Статистические данные Метод наименьших квадратов
Статистика — наука о сборе, измерении и анализе массовых количественных данных.
Статистические данные носят приближённый, усреднённый характер, получаются путём многократных измерений.
Виды статистики :
- Социальная
- Экономическая
- Медицинская
и другие
Рассмотрим пример из медицинской статистики:
Определить зависимость бронхиально-лёгочных заболеваний от содержания угарного газа (оксида углерода) в воздухе.
Специалисты по медицинской статистике проводят сбор данных.
Они собирают сведения из разных городов о средней концентрации угарного газа в атмосфере и о заболеваемости астмой — число хронически больных на 1000 жителей.
Полученные данные можно свести в таблицу , а также представить в виде точечной диаграммы:
С,
мг / куб. м
Р,
бол. / тыс.
2
19
2,5
2,9
20
3.2
32
34
3,6
51
3,9
4,2
55
90
4,6
5
108
171
Как построить математическую модель полученных данных?
Нужно получить формулу, отражающую зависимость числа хронически больных Р от концентрации угарного газа С .
То есть — функцию зависимости Р от С: Р( С ) .
Основные требования к искомой функции:
- Она должна быть достаточно простой для использования её в дальнейших вычислениях;
- График этой функции должен проходить вблизи экспериментальных точек так, чтобы отклонения от этих точек были минимальны и равномерны.
Два варианта построения графической зависимости по данным эксперимента
б) Регрессионная модель
а) не имеет смысла
Регрессионная модель —
это функция, описывающая зависимость между количественными характеристиками сложных систем.
Вид регрессионной функции
определяется путём подбора по экспериментальным данным.
Этапы получения регрессионной модели:
- подбор вида функции;
- вычисление параметров функции.
Наиболее часто выбор производится среди функций:
y = ax + b — линейная функция ;
y = ax 2 + bx + c — квадратичная функция (или полином второй степени );
y = aln(x)+ b — логарифмическая функция ;
y = ae bx — экспоненциальная функция ;
y = ax b — степенная функция .
Где x – аргумент , y – значение функции , a, b, c – параметры функции .
Как подобрать параметры функции?
Метод наименьших квадратов ( МНК ) используется для вычисления параметров регрессионной модели.
Этот метод содержится в математическом арсенале электронных таблиц (в том числе и в MS Excel).
R 2 – коэффициент детерминированности
Характеристикой построенной модели является параметр R 2 – коэффициент детерминированности . Чем его значение ближе к 1, тем модель лучше.
Если несколько моделей имеют близкий параметр R 2 , то пользователь выбирает из них наиболее подходящую.
Тренд:
это график регрессионной модели.
Trend (англ.) – общее направление, тенденция.
Экспоненциальная функция
Алгоритм построения регрессионной модели по МНК с построением тренда.
- Ввести табличные данные и построить точечную диаграмму в MS Excel;
- Щёлкнуть мышью по полю диаграммы;
- Макет → Линия тренда;
- выбрать тип функции;
- Дополнительные параметры линии тренда → установить галочки на флажках «показывать уравнения на диаграмме» и « поместить на диаграмму величину достоверности R 2 », ОК.
