Обратные тригонометрические функции

Преподаватель Бурковская Нина Дмитриевна.

Тема программы: 4. Тригонометрические функции -24 часа.

Тема урока: Обратные тригонометрические функции

Цель урока: знать определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, графики этих функций, свойства аркфункций, связь с тригонометрическими функциями уметь находить значения обратных тригонометрических функций, решать простейшие уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции графическим и функционально-графическим методом

воспитывать ответственность, аккуратность при построении графиков

развивать логическое мышление, математическую речь, умение работать в нужном темпе

Тип урока: формирования зун.

Методы ведения: Комбинированный урок.

Оборудование урока Презентация

ХОД УРОКА:

Организационный момент – 1 – 2 мин.

Приветствие учащихся.

Отметить отсутствующих.

II. Опрос по домашнему заданию

1. Какие тригонометрические функции вы знаете?

2. Какая тригонометрическая функция четная?

III. Объяснение нового материала. Краткий конспект.

Функции y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx называются обратными

тригонометрическими функциями. Приставка «arc» означает обратный.

Функция y = arcsin x

По определению арксинуса числа для каждого x∈[−1;1] определено одно число y=arcsinx. Тем самым на отрезке [−1;1] задана функция y=arcsinx,−1≤x≤1

Функция y=arcsinx является обратной к функции

y=sinx, где −π/2≤x≤π/2

Поэтому свойства функции y=arcsinx можно получить из свойств функции

y=sinx

График функции y=arcsinx симметричен графику функции

y=sinx, где −π/2≤x≤π/2 относительно прямой y=x .

График функции y=arcsinx

Основные свойства функции y=arcsinx

1. Область определения - отрезок [−1;1]

2. Множество значений - отрезок [−π/2;π/2]

3. Функция y=arcsinx - возрастает.

4. Функция y=arcsinx является нечётной, так как

arcsin(−x)=−arcsinx

Функция y = arccos x

По определению арккосинуса числа для каждого x∈[−1;1] определено одно число y=arccosx. Тем самым на отрезке [−1;1] определена функция

y=arccosx,где −1≤x≤1.

Функция y=arccosx является обратной к функцииy=cosx,где 0≤x≤π

График функции y=arccosx симметричен графику функции y=cosx,где 0≤x≤π, относительно прямой y=x

Функция y=arccosx

Основные свойства функции y=arccosx

1. Область определения - отрезок [−1;1]

2. Множество значений - отрезок [0;π]

3. Функция y=arccosx убывает

Функция y = arctg x

По определению арктангенса числа для каждого действительного x определено одно число y=arctgx. Тем самым на всей числовой прямой определена функция y=arctgx,x∈R.

Эта функция y=arctgx является обратной к функции

y=tgx,где −π/2≤x≤π/2

График функции y=arctgx симметричен графику функции

y=tgx,где −π/2≤x≤π/2 относительно прямой y=x

График функции y=arctgx

Основные свойства функции y=arctgx

1. Область определения - множество R всех действительных чисел

2. Множество значений - интервал (−π/2;π/2)

3. Функция y=arctgx возрастает.

4. Функция y=arctgx является нечётной, так как

arctg(−x)=−arctgx

Функция y=arcctgx

Поэтому, график функции y=arcctgx можно получить из графика функции

y=ctgx, x∈(0;π) с

помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x.

Свойства функцииy=arcctgx

1. D(f)=(−∞;+∞)

2. E(f)=(0;π)

3. Функция не является ни чётной, ни нечётной, т.к. график функции не симметричен ни относительно начала координат, ни относительно оси y.

4. Функция убывает.

5. Функция непрерывна.

arcctga - это такое число из интервала (0;π), котангенс которого равен a

Итак, arcctga=t⇔{ctgt=a,0

Для арккотангенса имеет место соотношение, аналогичное для арккосинуса

arcctg(−a)=π−arcctga

1.Вычислите:

а) 2 arcsin √3/2 + arctg 1 + arccos (-√2/2) - 5π/3

б) 3 arccos √3/2+ arcctg (-1) + arcsin√3/2 - 19π/12

в) arcsin(sin /3)+ arcsin (- /2)

г)10cos(arctg( ))

2. Вычислите:

а) sin(arcsin(-1/5))

б) sin( + arcsin 3/4)

в) 5 sin( + arcsin (-3/5)

г) cos(arccos(-2/3))

д) sin( /2+ arccos 1/3)

Рассмотреть решения примеров с обратными функциями:

Группа В

Пример 1: Найти sin(arccos ).Пусть arccos = , тогда 0≤ ≤ , соs = .

sin +cos =1. Учитывая, что 0≤ ≤ , sin = = = = .

Ответ: sin(arccos )= .

Пример 2: Вычислити

Заполнить таблицу ( проверка знания формул)

,      |x|   1	,     |x|   1
,     |x| 1	,   |x 1
,       |x|	,  |x|   1, x=/= 0
,     |x| 1, x =/= 0	, |x|
,    x=/= 0	,    x=/= 0

Закрепление нового материала:№ 85, 87, 88

Задание на дом §8№86

Литература: А.Е. Абылкасымова и др. Алгебра и начала анализа 10, 11 классы.

Дидактический материал по алгебре и начала анализа для 10, 11 класов.

Преподаватель Бурковская Нина Дмитриевна