Операции над множествами
Беляева Татьяна Юрьевна
ГБПОУ КК «АМТ», г. Армавир
Преподаватель математических дисциплин
1. Объединение множеств (сложение)
Опр. Объединением 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств.
Обозначение: А В
Т. о.: А В = {x | x ∊ A или x ∊ В}
В
А
1. Объединение множеств (сложение)
Напр.: 1) {1; 2; 3} {2; 3; 4} = {1; 2; 3; 4}
2) А = {1, 3, 5, 7,…}, B = {2, 4, 6, 8,…} A B = N
(!!) 1) Если А – произвольное множество, то
А А = А А Ø = А А U = U
2) Если А и В – произвольные множества, то
А В = В А
3) Если А ⊂ В , то В А = В
2. Пересечение множеств (произведение)
Опр. Пересечением 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств.
Обозначение: А ∩ В
Т. о.: А ∩ В = {x | x ∊ A и x ∊ B}
2. Пересечение множеств (произведение)
Напр.: 1) {1; 2; 3} ∩ {2; 3; 4} = {2; 3}
2) А = { x | x = 2n, n ∊ Z}, B = {x | x = 3n, n ∊ Z}
A ∩ B = { x | x = 6n, n ∊ Z}
(!!) 1) Если А – произвольное множество, то
А ∩ А = А А ∩ Ø = Ø А ∩ U = А
2) Если А и В – произвольные множества, то
А ∩ В = В ∩ А
3) Если А ⊂ В , то В ∩ А = А
Обобщение
Совершенно аналогично определяются объединение и пересечение 3-х, 4-х, …, бесконечного числа множеств.
(!!) Имеют место равенства:
(А В) С = А (В С)
(А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С)
.
3. Разность множеств
Опр. Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.
Обозначение: А \ В
Т. о.: А \ В = { x | x ∊ A и x B}
.
3. Разность множеств
Напр.: {1; 2; 3} \ {2; 3; 4} = { 1 }
(!!) Если А – произвольное множество, то
А \ А = Ø А \ Ø = А А \ U = Ø
В отличии от объединения и пересечения, разность – строго двуместна.
.
4. Дополнение множества
Опр. Если В ⊂ А, то разность А \ В называется дополнением множества В до множества А .
Обозначение: В А
.
4. Дополнение множества
Опр. Дополнением множества А до универсального множества U , или просто дополнением , называется множество всех элементов множества U , не принадлежащих А.
Обозначение: Ā
По определению: Ā = U \ А
4. Дополнение множества
(!!) Очевидно:
= U = Ø = А А Ā = U А ∩ Ā = Ø
Дополнение – одноместная операция
5. Дизъюнктивная сумма множеств (симметрическая разность)
Опр. Дизъюнктивной суммой 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат или множеству А, или множеству В, но не обоим вместе.
Обозначение: А ⊕ В
.
5. Дизъюнктивная сумма множеств (симметрическая разность)
Напр: 1) {1; 2; 3 } ⊕ { 2; 3; 4 } = { 1; 4 }
(!!) Если А – произвольное множество, то
А⊕ А = Ø А⊕ Ø = А А⊕ U = Ā
.
6. Построение диаграмм Эйлера – Венна
6. Построение диаграмм Эйлера – Венна
.
7. Тождества алгебры множеств, связывающие несколько операций
1. Законы поглощения:
А (А В) = А
А (А В) = А
2. Дистрибутивность:
А (В С) = (А В) (А С)
А (В С) = (А В) (А С)
3. Законы де Моргана:
.
7. Тождества алгебры множеств, связывающие несколько операций
4. Закон отмены разности:
А \ В =
5. Закон отмены дизъюнктивной суммы:
А ⊕ В = (А ) ( В)
Все эти формулы легко доказать с использованием кругов Эйлера. Для этого достаточно построить области, соответствующие правой и левой частям тождества, и установить их совпадение.
.
7. Тождества алгебры множеств, связывающие несколько операций
ПР. Докажите:
а) А \ (А \ В) = А ∩ В
б) А ∩ (В \ А) = Ø
ПР. Упростите:
а) (А ∩ В ∩ С) U (Ā ∩ В ∩ С)
б) (А ∩ В ∩ С) (Ā ∩ С) ( ∩ С)
в)
.
8. Декартово произведение множеств
Опр. Прямым (декартовым) произведением 2-х множеств А и В называется множество, элементами которого являются все упорядоченные пары (a; b) , первые компоненты которых принадлежат множеству А, а вторые – множеству В.
Обозначение: А В
А × В = {(a; b) | a ∊ A и b ∊ B}
8. Декартово произведение множеств
ПР. А = {1; 2; 3}, B = {2; 4}
А × В = {(1; 2), (1; 4), (2; 2), (2; 4), (3; 2), (3; 4)}
B × A = {(2; 1), (2; 2), (2; 4), (4; 1), (4; 2), (4; 3)}
(!!) 1) А × В ≠ B × A
2) | А × В | = | А | × | В |
8. Декартово произведение множеств
Опр. Если А = В, то А × В = А × А – декартовый квадрат .
Обозначение: А 2
Напр. : R 2 = R × R - множество точек плоскости (х; у)
ПР. А 2 = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)}
8. Декартово произведение множеств
Опр. Прямым произведением множеств А 1 , А 2 , …, А п называется множество, состоящее из упорядоченных п - ок.
Обозначение: А 1 × А 2 × … × А п
Опр. Упорядоченную п -ку называют п-мерным вектором или кортежем , а элементы, составляющие п -ку, - ее координатами .
(!!) Если все А i = А, то А × А × … × А = А n и | А n | = | A | n
8. Декартово произведение множеств
8. Декартово произведение множеств
ПР. Дано: B = {2; 4}
Найти: В 3
ПР. Дано: М – множество букв алфавита в русском язык
Найти: М 4
