Практикум по теме "Критические точки функции, максимумы и минимумы"

Практикум по теме:

«Критические точки функции, максимумы и минимумы»

Перечень вопросов, рассматриваемых на занятии:

1) Определение точек максимума и минимума функции

2) Определение точки экстремума функции

3) Условия достаточные для нахождения точек экстремума функции

Опорные определения и понятия по теме:

Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х₁ и х₂,   из этого промежутка выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции 

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции 

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Точка максимума функции. Точку  х₀ называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство   .

Точка минимума функции. Точку  х₀ называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство   .

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых х₁ и х₂,   из этого промежутка выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:

1) Найти область определения функции D(f)

2) Найти f' (x).

3) Найти стационарные (f'(x) = 0) и критические (f'(x) не

существует) точки функции y = f(x).

4) Отметить стационарные и критические точки на числовой

прямой и определить знаки производной на получившихся

промежутках.

5) Сделать выводы о монотонности функции и точках ее

экстремума.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Точки, в которых происходит изменение характера монотонности функции – это ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА.

• Точку х = х₀ называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₀).

• Точку х = х₀ называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀).

Точки максимума и минимума – точки экстремума.

Функция может иметь неограниченное количество экстремумов.

Критическая точка – это точка, производная в которой равна 0 или не существует.

Важно помнить, что любая точка экстремума является критической точкой, но не всякая критическая является экстремальной.

Алгоритм нахождения максимума/минимума функции на отрезке:

1. найти экстремальные точки функции, принадлежащие отрезку,

2. найти значение функции в экстремальных точках из пункта 1 и в концах отрезка,

3. выбрать из полученных значений максимальное и минимальное.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Определите промежуток монотонности функции у=х² -8х +5

Решение: Найдем производную заданной функции: у’=2x-8

2x-8=0

х=4

Определяем знак производной функции и изобразим на рисунке, следовательно, функция возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

Ответ: возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

№2. Найдите точку минимума функции у= 2х-ln(х+3)+9

Решение: Найдем производную заданной функции: 

Найдем нули производной: 

х=-2,5

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Ответ: -2,5 точка min

№3. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 10t² − 48t + 15, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.

Решение: Если нас интересует движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной мы получим зависимость скорости от времени. 

V=х'(t)= 20t – 48. Подставляем вместо t 3c и получаем ответ. V=12 м\c

Ответ: V=12 м\c

№4. На рисунке изображен график функции. На оси абсцисс отмечены семь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение: Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает. В данном случае это точки х3,х5,х7. Следовательно, таких точек 3

Ответ: 3

№ 5

  На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Решение. Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.

 

Ответ: 44.

№ 6

  На рисунке изображён график   — производной функции  определенной на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2] функция  принимает наибольшее значение?

Решение. На заданном отрезке производная функции отрицательна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке −3.

 

Ответ: −3.

№ 7

 На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].

Решение. Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной. Производная меняет знак в точках −6, −2, 2, 6, 9. Тем самым, на отрезке [−10; 10] функция имеет 5 точек экстремума.

 

Ответ: 5.

№ 8

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x)на отрезке [−2; 6].

Решение. Если производная в некоторой точке равна нулю и меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке [−2; 6] график производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, точка 4 является точкой экстремума.

 

Ответ: 4.

№ 9  На рисунке изображён график   — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x₁, x₂, x₃, ..., x₈. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?

Решение. Возрастанию дифференцируемой функции f(x) соответствуют положительные значения её производной. Производная положительна в точках x₄, x₅ x₆. Таких точек 3.

 

Ответ: 3.

№ 10

  На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x₁, x₂, x₃, ..., x₉. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

Решение.  Две из отмеченных точек являются точками экстремума функции f(x). Это точки x₃ и x₆ (выделены красным). В них производная функции f(x) равна нулю.

В точках x₁, x₂, x₇ и x₈ функция f(x) возрастает (выделены синим). В этих четырёх точках производная функции f(x) положительна.

В точках x₄, x₅ и x₉ функция f(x) убывает (выделены зеленым). В этих трёх точках производная функции f(x) отрицательна.

 

Ответ: 3.

№ 11

  На рисунке изображён график функции   — производной функции f(x) определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x).

Решение. Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный. На интервале (1; 10) функция имеет одну точку минимума x = 9.

 

Ответ: 9.

№ 12

  На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Решение. Производная функции отрицательна в тех точках, которые принадлежат участкам убывания функции. Это точки x₃, x₄, x₇ — всего 3 точки.

 

Ответ: 3.

№ 13

  Функция   определена и непрерывна на отрезке   На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции   В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение. Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная неотрицательна, то есть полуинтервалам (−6; −5,2] и [1,7; 5). В силу непрерывности функция f(x) возрастает на отрезках [−6; −5,2] и [1,7; 5]. Данные промежутки содержат целые точки −6, 2, 3, 4 и 5. Их сумма равна 8.

 

Ответ: 8.

 

Примечание.

Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке   и монотонна на интервале   то функция монотонна на всем отрезке 

Обобщением этого утверждения служит следующая теорема: функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции

не существует в точке   и положительна во всех остальных точках. Функция f в точке   непрерывна, следовательно, она возрастает на 

№ 14

  Функция   определена и непрерывна на интервале   На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции   В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение. Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная неотрицательна, то есть интервалам (−3; 1) и (1; 4). В силу непрерывности функция f(x) возрастает на интервале (−3; 4). Данный промежуток содержит целые точки −2, −1, 0, 1, 2 и 3. Их сумма равна 3.

 

Ответ: 3.

 

Примечание.

Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке   и монотонна на интервале   то функция монотонна на всем отрезке 

Обобщением этого утверждения служит следующая теорема: функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции

не существует в точке   и положительна во всех остальных точках. Функция f в точке   непрерывна, следовательно, она возрастает на 

 

№ 15

  Функция   определена и непрерывна на отрезке   На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки убывания функции   В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение. Промежутки убывания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная неположительна, то есть полуинтервалам (−5; −3,5] и [3,5; 6). В силу непрерывности функция f(x) убывает на отрезках [−5; −3,5] и [3,5; 6]. Данные промежутки содержат целые точки −5, −4, 4, 5 и 6. Их сумма равна 6.

 

Ответ: 6.

 

Примечание.

Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке   и монотонна на интервале   то функция монотонна на всем отрезке 

Обобщением этого утверждения служит следующая теорема: функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции

не существует в точке   и положительна во всех остальных точках. Функция f в точке   непрерывна, следовательно, она возрастает на 

№ 16

  Функция   определена и непрерывна на полуинтервале   На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки убывания функции   В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение. Промежутки убывания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная неположительна, то есть интервалу (−4; −1). В силу непрерывности функция f(x) убывает на отрезке [−4; −1]. Данный промежуток содержит целые точки −4, −3, −2 и −1. Их сумма равна −10.

 

Ответ: −10.

 

Примечание.

Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке   и монотонна на интервале   то функция монотонна на всем отрезке 

Обобщением этого утверждения служит следующая теорема: функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции

не существует в точке   и положительна во всех остальных точках. Функция f в точке   непрерывна, следовательно, она возрастает на 

 

№ 17

  Функция   определена и непрерывна на полуинтервале   На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции   В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение. Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых её производная неотрицательна, то есть интервалу (−1; 5). В силу непрерывности функция f(x) возрастает на полуинтервале [−1; 5). Данный промежуток содержит целые точки −1, 0, 1, 2, 3 и 4. Их сумма равна 9.

 

Ответ: 9.

 

Примечание.

Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке   и монотонна на интервале   то функция монотонна на всем отрезке 

Обобщением этого утверждения служит следующая теорема: функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции

не существует в точке   и положительна во всех остальных точках. Функция f в точке   непрерывна, следовательно, она возрастает на 

 

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2020г.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.