Производная степенной функции
УРОК
алгебры и начала анализа
Преподаватель
Сорокина Л.В.
Девиз урока
Кто такой учёный?
Определение.
Тот, кто ночами, забыв про кровать. Усердно роется в книжной груде. Чтобы ещё кое-что узнать Из того, что знают другие люди.
(П. Хейне – американский экономист, доктор философии)
Математики о производной.
« Слова «производная» и «произошло» имеют похожие части слова, да и смысл похож: производная происходит от исходной функции (переложив на отношения человека: исходная функция - «мама», её производная - «дочь» ).
Производная - часть математической науки, одно из её звеньев. Нет этого звена - прерваны связи между многими понятиями.»
Что называется производной?
Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
«Алгоритм нахождения производной»
Исследуя функции, можно встретить случаи, когда функция определена, но не дифференцируема. Что это?
Почему так происходит?
Можно ли этому найти объяснения?
Взгляд из детства.
Всем с детства известно такое явление, как движение мяча, падающего на пол и упруго отскакивающего от него.
Это явление можно объяснить с помощью законов физики.
Попробуем переложить всё это на математический язык.
При отскоке от пола (при h=0) направление движения мяча меняется (и функция достигает минимума), однако в эти моменты скорость мяча не равна нулю, касательную к графику h провести нельзя. На графике скорости мяча мы видим: в момент отскока скорость мяча однозначно найти нельзя - график скорости в эти моменты имеет разрывы. (Производная в этих точках не существует).
Примеры функций, имеющих особые точки. Все функции вида у = | f(x) | , при f(x)=0 имеют особые точки - точки излома. Частный случай: у = | х | , где х=0 - особая точка.
- Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции y=f(x) в точке x равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой x 0
Геометрический смысл производной
Физический смысл
скорость
ускорение
- скорость ускорение
- скорость ускорение
- скорость ускорение
- скорость ускорение
Производная от перемещения по времени является мгновенная скорость.
Производная от скорости по времени является ускорением.
Точка движется прямолинейно по закону
Вычислите скорость движения точки:
а) в момент времени t;
б) в момент времени t =2с.
Решение.
а)
б)
Найдите скорость и ускорение для точки, движущейся по закону
а) в момент времени t;
б) в момент времени t =3с.
Решение.
Проблемная задача
- Две материальные точки движутся прямолинейно по законам
В какой момент времени скорости их равны, т.е.
Решение проблемной задачи
Упражнение для глаз
Отдых для глаз
Не отрывая глаз, смотрите на двигающийся круг
«Поурочные разработки по геометрии: 11 класс». / Сост. В.А. Яровенко.
18
Разбор некоторых задач самостоятельной работы
m ( l ) = 3 l 2 + 5 l ( г ) , l АВ = 20 см,
сер = ?
Решение:
Т.к. ( l ) = m ′( l ), то ( l ) = 6 l + 5.
l = 10 см, (10) = 60 + 5 = 65(г/см 3 )
Ответ: 65 г/см 3 .
Разбор некоторых задач самостоятельной работы
