![Объемы тел 11 класс](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_0.jpg)
Объемы тел 11 класс
![Цели урока:](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_1.jpg)
Цели урока:
- Ввести понятие объема тел, его свойств, единиц измерения объёма.
- Повторить с учащимися формулы для нахождения объёма параллелепипеда, куба.
- Познакомить учащихся с объёмами прямой призмы, пирамиды, цилиндра и конуса, руководствуясь наглядно-иллюстративными соображениями.
![Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике. Д. Сантаяна](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_2.jpg)
Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке,
все науки стремятся к математике.
Д. Сантаяна
![Геометрия есть искусство правильно рассуждать на неправильных чертежах.](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_3.jpg)
- Геометрия есть искусство правильно рассуждать на неправильных чертежах.
Пойа Д.
![Площадь Площадь многоугольника- это положительная величина той части плоскости , которую занимает многоугольник. Объем Объем тела – это положительная величина той части пространства , которую занимает геометрическое тело.](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_4.jpg)
Площадь
Площадь многоугольника- это положительная величина той части плоскости , которую занимает многоугольник.
Объем
Объем тела – это положительная величина той части пространства , которую занимает геометрическое тело.
![Свойства объемов: 1. Равные тела имеют равные объемы Свойства площадей : 1. Равные многоугольники имеют равные площади F 2 F 2 F 1 F 1](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_5.jpg)
Свойства объемов:
1. Равные тела имеют равные объемы
Свойства площадей :
1. Равные многоугольники имеют равные площади
F 2
F 2
F 1
F 1
![2 . Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. S F =S F 1 +S F 2 +S F 3 + S F 4 2. Если тело составлено из нескольких тел , то его объем равен сумме объемов этих тел. V F =V F 1 +V F 2 F 4 F 2 F 3 F 1](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_6.jpg)
2 . Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
S F =S F 1 +S F 2 +S F 3 + S F 4
2. Если тело составлено из нескольких тел , то его объем равен сумме объемов этих тел.
V F =V F 1 +V F 2
F 4
F 2
F 3
F 1
![Площадь За единицу измерения площадей берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. 1 км 2 , 1 м 2 , 1 дм 2 , 1 см 2 , 1 мм 2 , 1 а, 1 га и т.д. Объем За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают см 3. Аналогично определяют 1 м 3 , 1 дм 3 , 1 см 3 , 1 мм 3 и т.д. 1 1 1 1 1](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_7.jpg)
Площадь
За единицу измерения площадей берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.
1 км 2 , 1 м 2 , 1 дм 2 , 1 см 2 , 1 мм 2 , 1 а, 1 га и т.д.
Объем
За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков.
Куб с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают см 3.
Аналогично определяют
1 м 3 , 1 дм 3 , 1 см 3 , 1 мм 3 и т.д.
1
1
1
1
1
![Площадь Равновеликими называются геометрические фигуры, имеющие равные площади Объем Равновеликими называются тела, объемы которых равны V F =V F1 S F =S F1 F 1 F 2 F 1 F 2](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_8.jpg)
Площадь
Равновеликими называются геометрические фигуры, имеющие равные площади
Объем
Равновеликими называются тела, объемы которых равны
V F =V F1
S F =S F1
F 1
F 2
F 1
F 2
![В стереометрии рассматриваются объемы многогранников и объемы тел вращения.](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_9.jpg)
В стереометрии рассматриваются объемы многогранников и объемы тел вращения.
![Объем прямоугольного параллелепипеда: а-длина b -ширина с- высота V=a . b . c S осн = a . b V=S осн . H](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_10.jpg)
Объем прямоугольного параллелепипеда:
а-длина
b -ширина
с- высота
V=a . b . c
S осн = a . b
V=S осн . H
![Объем куба: V=a 3 V=S осн . H S осн = a 2 а а а](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_11.jpg)
Объем куба:
V=a 3
V=S осн . H
S осн = a 2
а
а
а
![Объем прямой призмы: V парал = S осн . H S осн =2 . S ABC По свойству объемов V парал = 2 . S AB С . H V призмы = ( V парал ) :2 V призмы = ( 2 . S AB С . H) : 2 V=S осн . H](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_12.jpg)
Объем прямой призмы:
V парал = S осн . H
S осн =2 . S ABC
По свойству объемов
V парал = 2 . S AB С . H
V призмы = ( V парал ) :2
V призмы = ( 2 . S AB С . H) : 2
V=S осн . H
![Объем пирамиды: Достроим пирамиду ABCS до призмы. Достроенная призма будет состоять из 3 пирамид - SABC, SCC 1 B 1, SCBB 1 У 2 и 3 пирамиды- SC - общая, тр CC 1 B 1 = тр CBB 1 У 1 и 3 пирамиды- С S- общая, тр SAB = тр BB 1 S V 1 =V 2 =V 3 V призмы= 3 V пирам V пирамиды = 1 V призмы 3 V пирамиды = 1 S осн . H 3](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_13.jpg)
Объем пирамиды:
Достроим пирамиду
ABCS до призмы. Достроенная
призма будет состоять из 3
пирамид - SABC, SCC 1 B 1, SCBB 1
У 2 и 3 пирамиды- SC - общая,
тр CC 1 B 1 = тр CBB 1
У 1 и 3 пирамиды- С S- общая,
тр SAB = тр BB 1 S
V 1 =V 2 =V 3
V призмы= 3 V пирам
V пирамиды = 1 V призмы
3
V пирамиды = 1 S осн . H
3
![Объем цилиндра: Обозначения: R - радиус основания H - высота L - образующая L=H V - объем цилиндра V = П R 2 H - объём V= S осн . H S осн = П R 2 L](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_14.jpg)
Объем цилиндра:
Обозначения:
R - радиус основания
H - высота
L - образующая
L=H
V - объем цилиндра
V = П R 2 H - объём
V= S осн . H
S осн = П R 2
L
![Конус: ОБОЗНАЧЕНИЯ: R - радиус основания L - образующая конуса H – высота V – объем V= 1 П R 2 Н 3 - объём](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_15.jpg)
Конус:
ОБОЗНАЧЕНИЯ:
R - радиус основания
L - образующая конуса H – высота
V – объем
V= 1 П R 2 Н
3 - объём
![Это интересно: В геологии существует понятие](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_16.jpg)
Это интересно:
В геологии существует понятие "конус выноса". Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород, вынесенных горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.
В биологии есть понятие "конус нарастания". Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.
"Конусами" называется семейство морских молюсков подкласса пережнежаберных. Укус конусов очень опасен. Известны смертельные случаи.
В физике встречается понятие "телесный угол". Это конусообразный угол, вырезанный в шаре.
![Проверь свои знания: Сформулируйте понятие объема. Сформулируйте основные свойства объемов тел. Назовите единицы измерения объема тел. Назовите формулу для измерения объема - прямоугольного параллелепипеда; - объема куба; - объем прямой призмы; - объем пирамиды; - объем цилиндра и объем конуса. Изменится ли объем цилиндра, если радиус его основания увеличить в 2 раза, а высоту уменьшить в 4 раза? V = П R 2 H V= П (2R) 2 . H = П 4R 2. H = П R 2. H 4 4](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_17.jpg)
Проверь свои знания:
- Сформулируйте понятие объема.
- Сформулируйте основные свойства объемов тел.
- Назовите единицы измерения объема тел.
- Назовите формулу для измерения объема
- прямоугольного параллелепипеда;
- объема куба;
- объем прямой призмы;
- объем пирамиды;
- объем цилиндра и объем конуса.
- Изменится ли объем цилиндра, если радиус его основания увеличить в 2 раза, а высоту уменьшить в 4 раза?
V = П R 2 H V= П (2R) 2 . H = П 4R 2. H = П R 2. H
4 4
- Основаниями двух пирамид с равными высотами являются четырехугольники с соответственно равными сторонами. Равны ли объемы этих пирамид?
- Из каких тел состоит тело, полученное вращением равнобедренной трапеции вокруг большего основания?
![Домашняя работа:](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_18.jpg)
Домашняя работа:
- Выучить формулы объемов тел, определения.
- № 648(а,в), № 685, № 666(а,в)
![Закрепление пройденного материала: Задача №1 Три латунных куба с ребрами 3см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какое ребро у этого куба? + + = ? a 1 a 2 a 3](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_19.jpg)
Закрепление пройденного материала:
Задача №1
Три латунных куба с ребрами 3см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какое ребро у этого куба?
+ + =
?
a 1
a 2
a 3
![Решение: V F =V F 1 +V F 2 + V F 3 V F 1 =3 3 =27 (см 3 ) V F 2 =4 3 =64 (см 3 ) V F 3 =5 3 =125 (см 3 ) V F = 27+64 +125=216 (см 3 ) V F =а 3 а 3 =216 (см 3 ) а= 6 (см) Ответ: ребро куба равно 6 см.](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_20.jpg)
Решение:
V F =V F 1 +V F 2 + V F 3
V F 1 =3 3 =27 (см 3 )
V F 2 =4 3 =64 (см 3 )
V F 3 =5 3 =125 (см 3 )
V F = 27+64 +125=216 (см 3 )
V F =а 3
а 3 =216 (см 3 )
а= 6 (см)
Ответ: ребро куба равно 6 см.
![Задача №2 Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна 12 см, а сторона основания 13 см.](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_21.jpg)
Задача №2
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна 12 см, а сторона основания 13 см.
![Решение: V= 1 S осн . H 3 ABCD - квадрат S ABCD = a 2 S ABCD = 13 2 =169 V= 1 169 . 12 =676 (см 3 ) 3 Ответ : Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 676 см 3](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_22.jpg)
Решение:
V= 1 S осн . H
3
ABCD - квадрат
S ABCD = a 2
S ABCD = 13 2 =169
V= 1 169 . 12 =676 (см 3 )
3
Ответ : Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 676 см 3
![Задача №3 Найдите объем цилиндра, если радиус его основания равен 6см, а высота 8 см.](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_23.jpg)
Задача №3
Найдите объем цилиндра, если радиус его основания равен 6см, а высота 8 см.
![Решение: V = П R 2 H V =П . 6 2 . 8 =288П (см 3 ) Ответ: объем цилиндра равен 288 П см 3 .](http://fsd.intolimp.org/html/2020/03/11/i_5e68caf20deef/img_php3v6qSI_Obem--v-stereometrii_24.jpg)
Решение:
V = П R 2 H
V =П . 6 2 . 8 =288П (см 3 )
Ответ: объем цилиндра равен 288 П см 3 .