![Формула полной вероятности Беляева Т.Ю. ГБПОУ КК«АМТ» г. Армавир Преподаватель математики](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2cfaa5a48/img_phpaP0R8D_formula-polnoj-veroyatnosti_0.jpg)
Формула полной вероятности
Беляева Т.Ю. ГБПОУ КК«АМТ» г. Армавир Преподаватель математики
![](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2cfaa5a48/img_phpaP0R8D_formula-polnoj-veroyatnosti_1.jpg)
![Задача 1. Пусть имеются три одинаковые урны с таким составом шаров: - 2 белых и 1 черный; - 3 белых и 2 черных; - 1 белый и 3 черных. Какова вероятность того, что извлеченный из произвольно взятой урны шар - белый? Событие А — «извлечен белый шар» Н i – « извлечен шар из i-ой урны »](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2cfaa5a48/img_phpaP0R8D_formula-polnoj-veroyatnosti_2.jpg)
Задача 1.
Пусть имеются три одинаковые урны с таким составом шаров:
- 2 белых и 1 черный;
- 3 белых и 2 черных;
- 1 белый и 3 черных.
Какова вероятность того, что извлеченный из произвольно взятой урны шар - белый?
Событие А — «извлечен белый шар»
Н i – « извлечен шар из i-ой урны »
![Задача 2. Имеются 4 партии ламп по 10, 20, 30 и 40 штук в каждой. Вероятность того, что лампы проработают заданное время, равны для каждой партии соответственно 0,6, 0,7, 0,8 и 0,9. Какова вероятность того, что выбранная наудачу лампа из 100 данных ламп проработает заданное время? Событие А — «лампа проработает заданное время» Н i – « лампа из i-ой партии »](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2cfaa5a48/img_phpaP0R8D_formula-polnoj-veroyatnosti_3.jpg)
Задача 2.
Имеются 4 партии ламп по 10, 20, 30 и 40 штук в каждой. Вероятность того, что лампы проработают заданное время, равны для каждой партии соответственно 0,6, 0,7, 0,8 и 0,9. Какова вероятность того, что выбранная наудачу лампа из 100 данных ламп проработает заданное время?
Событие А — «лампа проработает заданное время»
Н i – « лампа из i-ой партии »
![Задача 3. 15 экзаменационных билетов содержат по 2 вопроса каждый, причём вопросы не повторяются. Студент знает 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса своего билета или на 1 вопрос билета и на один дополнительный вопрос. Событие А — «студент сдал экзамен» Н 1 – « знал оба вопроса » Н 2 – « знал 1-й вопрос и не знал 2-й » Н 3 – « не знал 1-й вопрос и знал 2-й » Н 4 – « не знал оба вопроса »](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2cfaa5a48/img_phpaP0R8D_formula-polnoj-veroyatnosti_4.jpg)
Задача 3.
15 экзаменационных билетов содержат по 2 вопроса каждый, причём вопросы не повторяются. Студент знает 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса своего билета или на 1 вопрос билета и на один дополнительный вопрос.
Событие А — «студент сдал экзамен»
Н 1 – « знал оба вопроса »
Н 2 – « знал 1-й вопрос и не знал 2-й »
Н 3 – « не знал 1-й вопрос и знал 2-й »
Н 4 – « не знал оба вопроса »
![Задача 4. В урне находятся 3 шара, цвет которых может быть белым или черным. Какова вероятность, что вынутый шар – белый? Событие А — «вынут белый шар» Н 1 – « все шары белые » Н 2 – « два шара белых и один черный » Н 3 – « один шар белый и два черных » Н 4 – « все шары черные »](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2cfaa5a48/img_phpaP0R8D_formula-polnoj-veroyatnosti_5.jpg)
Задача 4.
В урне находятся 3 шара, цвет которых может быть белым или черным. Какова вероятность, что вынутый шар – белый?
Событие А — «вынут белый шар»
Н 1 – « все шары белые »
Н 2 – « два шара белых и один черный »
Н 3 – « один шар белый и два черных »
Н 4 – « все шары черные »
![](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2cfaa5a48/img_phpaP0R8D_formula-polnoj-veroyatnosti_6.jpg)
![Установим, как изменяются после наступления события А вероятности гипотез, т.е. найдем условные вероятности Р А (Нi) для каждой гипотезы . Т.к. P(A·H i ) = P(A) · P A (H i ) = P(H i ) ·P Hi (A), то Подставляя вместо Р(А) формулу полной вероятности, получим формулу Байеса : Эта формула позволяет пересчитывать вероятности гипотез при условии, что событие А уже произошло](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2cfaa5a48/img_phpaP0R8D_formula-polnoj-veroyatnosti_7.jpg)
Установим, как изменяются после наступления события А вероятности гипотез, т.е. найдем условные вероятности Р А (Нi) для каждой гипотезы .
Т.к. P(A·H i ) = P(A) · P A (H i ) = P(H i ) ·P Hi (A), то
Подставляя вместо Р(А) формулу полной вероятности, получим формулу Байеса :
Эта формула позволяет пересчитывать вероятности гипотез при условии, что событие А уже произошло
![Задача 5. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится как 3 к 2. Вероятность того, что будет заправляться легковая машина, равна 0,2. Для грузовой машины эта вероятность равна 0,1. К бензоколонке для заправки подъехала машина. Найти вероятность того, что она грузовая. Событие А — «машина заправилась» Н 1 – « подъехала грузовая машина » Н 2 – « подъехала легковая машина »](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2cfaa5a48/img_phpaP0R8D_formula-polnoj-veroyatnosti_8.jpg)
Задача 5.
Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится как 3 к 2. Вероятность того, что будет заправляться легковая машина, равна 0,2. Для грузовой машины эта вероятность равна 0,1. К бензоколонке для заправки подъехала машина. Найти вероятность того, что она грузовая.
Событие А — «машина заправилась»
Н 1 – « подъехала грузовая машина »
Н 2 – « подъехала легковая машина »
![Задача 6. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый производит, в среднем, 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом? Событие А — «деталь отличного качества» Н 1 – « произведена 1-ым автоматом » Н 2 – « произведена 2-ым автоматом »](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2cfaa5a48/img_phpaP0R8D_formula-polnoj-veroyatnosti_9.jpg)
Задача 6.
Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый производит, в среднем, 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом?
Событие А — «деталь отличного качества»
Н 1 – « произведена 1-ым автоматом »
Н 2 – « произведена 2-ым автоматом »
![Задача 7. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 – с оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок при выстреле из винтовки с оптикой поразит мишень, равна 0,95, а без оптики – 0,8. Стрелок поразил цель из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: он стрелял из винтовки с оптикой или без? Событие А — «стрелок поразил цель» Н 1 – « стрелял из оптической винтовки » Н 2 – « стрелял из простой винтовки »](http://fsd.intolimp.org/html/2017/12/24/i_5a3f2cfaa5a48/img_phpaP0R8D_formula-polnoj-veroyatnosti_10.jpg)
Задача 7.
В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 – с оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок при выстреле из винтовки с оптикой поразит мишень, равна 0,95, а без оптики – 0,8. Стрелок поразил цель из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: он стрелял из винтовки с оптикой или без?
Событие А — «стрелок поразил цель»
Н 1 – « стрелял из оптической винтовки »
Н 2 – « стрелял из простой винтовки »