Построение графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины

Методические рекомендации по использованию методического пособия

в учебном процессе

В приведенном электронном пособии мы показываем, как использовать анимационные модули при решении задач на построения графиков функции, аналитическое выражения которых содержит абсолютную величину. Несомненно, что компьютер помощник при организации фронтальной работы. Используем визуальные подсказки, даем возможность осмыслить задачу большему числу обучающихся. Подготовить к уроку такое количество задач на обычной доске невозможно.

Другой замечательный способ обучения – это воспроизведение. Т.е. ученику необходимо воспроизвести уже решенную задачу. При организации этой работы прекрасно помогает компьютер. Алгоритмы такой работы могут быть разными: можно вызвать одного ученика к доске или предложить восстановить решение всему классу. Проект создан с помощью программы PowerPoint. Запись времени анимации с помощью триггера позволяет создавать интерактивность обучения. Каждый шаг построения графиков функции, сопровождается анимацией, делая клик мыши. Для этого используется управляющая кнопки «Построить», «Проверь», «I шаг», «II шаг» и т.д.

Компьютерный проект выдается детям и в качестве электронного учебного пособия для домашней самоподготовки и для подготовки к ГИА.

На слайдах 2 – 16 даны правила и алгоритмы построения графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. Каждый шаг построения, сопровождается анимацией, делая клик мыши. Для этого используется управляющая кнопки «Построить», «Проверь».

17-20 слайдах вырабатывается умение работать с имеющейся информацией в необычной ситуации. Каждый шаг построения, решения задачи сопровождается анимацией, делая клик мыши.

Презентация позволяет представить обучающимся большой объем заданий. Начертить и написать на обычной классной доске такое количество заданий не представляется возможным.

Преимущество при работе над задачами, используя компьютерные анимационные слайды, в том, что учитель может вернуться на начало задачи, остановиться на отдельных фрагментах, побеседовать с учениками, выслушать различные мнения, обсудить различные способы решения. Анимационные слайды помогают при изучении понятия «модуль», решении уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины. Возможности анимации позволили показать учащимся весь ход построения графиков сложных функции.

Возможности компьютера, как наглядного пособия качественно нового уровня с возможностями анимации позволяют повысить интерес учащихся к рассматриваемому материалу.

Построение графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины

1. Описание

Цель и задачи работы: изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

Объект исследования: функции, содержащие знак абсолютной величины.

Предмет исследования: закономерность графиков функции у = f |(х)|,

у = | f (х)|, у = | f |(х)| |.

Методы исследования: решение примеров на построения графиков, сравнение, анализ, обобщение.

3. Презентация. Построение графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины

Описание представленной технологии	Деятельностный метод отвечает необходимым требованиям к технологиям обучения, реализующим современные образовательные цели: создает благоприятные условия для разноуровневого обучения и практической реализации всех дидактических принципов деятельностного подхода; обеспечивает прохождение всех необходимых этапов усвоения понятий, что позволяет существенно увеличить прочность знаний. Деятельностный метод- это метод обучения, при котором ребенок не получает знания в готовом виде, а добывает их сам в процессе собственной учебно-познавательной деятельности. Технология активных методов обучения позволет превратить урок в интересный, увлекательный, насыщенный творчеством процесс, отвечающий современным потребностям детей, родителей, общества, приносящий удовольствие и удовлетворение.
Подготовительный этап	ставится проблема перед учащимися, мозговая атака с целью коллективного поиска проблем, определяется цель деятельности Построить графики функции у = f |(х)|, у = | f (х)|, у = | f |(х)| |
Открытие новых знаний	-рекомендуются источники получения информации; изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины. Найти закономерность графиков функции у = f |(х)|, у = | f (х)|, у = | f |(х)| | и алгоритмы построения.
Технологический этап	используется метод упражнений т.к. идет формирование у учащихся умений и навыков деятельности решение примеров на построения графиков этих функции по определению модуля и сравнение, анализ, обобщение.
Заключительный этап	коррекция проекта и его защиты, сравнение выполненного проекта с тем, который был задуман Презентация учебного проекта.

Построение графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины

Ульянова М.Е., преподаватель математики высшей квалификационной категории КГКП «Электротехнический колледж»

При использовании компьютера в учебном процессе учащийся становится полноправным его участником. Мы не даем готовых знаний, но побуждает учеников к самостоятельному поиску. Функция учителя при деятельностном подходе проявляется в деятельности по управлению процессом обучения. Как образно замечал Л.С. Выготский «учитель должен быть рельсами, по которым свободно и самостоятельно движутся вагоны, получая от них только направление собственного движения».

Компьютерные средства позволяют обеспечить наилучшую реализацию принципа наглядности, которому принадлежит ведущее место в образовательных технологиях.

Широкое использование графических возможностей компьютера имеют большую прикладную направленность.

Цели, реализуемые данным пособием: Обучающая: Обобщить практические умения и навыки строить и читать графики функций и использовать свойства функций при решении задач. Наглядно продемонстрировать учащимся возможности использования компьютера при построении графиков функции с модулями; для самоконтроля, экономии времени при построении графиков функций вида у=f |(х)| , у = | f (х)| , у=|f |(х)| |.

Развивающая: Рассмотреть алгоритмы построения графиков. Развитие алгоритмического, логического и системного мышления . Развивать навыки самостоятельной работы.

Формирование и дальнейшее развитие познавательных операций по планированию и прогнозированию учебной деятельности. Развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ и синтез сравнение, обобщение. Формирование ИКТ компетентности учащихся.

Воспитывающая: Воспитание познавательного интереса к предмету путем введения новейших технологий обучения. Воспитание самостоятельности при решении учебных задач.

Оборудование: Оборудование: компьютерный класс, мультимедиапроектор, интерактивная доска, презентация на тему «Построение графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины», раздаточный материал: карточки для работы с графической моделью функций, листы для фиксирования результатов исследования функций, персональные компьютеры.

Установление объекта изучения.

График функции у=f |(х)| у=f |(х)| - четная функция, т.к. | х | = | -х |, то f |-х| = f | х |

График этой функции симметричен относительно оси координат.

Следовательно, достаточно построить график функции у=f(х) для х0,а затем достроить его левую часть, симметрично правой относительно оси координат.

1. Исследование графика функции у= |х|

1. Если х≥0, то |х| =х и наша функция у=х, т.е. искомый график совпадает с биссектрисой первого координатного угла.

2. Если х

Таким образом, искомый график есть ломанная, составленная из двух полупрямых. (Рис.3)

Из сопоставления двух графиков у = х и у = -х, ученики сделают вывод: функции у = f(|х|) получается из графика у = f (x) при х≥0 симметричным отображением относительно оси ОУ.

Постановка и формирование проблемы.

Можно ли применять этот метод построения графиков для любой функции, содержащей абсолютную величину?

1. Построите график функции у=0,5 х² - 2|х| - 2,5

1) Поскольку |х| = х при х≥0, требуемый график совпадает с параболой у=0,5 х² - 2х - 2,5 . Если ху=0,5 х² + 2х - 2,5.

2) Если рассмотрим график у=0,5 х² -2х - 2,5 при х≥0 и отобразить его относительно

оси ОУ мы получим тот же самый график.

Можно ли применять этот метод построения графиков дл квадратичной функции, для графиков обратной пропорциональности, содержащие абсолютную величину?

2. Например: у=х² - |х| -3

1) Поскольку |х| = х при х≥0, требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х² - х - 3. Если ху=0,25 х² + х - 3.

2) Если рассмотрим график у=0,25 х² - х - 3 при х≥0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график.

Выдвижение гипотезы.

Учащиеся доказывают, что график функции у = f |(х)| совпадает с графиком функции у = f (х) на множестве неотрицательных значений аргумента и симметричен ему относительно оси ОУ на множестве отрицательных значений аргумента.

Таким образом, график функции у = f |(х)| можно получить из графика функции

у = f (х) следующим образом:

1. построить график функции у = f(х) для х0;

2. Для х

оси ОУ.

Вывод: Для построения графика функции у = f |(х)|

1. построить график функции у = f(х) для х0;

2. Для х отразить построенную часть

относительно оси ОУ.

4. Исследовательская работа по построению графика функции у = | f (х)|

Построить график функции у = |х² - 2х|

Освободимся от знака модуля по определению

Если х² - 2х≥0, т.е. если х≤0 и х≥2, то |х² - 2х|= х² - 2х

Если х² - 2х

Видим, что на множестве х≤0 и х≥2 графики функции

у = х² - 2х и у = |х² - 2х|совпадают, а на множестве (0;2)

графики функции у = -х² + 2х и у = |х² - 2х|совпадают. Построим их.

График функции у = | f (х)| состоит из части графика функции у = f(х) при у ≥0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у

1. Построить график функции у = |х² - х -6|

1) Если х² - х -6≥0, т.е. если х≤-2 и х≥3, то |х² - х -6|= х² - х -6.

Если х² - х -6

Построим их.

2) Построим у = х² - х -6 . Нижнюю часть графика

симметрично отбражаем относительно ОХ.

Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые.

Проверка гипотезы.

Докажем, что график функции у = | f (х)| совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) 0 и симметрично отражённой частью у = f(х) при у

Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий:

у = f(х), если f(х) ≥0; у = - f(х), если f(х)

Для любой функции у = f(х), если f(х) 0, то

| f (х)| = f(х), значит в этой части график функции

у = | f (х)| совпадает с графиком самой функции

у = f(х).

Если же f(х) ) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ «отрицательную» часть графика у = f(х).

Вывод: действительно для построения графика функции у = |f(х) | достаточно:

1.Построить график функции у = f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где

f(х)

Вывод: Для построения графика функции у=|f(х) |

1.Построить график функции у=f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х)

5. Исследовательская работа по построению графиков функции у=|f |(х)| |

Применяя, определение абсолютной величины и ранее рассмотренные примеры построим графиков функции:

у = |2|х| - 3|

у = |х² – 5|х||

у = | |х³| - 2| и сделал выводы.

Для того чтобы построить график функции у = | f |(х)| надо:

1. Строить график функции у = f(х) для х0.

2. Строить вторую часть графика, т. е. построенный график симметрично отражать относительно ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки получившегося графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Проверка и уточнение выводов

Построить график функции у = | 2|х | - 3|

(1-й способ по определению модуля)

1. Строим у = 2|х | - 3 , для 2 |х| - 3 0 , |х |1,5 т.е. х1,5

а) у = 2х - 3 , для х0

б) для хжаем построенную часть относительно оси ОУ.

2. Строим у = -2 |х| + 3 , для 2|х | - 3

а)у = -2х + 3 , для х0

б) для х

У = | 2|х | - 3|

1) Строим у = 2х-3, для х0.

2) Строим прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ.

3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю симметрично относительно оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим, что они одинаковые.

2.

у = | х² – 5|х| |

1. Строим у = х² – 5 |х|, для х² – 5 |х| 0 т.е. х 5 и х

а) у = х² – 5 х , для х0

б) для х

2. Строим у = - х² + 5 |х| , для х² – 5 |х|

а) у = - х² + 5 х , для х0

б) для х

У = | х² – 5|х| |

а) Строим график функции у = х² – 5 х для х0.

Б) Строим часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые

3. у =| |х|³ - 2 |

1). Строим у = |х|³ - 2 , для |х|³ - 2 0, x и x

а) у = х³ - 2 , для х0

б) для х

2). Строим у = - |х|³ + 2 , для |х|³ - 2 x

а) у = -х³ + 2 , для х0

б) для х

У = ||х|³ - 2 |

а) Строим у = х³ -2 для х 0.

Б) Строим часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Алгоритм построения графика функции у=f |(х)|

1.Построить график функции у=f(х) для х0;

2.Построить для х

Алгоритм построения графика функции у=|f(х) |

1.Построить график функции у=f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х)

Алгоритм построения графика функции у=|f |(х)| |

1. Построить график функции у=f(х) для х0.

2. Построить кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Список литературы:

1. И. М.Гельфанд, Е.Г. Глаголева. Функции и графики. Издательство «Наука»

2. Р.А. Калнин. Алгебра и элементарные функции. Издательство «Наука»

3. М.К. Потапов, С.Н. Олехник. Конкурсные задачи по математики, Москва. «Наука»

4. Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику.

Москва, «Просвещение».

Оформление результатов исследования. Презентация. «Учебный проект»
Исследовательская работа по построению графиков функции»