Презентация к уроку "Показательная функция"

Свойства показательной функции

• 4) При любых действительных значениях х и у справедливы равенства
• а х а у =а х+у ;
• а х /а у =а х-у ;
• ( ab) x =a x b x ;
• ( a/b) x =a x /b x ;
• (a x ) y =a xy .

Число е

• Изобразим график некоторой показательной функции касательная проходящая через точку (0;1) к которому образует угол 45 0 с осью ОХ.
• Опытным путем установлено, что основание этой показательной функции приблизительно равно 2,718281828459045…
• Данное число заменяют символом е .

е≈2,72

Функцию

у=е х

называют

экспонентой

у=е х

1

45 0

0

Перечислите свойства функции и постройте ее график

• у=4 х

Перечислите свойства функции и постройте ее график

• у=1-0,2 х

Укажите, какая из данных функций является убывающей, какая возрастающей.

• у=(√2) х
• у=(1√2) х
• у=(√5-2) х
• у=( π /3) х
• у=(е) х
• у=(е/ π ) х

Применение показательной функции в природе и технике.

Наглядный бытовой пример!

• Если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом гораздо медленнее.
• Скорость остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающей среды.

• Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник. Если сначала температура чайника равнялась Т о , а температура воздуха T 1 , то через t секунд температура Т чайника выразится формулой:
• T=(T 1 -T 0 ) e -kt +T 1 ,
• где k - число, зависящее от формы чайника, материала, из которого он сделан, и количества воды, которое в нем находится.

При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает.

• При падении тел в воздухе скорость падения тоже, но не может превзойти определенной величины.

Падение парашютиста

• Рассмотрим задачу о падении парашютиста. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что F=kv , то через t секунд скорость падения будет равна:
• v= mg/ k(1- e -kt/m ),
• где m - масса парашютиста.

• Через некоторый промежуток времени e -kt/m станет очень маленьким числом, и падение станет почти равномерным. Коэффициент пропорциональности k зависит от размеров парашюта.

Межпланетные путешествия

• Много трудных математических задач приходится решать в теории межпланетных путешествий.
• Одной из них является задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v.

• Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v 0 , с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя.

Формула К.Э.Циалковского

• Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса топлива определиться формулой: M=m(e v/v 0 -1 )
• (формула К.Э.Циалковского).

• Например, для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость 8000 м/с, надо при скорости истечения газов 2000 м/с взять примерно 80 т топлива.

Радиоактивный распад

• Когда радиоактивное вещество распадется, его количество уменьшается.
• Через некоторое время остается половина первоначального количества вещества.
• Этот промежуток времени to называется периодом полураспада.

• Явление радиоактивного распада используется для определения возраста археологических находок, например, определен примерный возраст Земли, около 5,5 млрд. лет.

Вот некоторые из Нобелевских лауреатов, получивших премию за исследования в области физики с использованием показательной функции:

• Пьер Кюри - 1903 г.
• Ричардсон Оуэн - 1928 г.
• Игорь Тамм - 1958 г.
• Альварес Луис - 1968 г.
• Альфвен Ханнес - 1970 г.
• Вильсон Роберт Вудро - 1978 г.

Применение показательной функции в биологии .

Применение логарифмической функции в биологии .

В питательной среде бактерия кишечной палочки делится каждую минуту. Понятно, что общее число бактерий за каждую минуту удваивается.

Применение логарифмической функции в биологии.

Если в начале процесса была одна бактерия, то через х минут их число ( N ) станет равной 2 х , т.е. N ( х ) = 2 х .

Через 30 минут их число ( N ) станет равной 2 30 , т.е. N ( х ) =1 073 741 824

Через 1 час их число будет

в 1 073 741 824 больше!!!!

Задача:

Ежемесячно на банковский вклад, равный S 0 рублей начисляется р%. На сколько процентов возрастет банковский вклад за х месяцев?

Решение.

Пусть р = 2%, х = 12 месяцев. Тогда за год банковский вклад возрастет на

Ответ: на 27%.

Барометрическая формула

• При постоянной температуре давление воздуха убывает с убыванием высоты над уровнем моря по закону
• где   p 0 – давление на уровне моря ( h =0), p – давление на высоте  h , H -  константа, зависящая от температуры воздуха.

Формула разрядки конденсатора

• R – сопротивление,
• C – электроемкость конденсатора.

• Если начальное напряжение на конденсаторе равно U 0 , то конденсатор будет разряжаться по закону 
•   U=U 0 e t/RC  ,
• где  t – время, в течение которого разряжается конденсатор, 

Потери силы тока

• При передаче электроэнергии по подводному кабелю потери в силе тока за счет утечки в воду пропорциональны длине кабеля.
• Например, на каждом километре сила тока уменьшается на 0,5%. Тогда при увеличении расстояния от источника энергии на 1 км сила тока будет изменяться в отношении 1: 0,995

ВНИМАНИЕ!

ВОПРОС №1 В честь кого назвали число е?

А)Евклид

Б)Ельяшевич

В)Эйлер

ВОПРОС №2 Какой вид имеет показательная функция?

• А) у=а х
• Б) y=a\2
• В) y=a*x

ВОПРОС №3 какое число =2,72?

• А) z
• Б) e
• В) π

ВОПРОС №4 Какая из перечисленных функций убывающая?

• А) у=3 х
• Б) у=5 х
• В) у=0,4 х

Итог: изобразите схематично графики возрастающей и убывающей показательных функций.

• М.И. Башмаков

стр.29 №2.6 а (1-5)

Сформулируйте определение: Экспонента это

• …………………… .функция, касательная к графику которой в точке……….образует угол…….с положительным направлением оси….
• Основание данной функции равно числу…………., которое обозначается буквой……

повторение

Домашнее задание

• Выучить определение и свойства показательной функции и экспоненты.
• Построить графики функций

у=(1/3) x у=4 x -2