданную работу за 12 дней. Если первый рабочий сделает половину работы, а затем второй – вторую половину, то вся работа будет закончена за 25 дней. Сколько дней нужно каждому из рабочих в отдельности для выполнения работы?

Решение:

Воспользуемся формулой вычисления работы A=N*t

где А – работа, N – производительность, t- время.

Пусть для выполнения всей работы первому рабочему потребуется x дней, а второму y дней, тогда за 1 день первый выполняет 1/x часть, а второй 1/y часть всей работы. Работая совместно, всю работу они выполняют за 12 дней. Таким образом 12(1/x + 1/y) = 1.

Пусть теперь работа выполняется рабочими поочерёдно. Тогда для выполнения половины всей работы первому потребуется ½:1/x= x/2 дней, а второму ½ :1/y = y/2 дней

12(1/x + 1/y) = 1,

x/2 + y/2 = 25;

12(x + y) = xy,

xy = 12*50,

X + y = 50;

x + y = 50;

x(50 – x) = 600,

y = 50 – x;

x 2 – 50x + 600 = 0,

x = 20 или x = 30,

y = 50 – x;

y = 50 -x

Одному рабочему для выполнения всей работы

требуется 20 дней, а другому 30 дней.

Ответ: 20 дней; 30 дней.

Решаем по учебнику: №458, №464 

Итог урока. Домашнее задание : №457, №465, №470