Отбор корней в тригонометрическом уравнении

ПРАКТИКУМ: «Отбор корней в тригонометрическом уравнении»

В этом занятии я постараюсь объяснить 2 способа отбора корней в тригонометрическом уравнении: с помощью неравенств и с помощью тригонометрической окружности.

Перейдем сразу к наглядному примеру и походу дела будем разбираться.

Задание №1:

а) Решить уравнение √2 cos2x=sin (π/2+x)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [–7π/2; –2π]

Решим пункт а.

Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(π/2+x) = cos(x)

√2 cos2x = cosx

√2 cos2x – cosx = 0

cosx(√2 cosx – 1) = 0

cosx = 0

x1 = π/2 + πn, n ∈ Z

√2 cosx – 1 = 0

cosx = 1/√2

cosx = √2/2

x2 = arccos(√2/2) + 2πn, n ∈ Z

x3 = –arccos(√2/2) + 2πn, n ∈ Z

x2 = π/4 + 2πn, n ∈ Z

x3 = –π/4 + 2πn, n ∈ Z

Решим пункт б.

1) Отбор корней с помощью неравенств

Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [–7π/2; –2π], находим целые значения для n.

–7π/2 ≤ π/2 + πn ≤ –2π

Сразу делим все на π

–7/2 ≤ 1/2 + n ≤ –2

–7/2 – 1/2 ≤ n ≤ –2 – 1/2

–4 ≤ n ≤ –5/2

Целые n в этом промежутку это –4 и –3. Значит корни принадлежащие этому промежутку буду π/2 + π(–4) = –7π/2, π/2 + π(–3) = –5π/2

Аналогично делаем еще два неравенства

–7π/2 ≤ π/4 + 2πn ≤ –2π

–15/8 ≤ n ≤ –9/8

Целых n в этом промежутке нет

–7π/2 ≤ –π/4 + 2πn ≤ –2π

–13/8 ≤ n ≤ –7/8

Одно целое n в этом промежутку это –1. Значит отобранный корень на этом промежутку –π/4 + 2π•(–1) = –9π/4.

Значит ответ в пункте б: –7π/2, –5π/2, –9π/4

2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности

Что бы пользоваться этим способом надо понимать как работает эта окружность. Постараюсь простым языком объяснить как это понимаю я. Думаю в школах на уроках алгебры эта тема объяснялась много раз умными словами учителя, в учебниках сложные формулировки. Лично я понимаю это как окружность, которую можно обходить бесконечное число раз, объясняется это тем, что функции синус и косинус периодичны.

Обойдем раз против часовой стрелки

Обойдем 2 раза против часовой стрелки

Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)

Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [–7π/2; –2π]

Чтобы попасть к числам –7π/2 и –2π надо обойти окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.

Рассмотри x = π/2 + πn. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где–то в этом промежутке? Подставляем, допустим –2, получаем π/2 – 2π = –3π/2, очевидно это не входит в наш промежуток, значит берем меньше –3, π/2 – 3π = –5π/2, это подходит, попробуем еще –4, π/2 – 4π = –7π/2, также подходит.

Рассуждая аналогично для π/4 + 2πn и –π/4 + 2πn, находим еще один корень –9π/4.

Сравнение двух методов.

Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для понимания, но если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью и со вторым методом отбора, то отбор корней будет гораздо быстрее, можно сэкономить около 15 минут на экзамене.

Задание №2: Cos2x+ 3 〖sin〗^2x=1, 25

Сначала решим уравнение в общем виде :

Cos2x+ 3 〖sin〗^2x=1, 25

а) 1- 2〖sin〗^2x +3 〖sin〗^2x =1, 25

〖sin〗^2x=1/4

Sinx=±1/2

x=±