МЦК - ЧЭМК
Основные понятия
алгебры логики
Выполнила преподаватель спецдисципин электромеханического колледжа Мелешкина Е.В.
Алгебра логики
Алгебра логики (булева алгебра) - это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними .
Джордж Буль
Логическое высказывание
Логическое высказывание — это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Примеры высказываний
Так, например, предложение
" Трава зеленая " следует считать высказыванием, так как оно истинное.
Предложение " Лев - птица " тоже высказывание, так как оно ложное.
Примеры высказываний
Не всякое предложение является логическим высказыванием . Высказываниями не являются, например, предложения " студент третьего курса " и " информатика — интересный предмет ".
Логические связки
Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если... , то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками .
Виды высказываний
Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, н азываются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными (простыми) .
Основные понятия
Законы алгебры логики - законы, позволяющие преобразовывать логические выражения.
Логическая переменная - переменная, которая может принимать значение 1 (истина) или 0 (ложь).
Существуют разные варианты обозначения истинности и ложности логических переменных:
Истина
Ложь
И
True
Л
T
False
1
F
0
Примеры высказываний
Так, например, из элементарных высказываний " Петров — врач ", " Петров — шахматист " при помощи связки " и " можно получить составное высказывание
" Петров — врач и шахматист ", понимаемое как
" Петров — врач, хорошо играющий в шахматы ".
Примеры высказываний
При помощи связки " или " из этих же высказываний можно получить составное высказывание
" Петров — врач или шахматист ", понимаемое в алгебре логики как " Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно ".
Примеры высказываний
Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена .
Пусть через А обозначено высказывание " Тимур поедет летом на море ", а через В — высказывание " Тимур летом отправится в горы ".
Примеры высказываний
Тогда составное высказывание
" Тимур летом побывает и на море, и в горах " можно кратко записать как А и В .
Здесь "и" — логическая связка,
А, В — логические переменные, которые могут принимать только два значения - "истина" или "ложь", обозначаемые, соответственно, "1" и "0".
Таблица истинности
Таблица истинности - это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.
Инверсия
Операция, выражаемая словом "не", называется инверсией или логическим отрицанием и обозначается чертой над высказыванием.
A
От лат. inversio - переворачиваю
Инверсия
Логическое отрицание делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.
А
не А
0
1
1
0
А= Земля вращается вокруг Солнца. (истина)
¬А = Земля не вращается вокруг Солнца. (ложь)
Инверсия
Высказывание А истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.
Пример. " Луна — спутник Земли " (А); " Луна — не спутник Земли " (А).
Конъюнкция
Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой " . " (может также обозначаться знаками /\ или & ).
А v В
А В
От лат. conjunctio - связываю
Конъюнкция
Результат логического умножения является истинным тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.
A
B
0
1
0
А и B
0
0
0
1
1
0
1
0
1
A·B , A B
Конъюнкция
Высказывание А · В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.
С = А & В
Пример : Учитель должен быть умным и справедливым.
А= Учитель должен быть умным.
В= Учитель должен быть справедливым.
Дизъюнкция
Операция, выражаемая связкой "или" , называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом ).
А v В
От лат. disjunctio – различаю
Дизъюнкция
Результат логического сложения является истинным тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.
A
B
0
1
А или B
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
A + B , A B
Дизъюнкция
Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.
С = А + В
Примеры:
1. В библиотеке можно взять книгу или встретить знакомого.
А = В библиотеке можно взять книгу.
В = В библиотеке можно встретить знакомого.
2. Высказывание "10 не делится на 2 или 5 не больше 3" ложно, а высказывания "10 делится на 2 или 5 больше 3",
"10 делится на 2 или 5 не больше 3",
"10 не делится на 2 или 5 больше 3" — истинны.
Импликация
Операция, выражаемая связками "если ..., то", "из ... следует", "... влечет ...", называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком
А В
От лат. implicatio – тесно связывать
Импликация
Результат логического следования является ложным тогда и только тогда, когда из истины следует ложь.
A
B
0
Если А, то B
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
А B
Импликация
Высказывание А В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.
Пример : Если идёт дождь, то на улице сыро.
А = Идет дождь.
В = На улице сыро.
Эквиваленция
Операция, выражаемая связками " тогда и только тогда ", " необходимо и достаточно ", "... равносильно ...", называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком или ~.
А В
От лат. aeguivalens – равноценное
Эквиваленция
Результат логического равенства является истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо истинны, либо ложны.
A
B
0
А B
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
А тогда и только тогда, когда В
Эквиваленция
Высказывание А В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают .
Примеры:
- День сменяет ночь тогда и только тогда, когда солнце скрывается за горизонтом.
- Утверждение A – получить хорошую оценку
Утверждение B – выучить домашнее задание
A ~ B = получить хорошую оценку можно тогда и только тогда, когда выучишь домашнее задание
Логическая формула
С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой .
Логический элемент комьютера
Логический элемент компьютера — это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.
Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И—НЕ, ИЛИ—НЕ и другие .
Логический элемент комьютера
Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована.
Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.
Схема И
Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений.
X
F=X·Y
&
Y
Схема И
Таблица истинности схемы И
Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль.
X
Y
0
X*Y
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
С х е м а ИЛИ
Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений.
X
F=X+Y
1
Y
Схема ИЛИ
Таблица истинности схемы ИЛИ
Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на её выходе также будет единица.
x
y
0
x v y
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
С х е м а НЕ
Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания.
Связь между входом x этой схемы и выходом F можно записать соотношением F = x где х читается как "не x" или "инверсия х".
X
F=X
1
Схема НЕ
Таблица истинности схемы НЕ
Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на входе 1, на выходе 0.
x
x
0
1
1
0
С х е м а И—НЕ
Схема И—НЕ состоит из элемента И и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы И.
Связь между выходом F и входами x и y схемы записывают следующим образом: F=x · y, где x ·y читается как "инверсия x и y".
X
F=X·Y
&
Y
Таблица истинности схемы И—НЕ
x
y
0
0
X*Y
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
С х е м а ИЛИ—НЕ
Схема ИЛИ—НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ.
Связь между выходом F и входами x и y схемы записывают следующим образом: F=x+y, где x+y , читается как "инверсия x или y ".
X
F=X+Y
1
Y
Таблица истинности схемы ИЛИ—НЕ
x
y
0
0
X+Y
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
Триггер
Триггер — это электронная схема, широко применяемая в регистрах компьютера для надёжного запоминания одного разряда двоичного кода.
Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует двоичной единице, а другое — двоичному нулю.
RS- триггер
Самый распространённый тип триггера — так называемый RS-триггер (S и R, соответственно, от английских set — установка, и reset — сброс).
S
Q
0
0
R
Q
1
1
Составление таблиц истинности по логической формуле
Постройте таблицу истинности для логического выражения
0
0
1
1
