Урок по теме "Элементы математической статистики"

Областное государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Фурмановский технический колледж

Тема занятия: Элементы математической статистики.

Разработала: преподаватель математики Цветкова Е.И.

Тема занятия: Элементы математической статистики

Тип урока: формирование новых знаний.

Цель урока – Познакомить с понятием статистика, историей ее развития. Показать значимость статистики как науки. Формировать умение использовать методы обработки статистических данных и находить основные числовые характеристики случайной величины (размах, мода, медиана, среднее арифметическое значение, математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение). Развивать абстрактное, логическое, мышление, речь, умение обосновывать свой выбор в ходе решения задач, информационную культуру учащихся. Воспитывать интерес к изучению математики и будущей профессии.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый.

Оборудование и материалы: мультимедийный проектор, компьютеры, экран, презентация, распечатки.

Структура урока

1. Орг. момент. Целеполагание. (5 мин)

2. Формирование новых знаний. (20 мин)

3. Формирование умений. (20 мин)

4. Закрепление новых знаний и умений. (20 мин)

5. Итог урока. (10 мин)

6. Домашние задание. ( 5 мин)

ХОД УРОКА

1. Орг. момент. Целеполагание.

Здравствуйте.

Чтобы узнать тему нашего урока предлагаю вам посмотреть кадр из фильма, который в этом году как и наш техникум юбиляр.

Сегодня мы поговорим о статистике как о науке, немного затронем историю её развития, узнаем основные статистические характеристики.

Значение статистики в жизни современного общества ёмко выражено в романе Ильфа и Петрова «12 стульев»: "Статистика знает всё" известно, сколько какой пищи съедает в год средний гражданин республики: известно, сколько в стране охотников, балерин: станков, велосипедов, памятников, маяков и швейных машинок: Как много жизни, полной пыла, страстей и мысли, глядит на нас со статистических таблиц!..".

Роль статистики в нашей жизни настолько значительна, что люди, часто не задумываясь и не осознавая, постоянно используют элементы статистической методологии не только в трудовых процессах, но и в повседневном быту. Работая и отдыхая, делая покупки, знакомясь с другими людьми, принимая какие-то решения, человек пользуется определённой системой имеющихся у него сведений, сложившихся вкусов и привычек, фактов, систематизирует, сопоставляет эти факты, анализирует их, делает выводы и принимает определённые решения, предпринимает конкретные действия. Таким образом, в каждом человеке заложены элементы статистического мышления, представляющего собой способности к анализу и синтезу информации об окружающем нас мире.

Причина изучения курса "Статистика "

Без минимальной статистической грамотности трудно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на ее основе обоснованные решения, невозможна организация эффективного конкурентоспособного производства.

Поэтому мы и посвятим сегодняшний урок этой науке.

1. Формирование новых знаний.

Итак, что же такое статистика и как она развивалась? А вы как считаете, что такое статистика?

Что такое статистика?

Статистика - это наука, изучающая количественные показатели развития общества и общественного производства.

Можно без преувеличения сказать, что статистическими методами сегодня пронизана вся наша жизнь.

Как только человеку в его деятельности потребовались количественные характеристики, то есть числа, тут же появилась статистика. Конечно, она не называлась так, но самые первые статистические исследования можно обнаружить и в древних египетских папирусах, и на вавилонских глиняных табличках.

Термин "статистика" произошел от латинского слова "статус" (status), что означает "состояние и положение вещей".

Возникновение статистики было связано с потребностями государственного управления. Уже ранние государства - Китай, Египет, Древняя Греция - нуждались в данных о населении и его составе, имущественном положении граждан, количестве скота, земельных угодий и т.д., положивших начало статистической практике. Потребности в статистических данных многократно возросли в период становления и развития капитализма, что стимулировало формирование статистики науки.

Отсутствие строгой, научной базы статистических прогнозов, произвольное толкование статистических данных позволили в конце XIX века английскому премьер - министру Б.Дизраэли заметить: "Есть три вида лжи. Просто ложь, наглая ложь и : статистика".

В XX веке появилась математическая статистика, обладающая универсальными методами сбора, хранения и обработки информации для выработки различных прогнозов.

Как вы считаете, какая задача у статистики?

Одной из основных задач статистики является обработка информации. Конечно, у статистики есть много и других задач: получение и хранение информации, выработка различных прогнозов, оценка их достоверности.

Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Статистическая информация - это числовые данные о массовых явлениях.

Одно из самых важных понятий, как теории вероятности, так и статистики является – случайная величина.

Напомните определение случайной величины.

Случайной величиной называется переменная величина, значения которой зависят от случайного исхода некоторого испытания.

Если требуется изучить множество значений случайной величины, то выполняют следующие этапы статистических исследований.

• Сбор информации(статистическое наблюдение)

• Группировка статистических данных

• Представление данных

• Анализ статистических данных

Разберем все эти этапы на конкретном примере.

1. Формирование умений.

Вы знаете, что в этом году Сургутскому нефтяному техникуму – 40 лет. И за эти годы была создана команда профессионалов знающих свое дело. И когда бухгалтерия считает заработную плату, то их интересуют тарифные разряды.

Перед вами таблица с тарифными разрядами преподавателей техникума.

Эта последовательность или ряд представляет собой статистические данные, которые подлежат обработке. Иногда его называют выборкой.

Отдельные значения, составляющие эту выборку, называют вариантами или просто данными.

Варианты в ряду могут иметь как различные, так и одинаковые значения.

Какие варианты в нашей выборке? ( высшая категория, 2 – ая категория, 1 – ая категория, 11 разряд).

Если записать наши варианты в порядке возрастания то получиться большой ряд с которым работать не очень удобно. Требуется представить информацию в более удобном виде. Какие у вас предложения?

У каждой варианты есть кратность – число показывающее, сколько раз эта варианта встречается в данном выборке.

Подсчитаем кратности наших вариант: 11- разряд - 4, 2 – ая категория(12 разряд) – 4, 1 – ая категория (13 разряд) - 26, высшая категория (14 разряд) – 22.

Собранные и упорядоченные данные представляют в виде таблицы. В первой строке указывают значение вариант, во второй кратность.

Хi	11	12	13	14
ni	4	4	26	22

Составленная таблица является статистическим распределением выборки. И позволяет сделать первый вывод, что в техникуме работают высоко квалифицированные специалисты.

У каждой выборки есть объем – это общее количество вариант в выборке. n = .

Объем нашей выборки: n = 56

Для любой варианты можно найти частоту, которая позволяет найти процентную частоту.

Частота варианты это отношение кратности варианты, к объему выборки.

В теории вероятности аналогично находят вероятность случайной величины. Поэтому можно говорить, что находят вероятность появления варианты в данной выборке.

Найдем вероятности наших вариант: ; ; ;

(сократите каждую дробь на 2).

Если варианты и их вероятности записать в таблицу, то получиться закон распределения случайной величины.

Хi	11	12	13	14
p

Стоит отметить, что если распределение является законом, то

Проверим наше распределение: .

Итак, подведем небольшой итог: мы собрали данные, потом….(упорядочили их и представили в виде таблицы, в которой записали варианты, их кратности и вероятности)

Хi	11	12	13	14
ni	4	4	26	22
p

Осталось провести анализ статистических данных.

При анализе статистических данных используют различные обобщающие показатели, такие как:

• Размах

• Мода

• Медиана

• Среднее арифметическое (математическое ожидание)

• Дисперсия

• Среднее квадратичное отклонение.

Размахом выборки называется разность между наибольшей и наименьшей из вариант. Обозначается R.

R = 14 -11 = 3

Модой выборки называется число, которое встречается в данной выборке чаще других. Обозначается М_0. Выборка может и не иметь моды.

М₀ = 13

Медианой выборки с нечётным числом вариант называется варианта, записанная посередине.

Медианой выборки с чётным числом вариант называется среднее арифметическое двух вариант, записанных посередине. Обозначается М_е.

Наша выборка с четным числом вариант, объем которой n = 56, значит половина чисел в этом ряде 28. Отсчитаем эту половину начиная с наименьшего ( 28 = 4 + 4 + 20) и вычислим полусумму 28 –го и 29 – го чисел М_е = .

Средним арифметическим выборки называется частное от деления суммы вариант на объем выборки.

В нашем примере 56 вариант, рационально ли вычислять среднее арифметическое данным способом? Какие предложения?

Среднее арифметическое удобно вычислять, используя статистическое распределение выборки.

Средним арифметическим выборки называется отношение суммы произведения вариант и их частот на объем выборки.

Если в статистическом распределении выборки указаны варианты и их вероятности, то среднее арифметическое вычисляется по формуле.

Среднее арифметическое значение называется еще математическим ожиданием М(Х).

.

Характеристику, «отвечающую» за разброс чисел вокруг их среднего значения называют дисперсией и обозначают D:

D = 174 – 13² = 174 – 169 = 5

Средним квадратичным отклонением выборки называется квадратный корень из дисперсии.

. .

Подведем итог.

Какие показатели используют при анализе статистических данных? (размах, моду, медиану, среднее значение или математическое ожидание, дисперсия и среде квадратичное отклонение).

1. Закрепление знаний и умений.

В 1984 году Сургутский нефтяной техникум начал осуществлять обучение специалистов без отрыва от производства. И за этот период было …. выпусков.

Перед вами таблица в которой представлено количество дипломов с отличием за последние 13 лет работы заочного отделения.

Год выпуска	2000	2001	2002	2003	2004 20 –лет з/ о	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012
Специальность
ЭБу	2	4	-	8	2	5	2	-	-	-	-	1	1
РЭНГМ	-	-	-	-	4	4	5	-	-	1	-	-	-
ТОРАТ	-	-	-	-	3	-	5	-	-	-	1	1	-
БНГС	-	-	-	-	3	-	2	2	-	1	-	-	1
МЭПО	-	1	-	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-
ПНГ	-	-	-	-	-	-	-	2 1ый выпуск	-	-	-	2	-

Составить закон распределения случайной величины и произвести анализ статистических данных.

Какие у нас варианты? (1,2, 3, 4, 5, 8). Определите их кратности, объем выборки и вероятность варианты (представить десятинными дробями).

Х	1	2	3	4	5	8
N	8	8	2	3	3	1
P	0,32	0,32	0,08	0,12	0,12	0,04

Как проверить, является ли распределение законом.

Найдите размах, моду и медиану? ( R = 8 – 1 = 7; М_о = 1, 2; М_е = 2 (нечетное число вариант, медианой является варианта, записанная на 13 месте)).

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

( М(x) = 1·0,32 + 2·0,32 + 3·0,08 + 4·0,12 + 5·0,12 + 8·0,04 = 0,32 + 0,64 + 0,24 + 0,48 + 0,6 + 0,32 = 2,6;

М(х²) = 1²·0,32 + 2²·0,32 + 3²·0,08 + 4²·0,12 + 5²·0,12 + 8²·0,04 = 0,32 + 1,28 + 0,72 + 1,92 + 3 + 2,56 = 9,8;

D(x) = М(х²) – (M(x))² = 9,8 – 2,6² = 9,8 – 6,76 = 3,04.

.

1. Итог урока.

Сегодня мы познакомились с элементами математической статистики. Подводя итоги, хотелось бы сказать, что статистическое исследование - интересная и занимательная область математики. Статистические исследования используются практически везде, где только можно обусловить их применение. Вместе с тем, несмотря на обширную область применения, статистические исследования являются довольно-таки сложным предметом и ошибки нередки. Однако, в целом исследования как предмет для рассмотрения представляют собой большой интерес.

Более подробно эти и другие вопросы вы будите изучать в дисциплине «Статистика».

В заключении хочется отметить, что мода, медиана и математическое ожидание относятся к одному и тому же типу числовых характеристик. Иногда их называют мерами центральной тенденции: каждое из этих чисел по – своему описывает некоторое центральное значение выборки.

Например, при поиске нового места работы довольно естественно спросить о средней зарплате. Однако может так случиться, что ответ о большом значении среднего введет вас в заблуждение.

Например, если медиана или мода размеров зарплаты много меньше чем среднее , то это означает, что на данном предприятии небольшое число работников получает очень большую зарплату, а большинство работников получают сравнительно маленькую зарплату.

у

х

наиболее часто Средняя Высокие, но редко

встречающаяся зарплата встречающиеся

зарплата зарплаты

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение являются количественными оценками. При этом довольно большое среднее квадратичное отклонение от среднего значения, означает, что результаты данного измерения заметно «разбросаны» вокруг среднего значения.

1. Домашнее задание.

А известно ли вам, что элементы статистики находят отражение и в литературе. Статистические исследования над большим количеством литературных текстов показал, что частоты появления какой-нибудь буквы стремится при увеличении объёма текста к некоторым определённым константам.

Существует таблица частот букв русского языка.

Частотная таблица букв русского языка

Буква	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	Й	К
Частота	6,2	1,4	3,8	1,1	2,5	7,2	0,7	1,6	6,2	1,0	2,8
Буква	Л	М	Н	О	П	Р	С	Т	У	Ф	Х
Частота	3,5	2,6	5,3	9,0	2,3	4,0	4,5	5,3	2,1	0,2	0,9
Буква	ц	ч	ш	щ	ы	ь	э	ю	я	-
Частота	0,4	0,4	0,6	0,3	1,6	1,4	0.3	0,6	1,8	17,5

Т.е. из 1000 случайных в тексте букв «ф» встречаем 2раза.

У каждого писателя есть своя частотная таблица использования букв, слов. По этой частотной таблице можно определить авторство, например история с Шолоховым за «Тихий Дон»(ему было 23года).По статистическому анализу романа подтвердили его авторство.

ВОТ ВАМ И СТАТИСТИКА!

Вы знаете, что наш сегодняшний урок посвящен юбилею Сургутского нефтяного техникума.

Предлагаю дома провести статистический анализ поздравительного стихотворения и составить закон распределения гласных букв в этом четверостишье и найти числовые характеристики.