Уравнения с одной переменной
Целое уравнение
и его корни
Правила
Примеры
(3х+7) – 5 = 3х(3х+1)
_____________________
4х -x³+7x²+6=0 - это уравнение 4-ой степени
_____________________
x³+7x²+6=0 является уравнением 3-й
степени
1.Уравнения называются ЦЕЛЫМИ , если у них левая и правая части являются целыми выражениями (т.е. не содержат деления на выражения с переменными).
___________________________________
2.Если уравнение с одной переменной записано в виде Р(х)=0, где Р(х) – многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения
4
Три основных приёма :
- Разложение на множители
- Замена переменной
- Графический способ
Пример1. Метод разложения на множители:
х ³+2x²-x - 2= 0
x² (х+2) –(х+2)=0
(х+2)( x² -1)=0
(х+2)(х-1)(х+1)=0
х 1 =-2; х 2 =-1; х 3 =1
Пример2.(метод разложения на множители)
6х ²(x-1)-x²+x-2x+ 2 =0
6х ²(x-1)- (х ²-x)-(2 х -2)=0
6х ²(x-1)- х(х - 1 )- 2 ( х - 1 )=0
(х-1)( 6х ² - x- 2)=0
х 1 =1; х 2 =2/3; х 3 =-1/2
=0 ) ау ²+by+c=0" width="640"
Биквадратное уравнение имеет вид: ах + bx²+c=0
4
Решаются заменой переменной
у=х ² ( y=0 )
ау ²+by+c=0
=0 ) 4у ² -5у+1=0 у 1 =1; у 2 =1/4 x 2 =1 или x 2 =1/4 х 1 =-1; х 2 =1; х 3 =1/2; х 4 =-1/2 4" width="640"
Пример3.Биквадратное уравнение
4х - 5х ² + 1=0
у=х ² ( y=0 )
4у ² -5у+1=0
у 1 =1; у 2 =1/4
x 2 =1 или x 2 =1/4
х 1 =-1; х 2 =1; х 3 =1/2; х 4 =-1/2
4
Пример4. ( замена переменной )
(х ²-2x)²-4(x²-2x)+3=0 у = (x²-2x )
у ² -4у+3=0
у 1 =1; у 2 =3
х ² -2х=1 х ² -2х=3
х ² -2х-1=0 х ² -2х-3=0
х 1 =1-√2; х 2 =1+√2; х 3 =-1; х 4 =3
Пример5.
(х ² +4х+3)( х ² +4х+1)=48
Замена: у= ( х ² +4х+1)
у(у+2)=48
у ² +2у-48=0
у 1 =-8 у 2 =6
х ² +4х+1=-8 х ² +4х+1=6
х ² +4х+9=0 х ² +4х-5=0
корней нет х 1 =-5; х 2 =1
Пример 6.
(х-1)(х+1)(х+3)(х+5)=105
При решении этой задачи можно заметить, что (х-1)(х+5)=х ²+4x - 5 ,
(х+1)(х+3)= х ²+4x +3 .
Поэтому изменив порядок умножения
сомножителей в исходном уравнении, получим: ( х ²+4x - 5 )( х ²+4x +3)=105.
Замена: у= х ²+4x - 5
у(у+8)=105 ,
у 1 =-15 и у 2 =7.
х ²+4x - 5 =-15 или х ²+4x - 5 =7
(корней нет) х 1 =-6 ; х 2 =2
Теорема Безу.
Теорема Безу .
Если уравнение
а х + a x + … + a x+a = 0 ,
где все коэффициенты целые, имеет целые корни, то это делители свободного члена.
Пример 2. Решите уравнение
х ³ -8х ² +19х-12=0
n
n-1
n -1
n
0
1
х ³ -8х ² +19х-12=0
- Свободный член – 12 имеет делители 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- При x=1 значение многочлена равно 0 . Это означает, что 1 является корнем уравнения, значит
х ³ -8х ² +19х-12 делится на (x-1) .
- Выполнив деление, получим уравнение х ² -7х+12=0 , решая которое, получим что x =3 или x =4.
- Ответ: 1; 3; 4.
Решение задач.
1) Решить уравнения:
- а) х ³ -3х ² -4х+12=0,
- б) х ³ +4х ² +5х+2=0,
- в) х +4х ³ +х ² -12х-12=0,
- г) х +4х ³ -х ² -16х-12=0.
4
4
Решим уравнение с помощью теоремы Безу:
х ³ -6х ² +11х-6=0
Метод назван в честь Уильяма Джоржа Горнера(анл.)
х ³ -6х ² +11х-6=0
Делителями свободного члена являются: -1;+1; -2; +2; -3; +3; -6; +6
α
1
1
-6
1
11
-6+1*1= -5
-6
11+1*(-5)= 6
-6+1*6= 0
т.о. х ³ -6х ² +11х-6=(х-1)(х ² -5х+6)=0
Решить уравнение:
х ³ -5х+4=0 х ³ -3х+2=0
4: на +/-1;+/-2; +/-4
1
1
1
-5
4
-4
0
х ³ -5х+4=(х-1)(х ² +х-4)=0
Возвратные уравнения
Рассмотрим уравнения:
x³-3x²-3x + 1=0
3х -7х ³+x²-7x+ 3 =0
-х ³+5x²+5x-1=0
Все три уравнения объединяет то, что коэффициенты равноотстоящие от начала и конца левой части уравнения равны .
Такие уравнения называются возвратными .
4
КАК РЕШАТЬ?
?
Рассмотрим методы решения возвратных
уравнений 3-ей и 4-ой степени.
В общем виде возвратное уравнение
3-ей степени имеет вид
(3)
Сгруппируем первый и последний, второй и третий члены, вынесем общие множители, тем самым, разложив левую часть уравнения (3) на множители:
Тогда уравнение (3) примет вид
полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений , ,
решая первое уравнение получаем один из корней уравнения (3)
другие корни, если они есть, находят, решая второе уравнение. Заметим, что (-1) является корнем любого возвратного уравнения 3-ей степени .
Пример решения кубического уравнения заменой переменных
Пример. Решить уравнение
Решение. Сначала приведем уравнение к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении замену
(16)
Следовательно, уравнение принимает вид
Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении
еще одну замену
Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу
Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень
Тогда поскольку
то уравнение примет вид
Далее из получаем
или использовали формулу
Рассмотрим возвратное уравнение 4-ой степени
(4)
, то
Так как
не является корнем этого уравнения.
Поэтому, если разделить обе части уравнения на
то получим уравнение:
равносильное данному.
